3.3. Рекомендации преподавателям

1. Практические занятия по теме «Статистические таблицы» могут быть посвящены анализу различных видов таблиц из различных статистических ежегодников а также рекомендуется рассмотреть материал, представленный в задачнике.

При рассмотрении статистических графиков целесообразно дать задания по построению различных графиков.

2. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов целесообразно состоять из двух частей: 1 – я часть – по разработке макетов сложных таблиц; 2 – я часть – по самостоятельному подбору студентами заданных видов таблиц из различных статистических ежегодников и данных периодической печати.

3. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости – это промежуточное тестирование по данной теме.

Тема 4. Статистические показатели и показатели вариации

Теория статистических показателей в экономической науке и практике имеет важное значение. Отчетность предприятий и организаций, планирование, моделирование и прогнозирование и т. д. опираются на использование различных статистических показателей. Поэтому при изучении этой темы рекомендуется уделить главное внимание классификации статистических показателей и принципам выбора конкретной их формы в зависимости от решаемой задачи и имеющихся исходных данных.

Статистический показательпредставляет собой количественную характеристику социально – экономических явлений и процессов в условиях качественной однородности.

Все статистические показатели по форме выражения подразделяются на абсолютные, относительные и средние.

Абсолютными в статистике называются суммарные обобщающие показатели, характеризующие размеры (уровни, объемы) общественных явлений в конкретных условиях места и времени. Они характеризуют экономическую мощь страны и социальную жизнь населения (ВВП, ВНП, ВНД, реальные располагаемые денежные доходы населения, объем промышленного и сельскохозяйственного производства, объем выпуска важнейших видов продукции).

Различают два вида абсолютных величин: индивидуальные и суммарные.

Индивидуальными называют абсолютные величины, характеризующие размеры признака у отдельных единиц совокупности (например, размер заработной платы отдельного работника, вклад гражданина в определенном банке и т. д.). Они получаются непосредственно в процессе статистического наблюдения и фиксируются в первичных учетных документах.

В отличие от индивидуальных суммарные абсолютные величины характеризуют итоговую величину признака по определенной совокупности объектов, охваченных статистическим наблюдением. Например, если индивидуальными будут показатели численности работающих на отдельных предприятиях, то суммарными – численности работающих по группам, объединениям предприятий. С позиции отдельного предприятия численность занятых на нем будет суммарной абсолютной величиной, а численности работающих в каждом цехе – величинами индивидуальными.

Абсолютные статистические величины представляют собой именованные числа, т. е. имеют какую – либо единицу измерения.

В зависимости от сущности исследуемого социально – экономического явления абсолютные статистические величины выражаются в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения. Абсолютные статистические величины могут быть как положительными (доходы), так и отрицательными (убытки, потери).

Натуральные единицы измерения, в свою очередь, могут быть простыми (тонны, штуки, метры, литры) и сложными, являющимися комбинацией нескольких разноименных величин (например, грузооборот железнодорожного транспорта выражается в тонно – километрах, производство электроэнергии – в киловатт – часах, затраты труда – в человеко – часах, человеко – днях).

Стоимостные единицы измерения используются, например, для выражения объема разнородной продукции денежной форме – рублях. В стоимостных единицах выражают валовой выпуск продукции, доходы населения и др.

В трудовых единицах измерения учитываются общие затраты труда на предприятии, трудоемкость отдельных операций технологического цикла.

Относительные показателиполучают в результате сравнения двух показателей. Знаменатель отношения, т.е. та величина, с которой сравнивают другую, называется основанием или базой сравнения. Если основание единица, то относительная величина - коэффициент, если основание 100, то относительная величина - процент, если основание - 1000, то относительная величина измеряется в промилле.

Различают следующие виды относительных величин: относительные величины планового задания, выполнения плана, структуры, координации, интенсивности, уровня экономического развития, динамики и сравнения.

Относительный показатель динамики(ОПД ) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени и уровня того же процесса или явления в прошлом:

(4.1)

где текущий уровень;предшествующий или базисный уровень.

Их вычисляют путем сравнения величины текущего периода к величине одного из прошлых периодов. Если база сравнения постоянная, то темпы динамики базисные, а если переменная, то цепные. Примером расчета базисных и цепных относительных величин динамики является табл. 4.1.

