9.3. Признаки сходимости несобственных интегралов.

Пусть имеет единственную особенность в точке b (либо b= ∞, либо f(x) не ограничена

при x b, x < b) Для исследования сходимости интеграла иногда можно привлечь другой, более простой интеграл, _, поведение которого нам известно.

Теорема 1. Признак сравнения. Пусть f(x)  0.

a) Если xисходится, то сходится и;

б) если x и расходится, то расходится и интеграл .

Теорема 2. Признак эквивалентности (второй признак сравнения или признак сравнения в предельной форме). Пусть f(x)  0.

Если при x b (x < b), то интегралы сходятся или расходятся одновременно (оба сходятся или оба расходятся)

Замечание 1. Так как умножение интеграла на число, не равное нулю, не влияет на его сходимость, признаки сравнения можно использовать и в случае, когда f(x) отрицательна. Таким образом, для применения этих признаков требуется знакопостоянство функции на соответствующем интервале.

Замечание 2. При исследовании несобственных интегралов на сходимость чаще всего их сравнивают с интегралами и.(вспомним: первый интеграл сходится приp>1, второй – при p<1).

Замечание.

Теорема 2 может быть сформулирована по-другому: f(x)  0 и  , исходятся или расходятся одновременно. (, но постоянный множитель может быть вынесен за интеграл).9.4. Абсолютная и неабсолютная сходимость несобственных интегралов.Определение. Пусть интеграл – несобственный (I или II рода). Если сходится интеграл , то исходный интеграл называетсяабсолютно сходящимся.

Теорема. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.(без доказательства)

Сформулированные выше признаки сходимости могут использоваться для выяснения абсолютной сходимости интегралов.

4. f:RⁿR. Признак полного дифференциала (n = 2, 3). Метод нахождения первообразной, основанный на понятии частных производных. (12.1)

Теорема. Необходимое условие полного дифференциала функции двух переменных.

Пусть P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в области D.

Если в D  функция F(x, y) такая, что

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)dy,

то в D тождественно выполняется равенство (признак полного дифференциала функции двух переменных)

Доказательство. Если dF = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, то

Но тогда условие_{означает}(равенство смешанных производных).

Теорема. Необходимое условие полного дифференциала функции трех переменных. Пусть P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) имеют непрерывные частные производные в D.

Если в D  функция F(x, y, z) такая, что dF = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz,

то в D тождественно выполняются равенства .(признак полного дифференциала функции трех переменных)

Доказательство проводится так же, как в случае функции двух переменных.

Замечание. Позже покажем, что для односвязной области D необходимые условия являются также и достаточными для существования функции с заданным дифференциалом (т.е. первообразной).

12.1.3. Метод нахождения функции по известному дифференциалу, основанный на понятии частных производных.

Дано: P(x, y)dx + Q(x, y)dy, При фиксированном y находим с точностью до слагаемого, не зависящего от x, но, возможно, зависящего от y:

С другой стороны, должно быть:

Определяем C′(y) и интегрированием находим C(y).

Первообразная F(x, y) определена с точностью до постоянного слагаемого.

5. Двойной интеграл. Определение. Интегрируемые функции. Применения. (12.2.2, 12.2.5)