12.2.2. Определение двойного интеграла. Интегрируемые функции.

Определение гладкой кривой. Кривая

называется гладкой, если x(t), y(t) имеют непрерывные производные и выполнено условие

(x_t)² + (y_t)² ≠ 0.В каждой точке кривой  касательная, угловой коэффициент которой (или ) меняется непрерывно. Кривая, являющаяся объединением конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.

Пусть D – замкнутая ограниченная область в плоскости (x, y) с гладкой или кусочно-гладкой границей L,

f(x, y) – заданная в точках области D функция.

Разобьем кусочно-гладкими кривыми область D на конечное число частей:  i выберем P_i*(x_i^*, y_i^*) D_i и составим интегральную сумму

Здесь Δs_i – площадь части D_i.

Определение 1. Двойным интегралом от функции

f(x, y) по области D называется предел последовательности интегральных сумм

где δ – максимальный диаметр частей D_i (i=1, 2, , n)

(как следствие: n  ), если этот предел конечен и не зависит от способа разбиения области и от выбора точек P_i* D_i.

Определение 2. Функции, для которых  двойной интеграл по области D, будем называть интегрируемыми по области D.

Теорема. Если D ограничена кусочно-гладкой замкнутой кривой, то любая непрерывная функция f(x, y) интегрируема по D.

Непрерывность в граничной точке M₀ означает, что

Доказательство не приводим.

Кроме этого, если

f(x, y) непрерывна на каждой из них (значения на общих границах можно задавать по-разному)

то f(x, y) интегрируема по D и

Замечание. В обоих перечисленных случаях интегрируемые функции ограничены в D. Для неограниченной функции двойной интеграл не существует.

12.2.5. Некоторые применения двойного интеграла.

1. – площадь области D.

2.(x, y) – поверхностная плотность пластины, занимающей область D,

 –масса пластины.

3.h(x, y) – переменная высота тела, основанием которого служит область D,

 –объем тела.

4. Координаты центра тяжести пластины:

Если (x, y) = const,

(средние значения соответствующих координат).

6. Двойной интеграл. Свойства. Теорема о среднем значении. (12.2.3, 12.2.4)

12.2.3. Свойства двойного интеграла (следуют из свойств конечных сумм и предела и аналогичны свойствам интеграла Римана).

1. (площадь области D).

2. Линейность.

3. Аддитивность. D = D₁ D₂, D₁ D₂не содержит открытого множества  .

4. Если f₁(x, y) = f(x, y) для всех точек в D за исключением конечного числа точек или кусочно-гладких кривых, то

5. Свойства, связанные с оценкой интеграла с помощью неравенств

1. 

2. 

3. m, M  R.

4. .

5. M  R.

12.2.4. Теорема о среднем значении для двойного интеграла.

Определение. Число f_ср = называетсясредним значением интегрируемой функции f(x, y) в области D.

Теорема. Если f(x, y) непрерывна в области D, ограниченной кусочно-гладкой кривой, то

 M₀(x₀, y₀)  D: f(M₀) =,или.

6. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. (12.2.6)

12.2.6. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Частный случай:

f(x, y) непрерывная функция в D.

Заключим D в прямоугольник D₁: a  x  b, c  y  d

и введем интегрируемую в D₁ функцию

Интегрируем f₁(x, y) по D₁. Разобьем D₁ прямыми x = x_i (i=1, n), y = y_j (j=1, m).

Выберем P^*_ijD_ij – угловые точки (x_i, y_j).

s_ij = x_iy_j,   0  ₁=max x_i  0, ₂ =max y_j  0.

_\В скобках – предел интегральных сумм – интеграл

Итак,

\Если обозначить (внутренний интеграл – функция от x), то получим:(внешний интеграл).

Окончательно, _{Двойной интеграл заменен повторным интегралом.}

_{Форма записи:}

_{Форма записи:}

Замечание. Формулы перехода к повторным интегралам справедливы только в декартовой прямоугольной системе координат (удалось в s_ij разделить x_i и y_j).

Комментарии к действиям.

1. Выбирается ось координат, на которую ортогонально проектируется область D.

2. Первое интегрирование производится по всем «теряющимся» при этом отрезкам (проектирующимся в точку).

3. Задача становится одномерной, последнее интегрирование производится по отрезку на оси координат.

4. Пределы интегрирования всегда расставляются по возрастанию переменной.

Замечание. Более сложные области разбиваются на рассмотренные и применяется аддитивность интеграла.

7. Замена переменных в двойном интеграле. Общая формула. Переход к полярным и обобщенным полярным координатам. (12.2.7, 12.2.8)