12.6.2. Определение и условия существования криволинейного интеграла II рода.

f(x, y, z) определена в точках ориентированной кривой L = AB.

Разобьем L точками M₀ = A, М₁, … , M_n = B на малые части L_i= М_i-1 М_i .

i выберем точку M_i* L_i.

Составим интегральную сумму,x_i = x_i – x_i-1 – разница значений координаты x для М_i-1 и М_i.

Криволинейным интегралом II рода по координате x от функции f(x, y, z) по кривой L называется число,где – максимальная длина частей L_i, если этот предел , не зависит от способа разбиения кривой и от выбора точек М_i*.

Замечание. Если x монотонно растет и если y и z выражаются чрез x (из уравнений кривой), то получим интегральную сумму для интеграла по отрезку оси Ox. Однако перечисленные «если» могут не выполняться.

Аналогично определяются

_{и сумма}

Последний интеграл может быть записан в виде_{под интегралом – скалярное произведение векторов}.

Вектор направлен по касательной к кривой L в направлении движения.

Замечание.

Поэтому и так обозначают:_,

Условия существования криволинейного интеграла II рода. Достаточными условиями являются гладкость кривой и непрерывность интегрируемых функций.

Можно обобщить на кусочно-гладкие кривые и на функции, имеющие конечное число разрывов 1 рода.

12.6.3. Свойства криволинейного интеграла II рода

.

1. 

2. Линейность.

.

3. Аддитивность.

4. Интеграл «не замечает» изменения функции в конечном числе точек.

5. Криволинейный интеграла II рода зависит от направления движения по кривой:

Свойство следует из того, что при нумерации точек М_i с другого конца поменяют знак все разности

x_i=x_i – x_i-1.

6. Если кривая L перпендикулярна оси Ox, то

Замечание. Свойства, связанные с оценкой интеграла с помощью неравенств, для криволинейного интеграла II рода в общем случае не верны. Причина в том, что в интегральной сумме значения функции умножаются на величины x_i = x_i – x_i-1, которые могут иметь разные знаки.

Не верна также в общем случае и теорема о среднем значении.

12.6.4. Применения криволинейного интеграла II рода.

Работа переменной силы

действующей на материальную точку при ее движении вдоль кривой L в заданном направлении:

Работа силы равна сумме работ ее составляющих.

12.6.5. Вычисление криволинейного интеграла II рода.

_{Несколько случаев параметризации кривой.}

1.

 с учетом направления движения по кривой, или

2.

или

(в соответствии с направлением движения).

3. С учетом направления движения по кривой

Вывод: с помощью уравнений, задающих кривую L,

интеграл сводится к интегралу Римана по отрезку от функции одной переменной.

12.6.6. Связь криволинейных интегралов I и II рода.



cos, cos, cos – направляющие косинусы касательной к кривой в данной точке, направленной в сторону движения.

17. Интегральная формула Грина. (12.7)

12.7. Интегральная формула Грина.

Теорема. Пусть L – замкнутый положительно ориентированный кусочно-гладкий контур, ограничивающий область D в плоскости (x, y), а функции Р(х, у), Q(х, у) имеют непрерывные частные производные 1ого порядка в D и на L.

Тогда

Доказательство. Приведенная формула может быть разбита на две, доказываемые аналогично:

Докажем только первую формулу (в два этапа).

1. Частный случай области D:

Вычислим интегралы в левой и правой частях формулы:

_{В левой части формулы:}

В правой части формулы:

Равенство доказано.

2. Общий случай области D.

Разобьем ее на области рассмотренного выше типа:

Пусть L_i – граница D_i.i доказано на первом этапе:

Сложим интегралы в левых частях формул и интегралы в правых частях, применяя свойство аддитивности.

При сложении левых частей интегралы по кускам контуров L_i, совпадающим с частями контура L, дадут в сумме интеграл по L, а интегралы по кускам контуров L_i, лежащим внутри области D, уничтожатся, потому что каждый из этих кусков проходится дважды в противоположных направлениях.

При сложении правых частей получится интеграл по

области D. 

_{Что и требовалось доказать.}

18.Интегральные формулы Гаусса-Остроградского и Стокса. Физический смысл. (12.10.5, 12.10.7)