Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
31
Добавлен:
29.03.2016
Размер:
748.03 Кб
Скачать
  1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

Теорема 5. Пусть функция u=f(x1,x2,…,xm) n-дифференцируема в точке . Тогда существует непрерывная в точке функция такая, что и для всех имеет место равенство (5), где . Дифференцируемость n раз функции f в точке x0 предполагает её (n-1)-дифференцируемость в некоторой окрестности точки x0.

Доказательство. Положим для всех Нужно лишь доказать, что

Докажем по индукции.

Для n=0 и n=1 это следует из определения соответственно непрерывности и 1-дифференцируемости функции f в точке

Пусть , и пусть теорема верна для i=n-1. Докажем её для i=n.

Найдем производную . Предварительно убедимся, что для k=1,…,n при фиксированных x2,x3,…,xm

При фиксированных x2,x3,…,xm величину можно рассматривать как постоянную, поскольку символы используются для образования частных производных функции f в фиксированной точке . Поэтому Следовательно, Но это есть остаточный член в формуле Тейлора порядка n-1, примененной к функции По предположению индукции Совершенно аналогично получим, что для i=2,…,m Тогда взяв точку из указанной окрестности точки и заметив, что и применив формулу Тейлора порядка 1 с остаточным членом в форме Лагранжа будем иметь

Где - точка, промежуточная между и . Следовательно, Теорема доказана.

Замечание. Остаточный член формулы (5) в виде записывают короче в виде , где , и называют остаточным членом в форме Пеано.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.