-
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Теорема 5.
Пусть функция
u=f(x1,x2,…,xm)
n-дифференцируема
в точке
.
Тогда существует непрерывная в точке
функция
такая, что
и для всех
имеет место равенство
(5), где
.
Дифференцируемость n
раз функции f
в точке x0
предполагает её (n-1)-дифференцируемость
в некоторой окрестности точки x0.
Доказательство.
Положим для
всех
Нужно лишь доказать, что
Докажем по индукции.
Для n=0
и n=1
это следует из определения соответственно
непрерывности и 1-дифференцируемости
функции f
в точке
Пусть
,
и пусть теорема верна для i=n-1.
Докажем её для i=n.
Найдем производную
.
Предварительно убедимся, что для k=1,…,n
при фиксированных x2,x3,…,xm
При фиксированных
x2,x3,…,xm
величину
можно рассматривать как постоянную,
поскольку символы
используются для образования частных
производных функции f
в фиксированной точке
.
Поэтому
Следовательно,
Но это есть остаточный член в формуле
Тейлора порядка n-1,
примененной к функции
По предположению индукции
Совершенно аналогично получим, что для
i=2,…,m
Тогда взяв точку
из указанной окрестности точки
и заметив, что
и применив формулу Тейлора порядка 1 с
остаточным членом в форме Лагранжа
будем иметь
Где
- точка, промежуточная между
и
.
Следовательно,
Теорема доказана.
Замечание.
Остаточный член формулы (5) в виде
записывают короче в виде
,
где
,
и называют остаточным членом в форме
Пеано.