Параграф 4. Функция распределения

Функцией распределения случайной величины называется функция, выражающая для каждого возможного значения вероятность того, что случайная величинапримет значение, меньшее его возможного значения:

Свойства функции распределения:

Свойство 1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

Доказательство.

Так как функция распределения выражает вероятность, то по 4 свойству вероятности:

Свойство доказано.

Свойство 2.Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Доказательство.

Пусть иточки числовой оси, причем. Рассмотрим два несовместимых событияи. Тогда .

Так как вероятность , то, т.е.неубывающая функция.

Свойство доказано.

Свойство доказано.

Свойство 3. Вероятность попадания случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы и равны приращению их функции на этом интервале:

Доказательство.

Используя формулу из 2 свойства функции распределения:

Доказательство.

Свойство доказано.

Свойство 4. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу от до, то:

Доказательство.

Событие невозможно, следовательно, по 2 свойству вероятности его вероятность равна нулю. Событиедостоверно, следовательно, по 1 свойству вероятности, его вероятность равна единице.

Свойство доказано.

Параграф 5. Непрерывная случайная величина

Дифференциальной функцией распределения или плотностью вероятности непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения:

График плотности вероятности называется кривой распределения.

Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины:

Свойство 1. Плотность вероятности неотрицательная функция:

Доказательство.

как производная монотонно неубывающей функции .

Свойство доказано.

Свойство 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал от довключительно равна определенному интегралу от ее плотности в пределах отдо:

Доказательство.

Согласно свойству 3 функции распределения:

Так как есть первообразная для плотности вероятности, то по формуле Ньютона-Лейбница приращение первообразной на отрезке отдовключительно есть определенный интеграл.

Свойство доказано.

Свойство 3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

Доказательство.

Свойство доказано.

Свойство 4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

Доказательство.

Свойство доказано.

Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величиныназывается величина несобственного интеграла:

–математическое ожидание непрерывной случайной величины ;

–плотность непрерывной случайной величины ;

–возможное значение дискретной случайной величины .

Дисперсией или разбросом непрерывной случайной величиныназывается величина несобственного интеграла:

Все свойства математического ожидания и дисперсии дискретной случайной величины, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Пример 1.