Параграф 5. Геометрическое определение вероятности

Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению событию, к мере всей области.

–вероятность события ;

–область, благоприятствующая появлению событию ;

–вся область.

Пример 1. Два ученика договорились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 11 и 12 часами и ждет в течении 30 минут. Если один из них в течении 30 минут не дождался другого, то встреча не состоится. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Решение.

–встреча состоялась.

Обозначим момент прихода в определенное место первого ученика через координату , а второго через координату. В прямоугольной координатеза единицу измерения 1 час.

По условию:

Встреча учеников произойдет, если:

Рис. 1.2

Ответ: 0,75.

Параграф 6. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных элементов.

Если элементы могут быть выбраны какими-либо способами, то выбор одного из элементов есть их сумма.

Пример1. В ящике 300 деталей. Известно, что 150 из них 1-го сорта, 120 из них 2-го сорта, а остальные третьего сорта. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта?

Решение.

Ответ: .

Если элементы могут быть выбраны какими-либо способами, то выбор всех элементов есть их произведение.

Пример 2. В группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколько существует способов это сделать?

Решение.

Ответ: .

Размещениями из различных элементов поэлементов называются комбинации, составленные из данныхэлементов поэлементов, которые отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Пример 3. Расписание одного дня состоит из 5 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение.

Ответ: .

Сочетаниями из различных элементов поэлементов называются комбинации, составленные из данныхэлементов поэлементов, которые отличаются только составом элементов.

Пример 4. В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение.

Ответ: .

Перестановками из различных элементов поэлементов называются комбинации, составленные из данныхэлементов поэлементов, которые отличаются только порядком расположения этих элементов.

Пример 5. Порядок выступления 7 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение.

Ответ: .

Размещениями с повторениями из элементов поназываются такие размещения, в которых некоторые из элементов могут оказаться одинаковыми.

Сочетания с повторениями из элементов поназываются такие сочетания, в которых некоторые из элементов могут оказаться одинаковыми.

Перестановками с повторениями из

Параграф 7. Теоремы произведения вероятностей

События называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет.

События называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось другое или нет.

Условной вероятностью события двух зависимых событийиназывается вероятность событияпри условии, что событиеуже произошло.

Условная вероятность обозначается через .

Теорема 1. Вероятностью произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Доказательство.

Пример 1. Найти вероятность одновременного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием равна 0,8, а вторым 0,7.

Решение.

–поражение цели первым орудием;

–поражение цели вторым орудием.

События инезависимые.

; ;

Ответ. .

Теорема 2. Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что предыдущее событие уже произошло.

Доказательство.

Пример 2. В урне находятся 2 белых и 3 черных шара. По очереди вынимают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что вынутые шары оба белые.

Решение.

–вынутый первый шар белый;

–вынутый второй шар белый.

События изависимые.

; ;;;

Ответ: .