game_theory

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Рис. 2.19:Равновесная стратегия при µ < µ (предполагается,что y¯ = 2yp).

В-третьихr1

для всех τr1 [0, 1] мы имеем dRp (τr1 ) = R.Богатые могут выбрать

.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

26.03.2016

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

2.1.ИГРЫ В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ

q1 < q¯1.Равновесные q1, q2 являются решением системы

1 −2 q2

1 − q1 − c

(2.19)

Решая эту систему,получаем

q1 =

1+c

q2 =

1−32c

.Это решение существует если

q¯1 >

1+c

q¯1 < q1.Равновесные q1, q2 являются решением системы

1 − q2 − c

1 − q1 − c

(2.20)

Решая эту систему,получаем

q1 =

1−3 c

q2 =

1−3 c

.Это решение существует если

q¯1 <

1−3 c

q¯1 = q1.Тогда мы будем иметь

q2 =

1−q¯1−c

.Это решение существует если q¯1 [

1−c

1+c

, 3

1−c

−

(q , q )

(q1

, q2)

(q , q )

1 2

q¯1

1 − c q1

q¯1

1 − c

1−c

1 − c q1

> 1+c

q¯1

(a) q¯

(b)

1−c

≤

q¯

1+c

≤ 3

Рис. 2.17:Равновесие на втором этапе,в зависимоcти от

q¯1.

Мы нашли,как q1, q2,реализуемые в совершенном по подыграм равновесии на второ м этапе

игры,зависят от q¯1.Можно подставить эти значения в U1 и получить зависимость U1 от q¯1. Для

того,чтобы найти равновесие во всей игре,нам достаточно на

йти,при каком q¯1 достигается

максимум полезности первой фирмы U1. При данном q¯1,рыночная цена будет определяться

уравнением

1+23

c ,

q¯1 < 1−3 c

−

1+c

P = 1

q¯1 >

(2.21)

1−q¯1+c ,

q¯1

[1−c , 1+c ]

Функция полезности Фирмы1будет

U1 =

− 2

− q¯1

q¯1

[

−3

3 ],

(2.22)

(1−c)2

q¯1

< 1−c

(1+c)2

1+c

cq¯1,

q¯1

> .

1+c

−

Максимизируя U1 по q¯1, получим

$	1+3 c ,			c		51 ,	(2.23)
q¯1 =	1	c			≤	1	(2.23)

72 ГЛАВА2.ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Что мы видим?Фирма1будет стараться строить свои производс твенные мощности на первом этапе — те есть до того момента принятия решения Фирмой2.Делая это,Фирма1 рассчитывает получить преимущество в конкурентной борьбе с Фирмой2на втором этапе. Насколько серьезным будет это преимущество?Найдем равнов есные объемы выпуска каждой фирмы и цену в зависимости от c:

		q¯1	q1	q2	P
c ≤	1	1+c	1+c	1−2c	1+c
c ≤	5	3 c	3 c	3 c	3	c
c >	1	1−	1−	1−	1+3
	5	2	2	4	4

Сравним эти результаты с тем случаем,когда обе фирмы находя тся в равных условиях и принимают решения одновременно(эта модель была рассмотре на на страницах15–16).В обоих случаях возможность инвестировать в установленную мощность дает преимущество первой фирме.Однако при меньших издержках выпуск первой фирмы бол ьше,а выпуск второй фирмы

— меньше,чем в исходном случае.Мало того,рыночная цена P тоже будет выше,если одна из фирм может заранее инвестировать в производственные мощности.Стратегическое поведение первой фирмы не только приводит к большей прибыли для этой фирмы,но к тому же вредит потребителям,так как в итоге они получат меньший объем това ра по большей штучной цене.

Насколько распространено такое стратегическое поведение?Согласно Гхемавату(1997,гл. 3),в начале1970х годов компанияDu Pontмогла вводить новые мощности по производству диоксида титана именно для того,чтобы повлиять на стимулы к онкурентов и не допустить увеличения их рыночной доли.

Диктатура,демократия и революция

Почему в одних странах происходят революции,а в других нет? Разберем модель из известной книги Дарона Асемоглу и Джеймса Робинсона(2005). 4

Внекотором государстве общество разделено на два класса:б огатых и бедных.Исторически,

вданной стране существовал авторитарный режим:все ключев ые решения принимает диктатор и небольшая кучка богачей,которые его поддерживают.Неуди вительно,что в этой стране богатые не платили налоги;бедные всегда были возмущены эти м фактом.За последний год возмущение достигло предела,и над обществом нависла угроз а революции — насильственного свержения власти и национализации всей собственности богатого класса.

