Многие вопросы естествознания приводят к рассмотрению такой зависимости между несколькими переменными величинами, при которой значения одной из переменных величин определяется значениями остальных переменных.

Для изучения такого рода зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.

§1. Понятие m- мерного евклидова пространства

Из курса аналитической геометрии вы знакомы с понятиями координатной плоскости и трехмерного координатного пространства. Обобщением этих понятий является m- мерное координатное пространство – множество упорядоченных наборов m вещественных чисел .

Каждый упорядоченный набор будем называть точкой или вектором m – мерного координатного пространства и обозначать . При этом числабудем называть координатами точки (вектора).

Определение 1. Назовем суммой векторов и- вектор с координатами.

Определение 2. Произведением вектора на вещественное число λ – вектор с координатами.

В результате координатное пространство превращается в линейное пространство.

Задание. Вспомните восемь аксиом линейного пространства и проверьте их выполнение в данном случае.

Определим скалярное произведение двух векторов исоотношением:

.

Задание. Вспомните из курса линейной алгебры определение скалярного произведения и евклидова пространства. Проверьте, что четыре аксиомы скалярного произведения в данном случае выполнены.

Обозначим m- мерное евклидово пространство .

Определим расстояние соотношением.

Отметим важные для дальнейшего неравенства при i = 1,2,…,m

(1)

или

(2)

Их смысл состоит в том, что расстояние между точками имало тогда и только тогда, когда мало отличаются соответствующие координаты этих точек.

§2. Множества точек m – мерного евклидова пространства

Опишем важнейшие типы множеств точек пространства .

Определение 1. При r > 0 множество

называется шаром с центром радиусаr.

Шар радиуса с центром в точкеназывают- окрестностью точкии обозначают.

Определение 2. Точка множестваназывается внутренней точкой этого множества, если существует- окрестность.

Определение 3. Точка называется внешней точкой множестваX, если существует - окрестность.

Определение 4. Точка называется граничной точкой множестваX, если эта точка не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества.

Определение 5. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

Определение 6. Произвольное открытое множество, содержащее точку , называется окрестностью этой точки.

Определение 7. Множество X называют замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

Определение 8. Точка называется предельной точкой множестваX, если в любой - окрестности точкисодержится хотя бы одна точка этого множества, отличная от.

Задание. Убедится в том, что множество X замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Определение 9. Множество X называют ограниченным, если найдется шар , содержащий это множество.

Определение 10. Непрерывной кривой L в назовем множество точекэтого пространства, координаты которых представляют собой непрерывные функции параметраt:

,

Говорят, что кривая L соединяет точки и, если,.

Определение 11. Множество X называют связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

Определение 12. Всякое открытое и связное множество называют областью.