Дифференциальное исчисление функций многих переменных

1. Частные производные

Пусть x=(x₁,x₂,…,x_m) – внутренняя точка области определения функции u=f(x₁,…,x_m). Рассмотрим частное приращение этой функции по переменной x_k .

Определение. Если существует предел отношения при , то этот предел называют частной производной функции f в точке по к-ой переменной и обозначают следующими символами . Таким образом .

Отметим, что частная производная функции f по аргументу x_k представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x_k при фиксированных значениях остальных переменных. Поэтому вычисления частных производных производится по обычным правилам вычисления производных функций одной переменной.

Заметим, что из существования у функции в данной точке всех частных производных, вообще говоря, не вытекает непрерывность функций в этой точке.

Задание. Привести пример такой функции.

2. Дифференцируемость функции многих переменных

Рассмотрим приращение (то есть полное приращение) функции u=f(x₁,…,x_m) в точке , соответствующее приращениям аргументов .

Определение. Функция f называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке может быть представлено в виде , (1)

где A₁,A₂,…,A_m – числа, α₁,α₂,…,α_m – бесконечно малые при функции, равные 0 при .

Соотношение (1) называют условием дифференцируемости функции f в точке .

Его можно записать в другой форме. Рассмотрим функцию . Заметим, что при при любых i. Поэтому .Следовательно, (2)

Докажем, что из представления (2) вытекает представляет представление (1).

Действительно, .

Полагая и учитывая, что , мы придем к представлению (1). Итак, условия (1) и (2) эквивалентны.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если функция f дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные по всем переменным, причем , где A_i – числа из условия (1) или (2).

Доказательство.

Из условия (1) вытекает, что . Тогда , так как при . Теорема доказана.

Следствие 1. Условие (2) можно записать в следующей форме: .

Следствие 2. Если функция f дифференцируема в точке , то представление (1) или (2) единственно, то есть числа A_i, равные частным производным, определяются единственным образом.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. В самом деле, из условия (1) дифференцируемости вытекает, что , а это означает, что функция непрерывна в точке .

3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости

Мы уже обратили внимание, что из существования функции всех частных производных в точке не вытекает её непрерывность в этой точке, и тем более, дифференцируемость. Докажем следующую теорему.

Теорема 3. Если функция f имеет все частные производные в некоторой окрестности точки и все эти частные производные непрерывны в точке , то функция f дифференцируема в точке .

Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных u=f(x,y). Итак, пусть обе частные производные существуют в окрестности точки (x₀,y₀) и непрерывны в этой точке. Взяв приращения и столь малыми, чтобы не выйти из указанной окрестности, рассмотрим приращение Выражение можно рассматривать как приращение функции одной переменной x на отрезке . Тогда согласно теореме Лагранжа найдется такое , что . Аналогично, .

Так как и непрерывны в точке (x₀,y₀), то , , где α и β – бесконечно малые при и функции. Используя это, получим: . Это равенство означает дифференцируемость функции f в точке (x₀,y₀). Теорема доказана.