Богатые понимают,что должны идти на уступки.У них есть два в арианта.При первом варианте богатые обещают бедным более справедливое распределение доходов,но сохраняют политический контроль и возможность самим устанавливать ставку налогообложения в будущем(в том числе и через несколько лет,когда угроза революци и пройдет).При втором варианте проходит демократизация общества.Бедные получают избира тельные права(и юридические,и фактические),и богатые навсегда теряют контроль над эконо мической политикой(хотя,в отличие от революционного сценария,они сохраняют б´ольшую часть своей собственности).Какой вариант выберут богатые?Станут ли бедные устраивать револ юцию?

Представим взаимодействие богатых и бедных в виде динамической игры.Первый ход делают богатые,которые решают,стоит ли вводить демократию( D),или нет( N).На следующем ходе устанавливается ставка налогообложения τ.При демократии налоги определяют бедные (так как их большинство).При авторитарном строе налоги опр еделяют богатые.После того, как ставка налогообложения установлена,бедные решают,ус троить революцию( R),или нет (NR).Наконец,если на первом ходе не была введена демократия,и если на третьем ходе не произошло революции,то богатые с вероятностью q снова устанавливают ставку налогообложения. Дерево этой игры показано на рисунке2.18.

4Данный пример также разобран в книге Маккарти и Мейровица(2 007).

2.1.ИГРЫ В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ		73
	Богатые
D	N
Бедные		Богатые

τp

Бедные		τr1
Бедные		Бедные
NR	R	NR

vr(R), vp(R)	vr(N, τp), vp(N, τp) vr(R), vp(R)	1 − q
		1 − q
		vr(N, τr1 ), vp(N, τr1 )

Природа

Богатые

τr2

vr(N, τr2 ), vp(N, τr2 )

Рис. 2.18:Модель демократизации

Формально,стратегия бедных 5 будет (τp, dD, dR), где τp [0, 1] — ставка налогообложения, устанавливаемая бедными(в том случае,если первый ход бога тых будет D), dpD {R, NR} и dpR : [0, 1] → {R, NR}— решения,устраивать ли революцию при первом ходе богатых D и N, соответственно.Последнее решение также зависит от τr.Стратегия богатых есть (dr, τr1 , τr2 ), где τr1 , τr2 [0, 1] — ставки налогооблажения,устанавливаемые богатыми в перв ый и во второй раз, dr {D, N} — решение богатых,проводить демократизацию,или нет.

Предположим,что при отсутствии революции,выигрыш элиты и					народа будет зависеть от
ставки налогообложения таким образом:
vr(N, τ)	=	(1 − τ)yr + (τ −	1	τ2)¯y,	(2.24)

			2
vp(N, τ)	=	(1 − τ)yp + (τ −	1	τ2)¯y.	(2.25)
			2

Здесь yr — доход богатого гражданина, yp — доход бедного, y¯ — средний доход.Мы	предпола-
гаем,что налогообложение связано с издержками.При ставке налогообложения τ	с каждого

рубля дохода в бюджет попадает τ

−

τ2 рублей;последний член и есть издержки налогообло-

жения.Пусть

> y

и y¯ = λy

, где λ ≥

— доля бедных в общем числе граждан.

+ (1 −

λ)y

Предположим,что в случае революции,бедные отбирают у бога тых весь их доход.При этом часть совокупного дохода µ уничтожается.Выигрыши богатых и бедных в случае революции

будут такими:
vr(R) = 0	(2.26)

5Мы предполагаем,что и бедные,и богатые смогли решить пробл ему коллективных действий;поэтому все богатые(и все бедные)у нас представлены как один игрок.

74	ГЛАВА2.ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
	vp(R) =	µy¯	.	(2.27)

		λ
	Найдем совершенное по подыграм равновесие.
	Максимизируя vr(N, τ) по τ,получим,что оптимальная ставка налогообложения для бога тых
равна нулю.Следовательно,в любом совершенном по подыграм				равновесии мы имеем τr2 = 0,

так как на последнем этапе игры богатые установят наилучшую,со своей точки зрения,ставку налогообложения.

Максимизируя vp(N, τ) по τ получим оптимальную ставку налогообложения для бедных:

τp =	y¯ − yp	.	(2.28)
	y¯

Подставим τr2 и τp в целевые функции народа и элиты.После раскрытия скобок мы п олу-

чим

vr(N, τr2 )

yr,

(2.29)

vp(N, τr2 )

yp,

(2.30)

−

(2.31)

(N, τ

)

+ y¯

2¯y

v (N, τ

)

y¯ + y .

