MetodTM1

3

1. СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Статика представляет раздел теоретической механики, в котором рас-

сматриваются свойства сил, приложенных к твердому телу, изучается приведе-

ние сложных систем сил к более простому виду и определяются условия равно-

весия твердых тел.

1.1. Основные виды связей и их реакции

Опора тела на гладкую плоскость (поверхность) без трения. Реакция приложена в точке касания и направлена перпендикулярно к общей касательной соприкасающихся поверхностей. В случае, когда одна из соприкасающихся гладких поверхностей является точкой, например, опора углом, или на угол

(рис. 1.1, а), реакция направлена по нормали к другой поверхности. Гибкая связь. Если на тело наложена связь в виде гибкой нерастяжимой нити (каната,

троса), то реакция связи (натяжение нити) T приложена к телу и направлена вдоль нити (рис. 1.1, b). Цилиндрический шарнир (подшипник) создает со-

единение, при котором одно тело может вращаться по отношению к другому.

Реакция цилиндрического шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При решении задач реакцию цилиндрического шарнира RA изобра-

жают ее составляющими X A и YA , взятыми по направлениям координатных

осей (рис. 1.1, c). Величина реакции определяется по формуле: RA = X A2 + YA2 .

Реакция прямолинейного невесомого стержня с шарнирными соединения-

ми на краях направлена вдоль самого стержня, а криволинейного – вдоль ли-

нии, соединяющей точки крепления стержня (рис. 1.1, d). Реакция подвижной опоры RB (рис. 1.1, e) направлена по нормали к поверхности, на которую опи-

раются катки опоры. Жесткая заделка препятствует не только линейным пере-

мещениям тела, но и повороту. Реакция заделки состоит из силы реакции RA и

4

пары сил с моментом M A (рис. 1.1, f). При решении задач силу реакции жест-

кой заделки RA изображают ее составляющими X A и YA , взятыми по направ-

Рис. 1.1. Виды связей и их реакции:

а – реакция опоры тела на гладкую поверхность без трения; b – реакция связи гибкой нерастяжимой нити; с – реакция цилиндрического шарнира; d – реакция подшипника и подпятника; е – реакция невесомого стержня; f – реакция подвижной опоры; g – реакция жесткой заделки;

h – реакция пространственного шарнира

1.2. Моменты силы относительно центра и относительно оси. Пара сил. Момент пары

Алгебраическим моментом силы F относительно центра О M O (F) , или просто моментом силы F относительно центра О, называют взятое с соответ-

ствующим знаком произведение модуля силы F на кратчайшее расстояние h от центра О до линии действия силы: MO (F) = ±Fh (рис. 1.2, а). Величину h на-

зывают плечом силы. Момент силы относительно центра считается положи-

5

тельным, если сила стремится повернуть тело вокруг центра против хода часо-

вой стрелки и отрицательным – в обратном случае.

Рис. 1.2. Схемы для вычисления моментов сил:

а, b – момент силы относительно центра; с – момент пары сил; d – момент силы относительно оси

На рис. 1.2, b показано, что момент силы F относительно центра О поло-

жительный, а момент силы Q относительно того же центра – отрицательный.

Момент силы R относительно центра О равен нулю, так как линия действия этой силы проходит через центр О и плечо силы равно нулю.

Парой сил, или просто парой, (рис.1.2, с) называют систему двух равных по модулю сил, параллельных, направленных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой. Алгебраическим моментом пары сил, или момен-

том пары, называют взятое со знаком плюс или минус произведение модуля одной из сил пары на плечо пары – кратчайшее расстояние между линиями дей-

ствия ее сил. Правило знаков такое же, как и для момента силы. На рисунках пару часто изображают дуговой стрелкой, показывающей направление поворота твердого тела под действием пары (см. М на рис. 1.2, с).

6

Моментом силы относительно оси называют момент проекции этой си-

лы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. На рис 1.2, d показано вычисление момента силы F относи-

тельно оси z: M z (F) = Fxy h, где Fxy – проекция силы F на плоскость xy, пер-

пендикулярную оси z, h – плечо проекции Fxy относительно центра О – точки пересечения оси z и плоскости xОy.

1.3. Условия равновесия систем сил

Плоской системой сил называется система сил, расположенных в одной плоскости.

Основная форма условий равновесия плоской системы сил. Для рав-

новесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух осей прямо-

угольной системы координат, расположенной в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов сил относительно любого центра, находящегося в плоскости действия сил, также была равна нулю

å Fkx = 0, å Fky = 0, å M A (Fk ) = 0,

где Fkx , Fky – проекции всех сил на координатные оси; M A (Fk ) – моменты всех сил относительно произвольно выбранного центра А.

Пространственной системой сил называется система сил, расположен-

ных произвольно в пространстве.

Для равновесия пространственной системы сил необходимо и доста-

точно, чтобы суммы проекций всех сил на оси прямоугольной системы коорди-

нат были равны нулю и суммы моментов всех сил относительно тех же осей также были равны нулю:

å Fkx = 0, åFky = 0, å Fkz = 0,

7

åM x (Fk ) = 0, åM y (Fk ) = 0, åM z (Fk ) = 0,

где Fkx , Fky , Fkz – проекции всех сил на координатные оси x, y, z; M x (Fk ) ,

M y (Fk ) , M z (Fk ) – моменты всех сил относительно выбранных осей.

Равновесие систем тел

Связи, соединяющие части конструкции, называются внутренними в от-

личие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с внешними телами, не входящими в данную конструкцию. Одним из способов решения задач на рав-

новесие сил, действующих на сочленённую конструкцию, является разбиение конструкции на отдельные тела и составление уравнений равновесия для ка-

ждого из тел, входящих в конструкцию. При этом в уравнения равновесия должны входить только силы, непосредственно приложенные к тому телу, рав-

новесие которого рассматривается.

1.4. Задание С1. Равновесие произвольной плоской системы сил. Равновесие системы тел

Каждый вариант задания включает 2 задачи по темам: «Равновесие про-

извольной плоской системы сил» и «Равновесие системы тел». В задачах требу-

ется определить реакции связей конструкции, исходя из условия равновесия произвольной плоской системы сил. Весом стержневых подпорок, поддержи-

вающих балочные конструкции, и блоков, через которые перекинуты невесомые нити, пренебречь.

Варианты заданий даны на рис. 1.3 – 1.6. Исходные данные приведены в табл. 1.1. Из таблицы исходных данных выбираются значения тех параметров,

которые указаны на схемах.

8

Рис. 1.3. Задание С1. Равновесие произвольной плоской системы сил. Равновесие системы тел. Номера вариантов задания 1 – 3, 11 – 13, 21 – 23

9