§3. Последовательности точек пространства Rm
Отображение множества натуральных чисел N в называют последовательностью в. Значение этого отображения в точкеобозначим, а саму последовательность.
Определение 1. Последовательность называется сходящейся к точке, если
.
Для обозначения предела используется прежняя символика:
или
при .
Теорема 1.(о координатной сходимости)
Последовательность сходится к точкетогда и только тогда, когда числовые последовательностикоординат сходятся соответственно к координатамточки.
Доказательство.
Необходимость.
, т.о. .
Тогда в силу (1) . Иными словами.
Достаточность.
Пусть указанные последовательности координат сходятся к числам . Тогда для любогоможно указать номератакие, что присоответственно выполняются неравенства. Тогда прив силу неравенства (1) выполняется неравенство, то есть.
Теорема 1 доказана.
Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если. В полной аналогии с теоремой 1 может быть доказано следующее утверждение:
Теорема 2.(о координатной фундаментальности)
Последовательность является фундаментальной тогда и только тогда, когда последовательностиявляются фундаментальными.
С помощью теорем 1 и 2 и критерия Коши сходимости числовой последовательности доказывается теорема (критерий Коши сходимости последовательности в ). Для того чтобы последовательностьбыла сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Задание. Провести доказательство самостоятельно.
Определение 3. Последовательность точек вназывается ограниченной, если, где- точка, все координаты которой равны 0.
Теорема 3. (Больцано – Вейерштрасса)
Из любой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство.
Поскольку , то в силу неравенства (1). Иными словами, последовательностиограничены. В силу теоремы Больцано – Вейерштрасса для числовых последовательностей из последовательностиможно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу. Рассмотрим соответствующую подпоследовательностьпоследовательности вторых координат точек. В силу той же теоремы из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу. Заметим, что последовательность. Итак, подпоследовательностиисходятся к числамисоответственно. Продолжая эти рассуждения, мы получим сходящуюся к некоторому числуподпоследовательностьпоследовательностиm – ых координат точек , причем подпоследовательности,…,сходятся к числамсоответственно. Тогда в силу теоремы 1 подпоследовательностьсходится к точке. Теорема 3 доказана.
Над последовательностями в можно производить те же операции, которые можно производить над векторами этого пространства; а именно: сложение, умножение на скаляр и скалярное произведение. Следующая теорема говорит о непрерывности этих операций.
Теорема 4.
Пусть ,- числовая последовательность,. Тогда.
Доказательство.
В силу теоремы 1 . Тогда по свойствам числовых последовательностей,. Последнее соотношение выражает непрерывность скалярного произведения. Из первых двух соотношений на основании теоремы 1 приходим к выводу. Теорема4 доказана.