Аналитическая геометрия на плоскости

Понятие

Содержание

Система координат

Способ численного описания положения точки

Числовая ось

Прямая с выбранным направлением, масштабом и точкой отсчета

Прямоугольная система координат

Задается двумя на плоскости и тремя в пространстве взаимно перпендикулярными числовыми осями (ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат)

Полярная система координат

Задается выходящим из полюса лучом (полярная ось) с масштабным отрезком

Окружность

Множество точек на плоскости, равноудаленных от точки, называемой центром окружности

Эллипс

Множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами

Гипербола

Множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между фокусами

Парабола

Множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой

Понятие

Содержание

Множество

Совокупность (класс, семейство) объектов, объединенных по какому-либо признаку

Объединение (сумма) множеств А и В

Новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В (хотя бы одному из этих множеств)

Пересечение (произведением) множеств

А и В

Новое множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В

Понятие

Содержание

Числовые множества

N={1;2;…;n;…} – множество натуральных чисел

Z={0;±1; ;±2;… ;±n…} – множество целых чисел

Q={|mZ,nN } – множество рациональных чисел

R=Q+I, I – множество иррациональных чисел, R – множество действительных чисел

Функция y=f(x)

Зависимость f, при которой каждому xD ставится в соответствие единственное значение yE

Числовая последовательность x_n

Функция, заданная на множестве натуральных чисел x_n=f(n)

Предел числовой последовательности x_n

Число а, если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется | x_n – а|< ε.

Записывают

Сходящаяся числовая последовательность

Имеет предел, причем всегда единственный

Расходящаяся числовая последовательность

Не имеет предела

Предел функции f(x) в точке x_o, т.е.

(По Коши) число А, если для любого положительного числа ε найдется положительное число δ, что при всех x: |x-x_o|< δ, x≠x_o выполняется неравенство |f(x)-A|< ε;

(по Гейне) число А, если для любой последовательности x_n, nN (x_n≠x_o): выполняется

Бесконечно большая функция f(x) при x→x₀

Если для любого числа М > 0 существует число δ > 0, что для всех x: |x-x_o|<δ, x≠x_o выполняется неравенство |f(x) |>M

_Записывают:

Понятие

Содержание

Ограниченная функция

Если существует число М > 0, что

Неопределенности

Ситуации, когда после подстановки предельного значения получаем

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

y=f(x) непрерывная в точке x_o

Если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Точки разрыва функции y=f(x)

Точки, в которых нарушается непрерывность функции

Приращение аргумента x в точке x₀

Разность двух значений аргумента

Приращение функции f(x) в точке x₀

Разность соответствующих значений функции

Производная функции y=f(x) в точке x

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Дифференцирование

Операция нахождения производной функции

Логарифмическое дифференцирование

Операция дифференцирования предварительно прологарифмированной функции

Дифференциал функции y=f(x) в точке x

Главная часть приращения функции:

Правило Лопиталя

Способ раскрытия неопределенностей вида, основанный на применении производных

Понятие

Содержание

Функция y=f(x), возрастающая на (а;b)

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.

Функция y=f(x), убывающая на (а;b)

Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.

Точка максимума функции y=f(x)

Точка x_о, если сущестствует δ-окрестность точки x₀ , что для всех x≠x_o из этой окрестности выполняется f(x)<f(x_o)

Точка минимума функции y=f(x)

Точка x_о, если сущестствует δ-окрестность точки x₀, что для всех x≠x_o из этой окрестности выполняется f(x)>f(x_o)

Выпуклый вниз (вогнутый) график y=f(x) на (а;b)

Если график функции расположен выше любой его касательной на этом интервале

Выпуклый вверх (выпуклый) график y=f(x) на (а;b)

Если график функции расположен ниже любой его касательной на этом интервале

Точка перегиба

Точка графика непрерывной функции, отделяющая части разного вида выпуклости

Асимптота кривой

Прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении ее от начала координат по кривой