Таблица 4.1 - Динамика фонда оплаты труда на строительном предприятии

Месяцы	Фонд оплаты труда
	руб.	в % к январю (базисные темпы динамики)	в % к предыдущему месяцу (цепные темпы динамики)
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь	17800 26344 26878 27590 27590 28836	— 148 151 155 155 162	— 148,0 102,0 102,6 100,0 104,5

Из таблицы видно, что фонд оплаты труда на предприятии за пять месяцев увеличился на 62% или в 1,62 раза. Цепные темпы показывают, что в каждом месяце по сравнению с предыдущим происходило увеличение фонда оплаты труда. Резкое увеличение фонда заработной платы на 48% произошло в феврале по сравнению с январем.

Относительные показателиплана и выполнения плана. Все субъекты финансово – хозяйственной деятельности в той или иной степени осуществляют как текущее, так и стратегическое планирование, а также сравнивают реально достигнутые результаты с ранее намеченными. Для этой цели используются относительные показатели плана (ОПП) и выполнения плана (ОПВП):

; (4.2)

. (4.3)

Первый из показателей характеризует напряженность плана, т. е. во сколько раз намечаемый объем производства превысит достигнутый уровень или сколько процентов от этого уровня составит. Второй показатель отражает фактический объем производства в процентах или коэффициентах по сравнению с плановым уровнем.

Пример. Предположим, товарооборот фирмы в 2011 г. Составил 3,5 млрд. руб. Исходя из анализа складывающихся на рынке тенденций руководство фирмы считает реальным в следующем году довести оборот до 3,9 млрд. руб. В этом случае относительный показатель плана составит:

Предположим теперь, что фактический оборот фирмы 2012 г. Составил 3,7 млрд. руб. В этом случае относительный показатель выполнения плана составить:

Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:

Относительные показатели структуры (ОПС)представляют собой отношение структурной части совокупности к итогу по этой совокупности. Они характеризуют структуру, состав той или иной совокупности социально – экономических явлений. Относительные показатели структуры рассчитывается по формуле:

(4.4)

гдепоказатель, характеризующий часть совокупности;показатель по всей совокупности.

Пример расчета относительных величин структуры показан в табл.4.2.

Таблица 4.2 - Структура промышленно-производственного персонала фирмы

Категории персонала	Базисный период		Отчетный период
	Чел.	%	Чел.	%
Руководители и специалисты Служащие Рабочие	26 38 86	17.4 25.3 57.3	18 26 66	16.4 23.6 60.0
Итого	150	100	110	100

Как показывает табл.4.2, в отчетном периоде в фирме увеличилась доля рабочих и в два раза снизилась доля руководителей и специалистов. Такого рода изменения называют структурными сдвигами.

Относительный показатель координации (ОПК)представляет собой отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности и рассчитывается по выражению:

(4.5)

где показатель, характеризующийю часть совокупности;показатель, характеризующий часть совокупности, выбранную в качестве базы сравнения.

При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть совокупности, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой – либо другой точки зрения. . Относительные величины координации численности рабочих с руководителями, специалистами и служащими по данным табл.4.2, показывают, что в базисном периоде на 100 рабочих фирмы приходилось 74 человек руководителей, специалистов и служащих (64:86 х 100), а в отчетном уже 67 человек (44:66 х 100).

Относительные показателиинтенсивности (ОПИ)получают путем сравнения объемов разных совокупностей, находящихся в определенной связи друг с другом. Например, выпуск товарной продукции и численность, территория и население. Сравнивая эти совокупности, находим такие относительные величины интенсивности как производительность труда и плотность населения. Разновидностью показателей интенсивности являются показатели экономического развития,такие как душевой доход, производство и потребление различных видов продукции на душу населения и др.

Относительный показатель сравнения (ОПСР)представляет собой соотношение одного и того же абсолютного показателя, характеризующего разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области, страны и т. п.):

(4.6)

Например, можно сравнить урожайность зерновых культур, среднюю заработную плату, объем промышленной продукции по странам, отдельным регионам и областям. В качестве примера приведем таблицу 4, которая показывает, во сколько раз средняя заработная плата промышленно-производственного персонала (ППП) в топливной промышленности превышала среднюю заработную плату в других отраслях.

Таблица 4.3 – среднемесячная заработная плата промышленно-производственного персонала (ППП) в некоторых отраслях промышленности в 2010г.

