12.2.7. Замена переменных в двойном интеграле.

Общая формула замены переменных.

Иногда область такова, что по ней неудобен любой порядок интегрирования в декартовых координатах.

Можно ли проинтегрировать сначала по отрезкам

 = const? Менять только ? А потом – по ?

К повторному интегралу можем переходить только в декартовой системе координат.

Рассмотрим декартову систему координат (, ):

По такой области интегрировать легко. Но какую функцию? f(cos, sin) или какую-то другую f₁(, )?

Общий случай замены переменных. x=x(u, v), y=y(u, v)

Эти функции и обратные: u = u(x, y), v = v(x, y) – непрерывно дифференцируемы, взаимно однозначно преобразуют область D  пл.(x, y) в область D₁.  пл.(u, v).

D₁ разобьем прямыми u =const, v = const,

D разобьётся линиями уровней этих функций.

Составим интегральную сумму для такого разбиения:

Выбор точек P_i^* – в соответствии с M_i^*:

Вычисление : фигура – примерно параллелограмм (градиент меняется непрерывно  линии близких уровней почти параллельны).

x=x(u, v), y=y(u, v)

функциональный определитель I называется якобианом.

_{ придем к интегралу от функции}

Замечание 1. Условие является достаточным для взаимно однозначного соответствия внутренних точек областейD и D₁. Для граничных точек условие взаимной однозначности может нарушаться.

Замечание 2. Чтобы найти область D₁, нужно переписать в новых координатах все уравнения границ области D.

12.2.8. Переход к полярным или обобщенным полярным координатам.

– к полярным (когда границы области – части окружности):

– к обобщенным полярным (когда границы области – части эллипса):

8. Тройной интеграл. Определение. Интегрируемые функции. Применения. (12.3.1, 12.3.4)

12.3. Тройной интеграл.

12.3.1. Определение тройного интеграла. Интегрируемость непрерывных функций.

ΩR³– замкнутая область, ограниченная гладкой или кусочно-гладкой замкнутой поверхностью S,

f(x, y, z) – заданная в точках области Ω функция.

(гладкая поверхность – имеющая в каждой точке касательную плоскость, меняющуюся непрерывно)

Определение. Разобьем Ω кусочно-гладкими поверхностями на конечное число частей:  i выберем точку P_i*(x_i^*, y_i^*, z_i^*)  Ω _i.

(δ – максимальный диаметр частей Ω _i (i=1, 2, , n), Δv_i – объем части Ω _i),

если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области и от выбора точек P_i* Ω_i:

Теорема. Непрерывные функции интегрируемы по замкнутым ограниченным областям с кусочно-гладкими границами.

Замечание. Если Ω = Ω₁  Ω₂, области Ω₁ и Ω₂ не имеют общих внутренних точек, а f(x, y, z) непрерывна на каждой из них,

то

12.3.4. Некоторые применения тройного интеграла.

1. – объем тела, занимающего область Ω.

2. Если (x, y, z) – переменная плотность тела, занимающего область Ω,

то его масса может быть вычислена по формуле

3. Координаты центра тяжести тела:

Если тело имеет постоянную плотность, получим

(средние значения соответствующих координат).

10. Тройной интеграл. Свойства. Теорема о среднем значении. (12.3.2, 12.3.3)

12.3.2. Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

1. (объем области Ω).

2. Линейность. Если f(x, y, z) и g(x, y, z) интегрируемы на Ω, AR, BR, то

3. Аддитивность. Если f(x, y, z) интегрируема на Ω = Ω ₁ Ω ₂, причем Ω ₁ Ω ₂ не содержит открытого множества, то

4. Если f(x, y, z) интегрируема на Ω и f₁(x, y, z) = f(x, y, z) для всех точек области Ω за исключением конечного числа точек, кусочно-гладких кривых или поверхностей, то

(интеграл «не замечает» изменения функции в конечном числе точек , вдоль конечного числакусочно-гладких кривыхили поверхностей).

5. Свойства, связанные с оценкой интеграла с помощью неравенств:

5.1

5.2. 

5.3. 

5.4.

5.5. 