(2.32)

2¯y ,

(2.33)

Рассмотрим,каким будет dDp

— то есть решение бедных относительно революции при демо-

кратическом режиме.Мы имеем

vp(N, τp ) ≥ vp(R) если и только если

µ ≤ µ¯ =

(yp2 + y¯2).

(2.34)

2¯y2

Следовательно,в любом равновесии

dDp = NR если µ ≤ µ¯ и dDp = R если µ > µ¯.

Революции не произойдет,если величина µ достаточно мала(то есть если в ходе революции будет уничтожен достаточно большой процент благосостояния государства),либо если доля бедного населения достаточно близка к 12 .Революция произойдет,если средний доход бедного yp достаточно низок,либо если µ высока(то издержки экспроприации богатых низки).

Теперь найдем равновесный dpR.При недемократическом режиме революция не произойдет

если
(1 − q)vp(N, τr1 ) + qvp(N, τr2 ) ≥ vp(R).	(2.35)

Заметим,что это условие зависит от τr1 (произвольной ставки налогообложения,предложенной богатыми на предыдущем этапе игры)и τr2 (ставки налогообложения,предлагаемой богатыми на следующем этапе игры в совершенном по подыграм равновесии).Преобразуя это условие, получим

qyp + (1 − q)(yp(1 − τr1 ) + (τr1 −

τr1

2)¯y) = yp + (1 − q)((¯y − yp)τr1 −

y¯

τr1 2) ≥

µy¯

(2.36)

или

) = %

µ > λyp+λ(1−q)((¯y−yp)τr1

−y2¯ τr1 2)

(τ

(2.37)

µ λyp+λ(1−q)((¯y−yp)τr1

−2 τr1 2) ,

≤

y¯

Возможно три случая.Во-первых,при

µ ≤ µ0 =

λyp

условие(2.36)будет верно при

τr1 = 0.

y¯

Следовательно,мы будем иметь τr1 = 0.Богатые смогут установить наиболее выгодные для себя налоги и при этом избежать революции.

2.1.ИГРЫ В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ

Во-вторых,при

µ (µ0, µ1),условие(2.36)будет верно для некоторых

τr1 > 0.Ожидаемый

выигрыш (1−q)vp(N, τr1 )+qvp(N, τr2 ) достигает максимума по τr1 при τr2

= τp .Следовательно,

если

(¯y − yp)2

µy¯

q)vp(N, τp ) + qvp(N, τr2 ) = yp + (1

= vp(R)

(2.38)

−

≥ λ

или

2¯y

λyp

(¯y − yp)2

≤

+ (1

−

(2.39)

y¯

то мы будем иметь τr1 ≤ τp (рисунок2.19).

vp(N, τ)

vp(R)

qvp(N, 0) + (1 − q)vp(N, τ)

любой τ ,так как в любом случае на следующем ходу произойдет революц ия,и они получат нулевой выигрыш.

Наконец,найдем равновесное решение о демократизации dr.Заметим,что µ0 < µ1 < µ¯. Возможно три случая.

1.µ > µ¯.Тогда вне зависимости от dr происходит революция.Следовательно, dr может быть любым.

2. µ [¯µ, µ1).Революция происходит только при dr = N.Следовательно,богатые выбирают dr = D.

3.µ ≤ µ1.Революции не происходит ни при каком dr. Богатые выбирают dr = N, так как в этом случае τr1 ≤ τp .

Из трех перечисленных случаев наибольший интерес представляет второй.Почему богатые соглашаются ввести демократию,то есть навсегда отказатьс я от возможности устанавливать ставку налогообложения?Действительно,с их стороны было б ы лучше,если они могли бы предложить бедным ставку налогообложения,достаточно высокую для того,чтобы предотвратить революцию,но ниже той,которая установилась бы при демокра тическом режиме.Однако это не всегда возможно.С вероятностью p богатые смогут нарушить данное им обещание τr1 и установить ставку налогообложения τr2 = 0 после того,как угроза революции миновала.Понимая это,бедные могут совершить революцию,даже если богатые пр едложат им τr1 = τp . Богатым не остается ничего,кроме как отказаться от возможности в да льнейшем устанавливать налоги.