Отрасль промышленности	Средняя заработная плата ППП, руб.	Отношение средней ЗП ППП в топливной промышленности к средней ЗП в других отраслях
Топливная Электроэнергетика Пищевая Химическая Лесная Легкая	28962 23170 13046 11968 10418 9283	— 1,25 2,22 2,42 2,78 3,12

Статистика изучает массовые явления и процессы. Каждое из таких явлений обладает общими для всей совокупности и индивидуальными свойствами. Различие между индивидуальными свойствами называется вариацией, а присущая массовым явлениям близость (похожесть) характеристик отдельных явлений определяется средними величинами.Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности варьируют под влиянием множество факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Сущность средней в том в том и заключается, что в ней взаимопогашаются те отклонения значений признака, которые обусловлены действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая, которая, и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическаяпростая.Эта форма применяется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Предположим, пять торговых центров фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц (табл. 4.4):

Таблица 4.4

Экономический показатель	Торговый центр (i)
Товарооборот (млн. руб.)	1	2	3	4	5
	140	150	130	168	125

Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот (СМТ) в расчете на один торговый центр необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:

Исходя из этого получим рабочую формулу данной средней:

, (4.7)

где индивидуальные значения признака, которые называют вариантами,число единиц совокупности.

С учетом имеющихся исходных данных получим:

В этом примере мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).

Средняя арифметическая взвешенная.При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными и интервальными.

Рассмотрим следующий условный пример:

Таблица 4.5. Результаты торгов акциями АО

Сделка	Количество проданных акций, шт.	Курс продажи, руб.
1	600	1100
2	400	1080
3	2500	1132

Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи одной акции (СКА), что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение:

Чтобы получить общую сумму сделок, необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:

Таким образом расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной:

,(4.8)

где варианты;веса или частоты (т.е. число вариант, имеющих одинаковое значение признака).

При расчета средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример (табл.4.6):

Таблица 4.6. Распределение предприятий отрасли по объему годовой прибыли

Прибыль, млн руб.	Число предприятий
10- 20 20- 30 30- 40 40- 60 60- 80 80- 100	7 13 38 42 16 5
Итого	121

Для определения средней прибыли в расчете на одно предприятие найдем середины интервалов. Середины интервалов будут следующие:

15, 25, 35, 50, 70, 90.

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим среднюю прибыль предприятий отрасли:

В статистических исследованиях используются и другие виды средних. Рассмотрим их.

Средняя гармоническая- это величина, обратная средней арифметической, из обратных значений признака. Ее применяют тогда, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на обратное их значение. Формулы средней гармонической простой и взвешенной имеют вид:

, (4.9)

, (4.10)

где число единиц совокупности,варианты,. Расчет средней гармонической простой поясним на примере.

Таблица 4.7 - Стоимость продукции и ее выработка в рабочих бригадах

Номер бригады	Стоимость произведенной продукции, тыс. руб. ()	Выработка на 1-го рабочего, тыс. руб. ()
1 2 3	52 68 76	2,1 2,6 2,9
Итого	196

Варьирующим признаком в данном примере является средняя выработка рабочих в каждой бригаде. Среднее значение данного варьирующего признака равно 2,4 тыс. руб. Эта средняя получается как средняя гармоническая, где веса деленные на варианты показывают численность рабочих в бригадах, т.е.

Средняя геометрическая.Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая. Сначала обратимся к формуле невзвешенной средней геометрической. Она выглядит следующим образом:

. (4.11)

Соответственно средняя геометрическая взвешенная приобретает следующее выражение:

. (4.12)

Средняя квадратическая. В ряде случаев в экономической практике возникает потребность расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных единицах измерения. Тогда применяется средняя квадратическая (например для вычисления средних диаметров труб, стволов).

Средняя квадратическая простая рассчитывается по выражению

(4.13)

Средняя квадратическая взвешенная вычисляется по формуле:

(4.14)

Средняя квадратическая используется для анализа вариации признака. Наиболее широкое применение средняя геометрическая для определения средних темпов изменения в рядах динамики. В экономических исследованиях наиболее часто применяются средне арифметически и средне гармонически величины.

При расчете средней величины одного и того же показателя может использоваться как средняя арифметическая так и средняя гармоническая величины. Это обусловлено одной и той же логической формулой для искомого показателя. Но вместе с тем данные, по которым могут быть вычислены эти величины, должны быть различными.

Логическая формула вытекает из сущности средней, ее социально-экономического содержания. Поэтому, прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать в виде формулы, называемой логической формулой средней. Далее на основании логической формулы осуществляется выбор рабочей формулы средней в данном конкретном случае. Приведем известный алгоритм выбора рабочей формулы средней:

1. На основании исходной информаций устанавливается логическая формула для искомого показателя средней.

2. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

3. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

4. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формулы средней величины

Пример

По данным таблицы 4.8 рассчитаем среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям АО.

