§3. Последовательности точек пространства Rm

Отображение множества натуральных чисел N в называют последовательностью в . Значение этого отображения в точке обозначим , а саму последовательность .

Определение 1. Последовательность называется сходящейся к точке , если

.

Для обозначения предела используется прежняя символика:

или

при .

Теорема 1.(о координатной сходимости)

Последовательность сходится к точке тогда и только тогда, когда числовые последовательности координат сходятся соответственно к координатам точки .

Доказательство.

Необходимость.

, т.о. .

Тогда в силу (1) . Иными словами .

Достаточность.

Пусть указанные последовательности координат сходятся к числам . Тогда для любого можно указать номера такие, что при соответственно выполняются неравенства . Тогда при в силу неравенства (1) выполняется неравенство , то есть .

Теорема 1 доказана.

Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если . В полной аналогии с теоремой 1 может быть доказано следующее утверждение:

Теорема 2.(о координатной фундаментальности)

Последовательность является фундаментальной тогда и только тогда, когда последовательности являются фундаментальными.

С помощью теорем 1 и 2 и критерия Коши сходимости числовой последовательности доказывается теорема (критерий Коши сходимости последовательности в ). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Задание. Провести доказательство самостоятельно.

Определение 3. Последовательность точек в называется ограниченной, если , где - точка, все координаты которой равны 0.

Теорема 3. (Больцано – Вейерштрасса)

Из любой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство.

Поскольку , то в силу неравенства (1) . Иными словами, последовательности ограничены. В силу теоремы Больцано – Вейерштрасса для числовых последовательностей из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность последовательности вторых координат точек . В силу той же теоремы из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу . Заметим, что последовательность . Итак, подпоследовательности и сходятся к числам и соответственно. Продолжая эти рассуждения, мы получим сходящуюся к некоторому числу подпоследовательность последовательности m – ых координат точек , причем подпоследовательности ,…, сходятся к числам соответственно. Тогда в силу теоремы 1 подпоследовательность сходится к точке . Теорема 3 доказана.

Над последовательностями в можно производить те же операции, которые можно производить над векторами этого пространства; а именно: сложение, умножение на скаляр и скалярное произведение. Следующая теорема говорит о непрерывности этих операций.

Теорема 4.

Пусть , - числовая последовательность, . Тогда .

Доказательство.

В силу теоремы 1 . Тогда по свойствам числовых последовательностей , . Последнее соотношение выражает непрерывность скалярного произведения. Из первых двух соотношений на основании теоремы 1 приходим к выводу . Теорема 4 доказана.