MetodTM1

Таким образом, абсолютное ускорение точки в сложном движении при

поступательном переносном движении по прямой можно представить в виде

3.2. Задание К4. Определение скорости и ускорения точки при сложном движении

Задание включает две задачи с вращательным и поступательным видами переносного движения точки.

Задача 1. Вращение тела относительно неподвижной оси задается зако-

ном изменения угла поворота: ϕe = ϕe (t) или законом изменения его угловой скорости: ωe = ωe (t). Движение точки относительно тела отсчитывается от её начального положения в точке С и задается законом изменения длины дуги ок-

ружности или отрезка прямой линии: CM = Sr = Sr (t).

Определить абсолютные скорость и ускорение точки в заданный момент времени t1.

Задача 2. Поступательное движение тела, несущего точку, задается зако-

ном изменения координаты xe = xe (t) . Движение точки относительно тела от-

считывается от её начального положения в точке С и задается законом измене-

ния длины дуги окружности или отрезка прямой линии: CM = yr = yr (t).

Определить абсолютные скорость и ускорение точки в момент времени t2 , который либо задаётся в исходных данных задачи, либо на схеме описаны условия, из которых он находится.

Номера вариантов заданий даны на рис. 3.2 – 3.5.

Варианты исходных данных приведены в табл. 3.1.

60

В момент t = t2 точка М прошла половину пути СВ

В момент t = t2 точка М прошла 2/3 пути СВ

Рис. 3.2. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 1 – 3, 11 – 13, 21 – 23

61

В момент t = t2 точка М прошла путь СВ

Рис. 3.3. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 4 – 6, 14 – 16, 24 – 26

62

В момент t = t2 точка М прошла половину пути СВ = R

Рис. 3.4. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 7 – 9, 17 – 19, 27 – 29

63

В момент t = t2 точка М прошла половину пути СВ = R

Рис. 3.5. Задание К4. Сложное движение точки. Номера вариантов задания 10, 20, 30

Таблица 3.1

Исходные данные для заданий по сложному движению точки

64

Окончание табл. 3.1

Пример выполнения задания К4. Сложное движение точки

Задача 1. Фигура, состоящая из половины диска и равнобедренного тре-

66

вой стрелкой ϕe . По ободу диска от точки В движется точка М. Движение точ-

ки относительно диска задается законом изменения длины дуги окружности:

BM = Sr = 9πt2 см. Положительное направление движения точки М на рис. 3.6

показано дуговой стрелкой Sr . Радиус диска R = 9 см.

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1 с.

Решение

Вращение фигуры будет для точки М переносным движением. Относи-

тельное движение точки М – её движение по окружности обода диска.

Для определения положения точки М на ободе диска вычислим расстоя-

движения точки вычисляем значение производной: ϕ& e = 5 − 4t . Угловая ско-

рость вращения фигуры: ωe = ϕ& e . При t1 = 1 с ϕ& e (1) = 1 рад/с. Положительная величина производной ϕ& e (1) показывает, что вращение фигуры в данный мо-

мент происходит в положительном направлении, что отмечено дуговой стрел-

кой ωe на рис. 3.7.

В момент времени t1 = 1 с точка М находится в положении М1. Скорость

Ve переносного движения точки в момент времени t1 = 1 с Ve (1) = ωe (1)he , где

67

R

расстояние от точки М1 до оси вращения фигуры he = AM1 = cos30o = 6 3 см.

Тогда, Ve (1) = 63 см/с.

Вектор скорости переносного движения точки Ve перпендикулярен линии

АМ1 и направлен в сторону вращения фигуры (см. рис. 3.7).

Относительное движение точки задано естественным способом, как закон изменения длины дуги ВМ. В этом случае скорость относительного движения

точки в положении М1 происходит в положительном направлении, указанном на рис. 3.7 дуговой стрелкой Sr . Вектор Vr относительной скорости точки в положении М1 направлен по касательной к траектории относительного движения в сторону положительного направления движения (см. рис. 3.7).

Абсолютную скорость точки находим по теореме сложения скоростей

V =Ve + Vr . Направление вектора абсолютной скорости, полученное по правилу сложения векторов, показано на рис. 3.5. Для определения величины абсолют-

ной скорости выбираем прямоугольные оси координат М1xy (см. рис. 3.7) и про-

ецируем обе части векторного равенства теоремы сложения скоростей на эти

Абсолютное ускорение точки определяем по теореме Кориолиса, кото-

рая при вращательном переносном движении имеет вид:

68

Относительное касательное ускорение arτ вычисляется по формуле: arτ = S&&r . По условию задачи вторая производная S&&r = 18π = 56,5 см/с2 – посто-

янная величина. Так как значение второй производной S&&r положительно, век-

rτ

тор ускорения ar направлен по касательной к траектории относительного дви-

жения в точке М1 в сторону положительного направления относительного дви-

величина угловой скорости положительна: ϕ& e > 0, означает, что вращательное движение замедленное и переносное угловое ускорение εe направлено в сторо-

ну, противоположную направлению вращения.

rτ

Вектор ae переносного касательного ускорения точки в её положении М1

перпендикулярен линии АМ1 и направлен противоположно вектору перенос-

ной скорости Ve (см. рис. 3.8). Модуль переносного касательного ускорения ра-

69