Таблица 4.8 – Заработная плата предприятий АО

Предприятие	Численность промышленно-произ-водственного персонала (ППП), чел.	Месячный фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата, руб.
А	1	2	3
1 2 3	355 648 866	2708,650 5472,360 6479,412	7630 8445 7482
Итого	1869	14660,422	—

Решение:

Показатель средней заработной платы в данном случае является вторичным признаком, так как она задана на единицу первичного признака (численности ППП) и может быть представлена как отношение двух первичных признаков, т.е.:

.

Из этого исходного соотношения вытекает логическая формула для вычисления средней заработной платы (СЗП) по АО:

. (4.15)

Предположим, что мы располагаем данными граф 1 и 2 таблицы 4.1. Итоги этих граф содержат необходимые величины для расчета искомой средней. В этом случае мы воспользуемся логической формулой (4.15).

руб.

Если мы располагаем только данными о средней заработной плате и численности работников (граф 1 и 3 таблицы 4.1), то нам известен знаменатель логической формулы (4.1), но не известен ее числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность ППП. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

руб.

Допустим теперь, что мы располагаем только данными о фонде заработной платы и средней заработной плате персонала (граф. 2 и 3 таблицы 4.1), то есть нам известен числитель логической формулы, но не известен ее знаменатель. Численность ППП по каждому предприятию можно получить делением фонда заработной платы на среднюю заработную плату. Тогда расчет средней заработной платы в целом по АО произведем по формуле средней гармонической взвешенной:

руб.

Необходимо заметить, что если бы численность ППП по каждому предприятию была бы одинаковой, то в качестве расчетных формул использовались соответственно средняя арифметическая простая и средняя гармоническая простая.

Для характеристики структуры совокупности применяют особые показатели, которые называют структурными средними.В отличии от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений признака, структурные средние характеризуют величину признака, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятсямедианаимода.

Модойназывается значение варианта, который чаще всего встречается в совокупности.

Медианойназывается варианта, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части — со значением признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

Определим моду и медиану по несгруппированным.

Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,5; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Как видим, чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб. Она и будет модальной. Для определения медианы необходимо ранжирование приведенного цифрового ряда: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3;4,4; 4,5; 4,5; 4,6; 4,6.

Центральной в этом ряду является цена4,4 тыс. руб. Следовательно, данная цена и будет медианной.

Если ранжированный ряд включает четное число вариант, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Теперь рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид (табл.4.9):

Таблица 4.9.

Цена, руб.	Число торговых предприятий (частоты)	Накопленные частоты
356	12	12
360	48	60
365	56	116
367	60	176
369	14	190
Итого	190	-

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда – наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 367 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака необходимо найти накопленные частоты. В дискретных рядах распределения медиане соответствует значение признака, для которого сумма накопленных частот впервые превышает половине объема совокупности. Для цены 365 руб. сумма накопленных частот (116предприятий) впервые превышает половине объема совокупности (95 предприятий), следовательно она и будет медианной ценой.

В интервальном вариационном ряду мода находится внутри модального интервала, который имеет наибольшую частоту и определяется по формуле:

(4.16)

где мода,нижняя граница модального интервала;величина модального интервала;частота модального интервала;частота интервала, предшествующего модальному;частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном вариационном ряду медиана находится в медианном интервале, которому соответствует накопленная частота, равная половине общей суммы частот или превышающая эту сумму, и определяется по формуле:

(4.17)

где медиана;начальное значение интервала, содержащего медиану;величина медианного интервала;сумма частот ряда;сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;частота медианного интервала.

Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на 4 равные части. Второй квантиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только для первого квантиля (Q₁) берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 суммы накопленных частот, а для третьего квантиля (Q₃) берется интервал, содержащий варианту, отсекающую 3/4 суммы накопленных частот. Формулы расчета первого и третьего квантилей будут иметь вид:

(4.18)

, (4.19)

где нижняя граница интервала, содержащего нижний квантиль;

нижняя граница интервала, содержащего верхний квантиль;

накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квантиль;

то же для верхнего квантиля;

частота интервала, содержащего нижний квантиль;

Приведем пример расчета моды, медианы и квантилей по данным табл.4.10.

Таблица 4.10 - Распределение предприятий района по сумме прибыли

Прибыль, млн. руб.	Количество предприятий, f	Накопленные частоты, S
До 50 50-100 100-150 150 – 200 200 – 250 250 - 300 Свыше 300	3 6 10 21 33 18 9	3 9 19 40 73 91 100
Итого	100	-

В нашем примере модальный и медианный интервалы совпадают.

