§4. Предел функции m переменных

Пусть числовая функция f определена на множестве . Будем использовать обозначение или .

Пусть точка - предельная точка множества X.

Определение 1.(предела функции по Гейне)

Число a называется пределом функции f в точке , если для любой сходящейся к точке последовательности точек множества X, все элементы которой отличны от , числовая последовательность значений функции сходится к числу a.

Определение 1*.(предела функции в точке по Коши)

Число a называется пределом функции f в точке , если

Для обозначения предела используется следующая символика:

.

Доказательство эквивалентности определения 1 и 1* проводится точно так же, как и для функции одной переменной.

Введем понятие предела функции f при . Для этого положим, что множество X для любого имеет хотя бы один элемент, лежащий вне шара радиуса с центром в точке . Ограничимся определением по Коши.

Определение 2.

Число a называется пределом функции f при , если .

Так же, как и для функции одной переменной, доказывается теорема 1.

Теорема 1. Если , то

,

,

при дополнительном требовании, что и функция g в ноль не обращается.

Определение 3.

Будем говорить, что функция f удовлетворяет условию Коши в точке (соответственно при ), если

Теорема 2. (Критерий Коши существования предела функции в точке).

Для того чтобы функция f имела конечный предел в точке [при ], необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке [при ] условию Коши.

Доказательство этой теоремы полностью идентично доказательству критерия Коши для функции одной переменной.

§5. Непрерывность функции m переменных.

Приведем два эквивалентных определения непрерывности функции в точке.

Определение 1.(непрерывности функции в точке по Гейне)

Функция f называется непрерывной в точке , если для любой сходящейся к точке последовательности точек множества X числовая последовательность значений этой функции сходится к числу .

Определение 1*.(непрерывности функции в точке по Коши)

Функция f называется непрерывной в точке , если

Сопоставляя эти определения с определениями предела функции в точке, нетрудно прийти к выводу:

Функция f непрерывна в точке , являющейся предельной точкой множества X, тогда и только тогда, когда .

Определение 2.

Функция f называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Основные свойства непрерывных функций:

1. Если функции f и g непрерывны в точке , то функции и также непрерывны в точке (в случае частного нужно дополнительно потребовать, чтобы g не обращалась в 0). Это утверждение вытекает из теоремы 1 предыдущего параграфа.

2. Непрерывность сложной функции.

Пусть функции

непрерывны в точке , а функция непрерывна в точке , где , i =1,2,…,m. Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Пусть последовательность . Тогда в силу непрерывности функций в точке i =1,2,…,m, , а в силу непрерывности функции f в точке , а в силу непрерывности функции f в точке . Но это и означает, что , то есть сложная функция непрерывна в точке . Свойство 2 доказано.

3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции. Теорема. Если функция f непрерывна в точке и ( ), то

( ).

Доказательство этой теоремы, как и в случае функций одной переменной, почти непосредственно вытекает из определения Коши.