Следовательно, в районе преобладают предприятия, получающие прибыль в размере 222 млн. руб.

Это значит, что половина всех предприятий района имеет прибыль меньше 215 млн. руб., а другая половина больше 215 млн. руб.

Расчет квантилей показывает, что 25% всех предприятий района получают прибыль до 164 млн. руб., другая четверть предприятий имеет прибыль свыше 256 млн. руб., а остальные предприятия имеют прибыль в пределах 164 - 256 млн. руб.

Исследование вариациив статистике и социально - экономических исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака статистической совокупности характеризует её однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относится размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Необходимо заметить, что при изучении вопроса о вариации необходимо хорошо представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущность и значение вариации признаков. При этом важно научится свободно вычислять все показатели вариации. Необходимо также усвоить, что изучение вариации признаков общественно – экономических явлений напрямую связан с статистическими рядами распределения. явлений напрямую связан с статистическими рядами распределения.

Для характеристики размера вариации признака используются абсолютные и относительные показатели. К абсолютным показателям вариации относятся:

размах вариации;

среднее линейное отклонение;

среднее квадратическое отклонение;

дисперсия.

Размах вариации (R)является наиболее простым измерителем вариации признака. К абсолютным показателям вариации относятся

, (4.20)

где - наибольшее значение варьирующего признака;

- наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонениепредставляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или частот в ряду распределения:

- невзвешенное среднее линейное отклонение;

- взвешенное среднее линейное отклонение.

Символы ,,иn имеют то же значение, что и в предыдущих параграфах. Рассмотренные выше показатели имеют те же размерность, что и признак, для которого они вычисляются.

Дисперсияпредставляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обозначается греческой буквой- «сигма квадрат»).

Дисперсия вычисляется по формулам простой и не взвешенной и взвешенной:

а) не взвешенная:

б) взвешенная:

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средне

а) - не взвешенное:

б)- взвешенное:

Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность усредняемого признака.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации.Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха, или среднего линейного отклонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

Различают следующие относительные показатели вариации (V):

Коэффициент осцилляции:,

Линейный коэффициент вариации

Коэффициент вариации:

Наиболее часто в практических расчётах из этих трёх показателей применяется коэффициент вариации.

Пример 2.

Крестьянские хозяйства подразделяются по размерам земельных угодий следующим образом (таблица 4.11):

Таблица 4.11 – Распределение крестьянских хозяйств по размерам земельных угодий

Земельные угодия, га	Число хозяйств, ед.
До 3	30
4-5	50
6-10	400
11-20	800
21-50	1800
51-70	600
71-100	700
101-200	700
201 и более	120

Рассчитайте:

1. средний размер земельных угодий;

2. показатели вариации: размах, среднее линейное, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Оцените количественную однородность совокупности;

Решение:

Для расчета требуемых показателей следует перейти от вариационного ряда к дискретному. Для этого находится середина каждого интервала. Расчет показателей легче выполнять в таблице 4.12:

Таблица 4.12 – Расчетная таблица показателей

Земельные угодья, га	Число хозяйств, ед.	Середина интервала					Накопленные частоты
До 3	30	2,5	75	57,4	1722	98842,8	30
4-5	50	4,5	225	55,4	2770	153458,0	80
6-10	400	8	3200	51,9	20760	1077444,0	480
11-20	800	15,5	12400	44,4	35520	1577088,0	1280
21-50	1800	35,5	63900	24,4	43920	1071648,0	3080
51-70	600	60,5	36300	0,6	360	216,0	3680
71-100	700	85,5	59850	25,6	17920	458752,0	4380
101-200	700	150,5	105350	90,6	63420	5745852,0	5080
201 и более	120	250,5	30060	190,6	22872	4359403,2	5200
Итого	5200	—	311360	—	209264	14542704	—

1. Средний размер земельных угодий на 1 крестьянское хозяйство определяется:

,

где - среднее значение признака;

- серединное значение интервала, в котором изменяется варианта (значение) осредняемого признака;

- частота, с которой встречается данное значение осредняемого признака.

.

2. Рассчитаем указанные показатели вариации:

а) размах вариации:

;

б) среднее линейное отклонение:

;

в) среднее квадратическое отклонение:

;

г) коэффициент вариации:

.

Следовательно, крестьянские хозяйства количественно неоднородны по размеру земельных угодий, так как коэффициент вариации больше 33%.