Согласно Асемоглу и Робинсону,невозможность элит сдержив ать данные народу обещания является одной из основных причин как для революций,так и дл я мирных и ненасильственных демократизаций во всем мире.Именно такой механизм,сог ласно Асемоглу и Робинсону,

76	ГЛАВА2.ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

привел к демократизации и падению режима апартеида в Южно-Африканской республике. Исторически,территория ЮАР была заселена темнокожими афр иканскими племенами.В17 веке появились первые европейские поселенцы,потомки кото рых в начале20века образовали независимое государство.Темнокожие,составлявшие более 90%населения страны,были практически полностью лишены политических и экономических прав.У них не было права свободно передвигаться по территории страны и занимать государстенные должности выше определенного уровня;возможность голосовать была сильно ограничен а.К середине1980х годов угроза гражданской войны побудила правительство,представлявше е интересы белого меньшинства, пойти на уступки.Непреклонным условием,поставленным Афр иканским Национальным Конгрессом под предводительством Нельсона Манделы,были равн ые избирательные права для всего населения ЮАР.В итоге белое правительство согласило сь,что привело к первым в истории этой страны свободным выборам в1994году и избранию прав ительства,представляющего интересы темнокожего большинства.

Конкуренция на рынке с горизонтально дифференцированым товаром со входом.

Рассмотрим задачу конкуренции продавцов мороженого на пляже из первой главы.Как и раньше,предположим,что цены,по которым продавцы реализуют мо роженое,являются фиксированными(и равны между собой).Пусть каждый отдыхающий поку пает ровно одну единицу мороженого от ближайшего продавца;координаты покупателе й равномерно распределены на отрезке [0, 1].

Предположим,что продавцов трое.Мы знаем(задача24ко Глав е1)что в игре,в которой продавцы одновременно выбирают местоположение своих тележек с мороженым,равновесия не

существует.Рассмотрим вариант игры,в котором выбор место	положения тележек происходит
по очереди.В момент времени t = 1 продавцы1и2выбирают	s1, s2 [0, 1].В момент времени

t = 2 продавец3выбирает s3 [0, 1].Затем реализуются выигрыши.Как и раньше,выигрыш продавца равен доле покупателей,приобретающих у него това р(рисунок2.20).

0	s1	s1+s2	s2	+s3	s3	1
		2	s2	2

Рис. 2.20:Горизонтальная конкуренция с тремя продавцами.

Что является равновесием в этой игре?Стратегии продавцов1 и2— это местоположения их тележек s1, s2.Стратегия продавца3есть функция s3(s1, s2),предписывающая продавцу,где ставить тележку в зависимости от s1 и s2.В совершенном по подыграм равновесии, s3(s1, s2) должна максимизировать u3 при любых s1, s2.Пусть s1 < s2.Если координаты покупателей

равномерно распределены на [0, 1],то выигрыш продавца3будет

s1+s3

при s3 < s1;

s1+s2

при

+s2

s3 = s1; s2−2 s1

при s3 (s1, s2);

1−

при s3 = s2;

и 1 − s2+2 s3 при s3 > s2.

= s

ϵ при s

Следовательноs2 s1

,продавец3максимизирует свойs2

выигрышs1

−

,выб

ирая s2

3 s1

max{1−s2,

−2

}; s3 = s2 +ϵ при 1−s2 > max{s1,

−2

}; и s3 (s1, s2) при

−2

> max{s1, 1−s2}.

В принципе,нас устроит любая функция s3(s1, s2),удовлетворяющая данным условиям.Однако равновеcные s1 и s2 зависят от того,как конкретно мы определим s3(s1, s2) в том случае,если

	s2−s1	>	max{s1, 1−s2}.	Предположим,что в этом случае			s	3	=	s2+s1	.Тогда легко убедиться,что в

2				1	=	3	1		2
равновесии мы будем иметь s1 = 4 , s2						4 , и s3(s1, s2) =	2	.При этом выигрыши продавцов1и2
будут равны 83 ,выигрыш продавца3—					41	.Получается,что два продавца,имеющих возможность

первыми выбрать места для своих тележек,не станут располаг аться слишком близко друг к другу.Причина тому — наличие третьего продавца,который в т аком случае может захватить б´ольшую часть рынка.

2.1.ИГРЫ В РАЗВЕРНУТОЙ ФОРМЕ

Лоббирование в парламенте и покупка сверхбольшинства голосов.

Конгресс США характеризуется слабой партийной дисциплиной.Политические партии — республиканцы и демократы — не обладают значительным контролем над тем,как голосуют отдельные конгрессмены.Причин этому несколько,в первую о чередь наличие одномандатных округов,и необходимость конгрессмена отчитываться пе ред своими избирателями о своей успешной работе.Для того,чтобы конгрессмена переизбрали ,ему необходимо время от времени голосовать за законопроекты,перераспределяющие сре дства его избирателям(например,


за такие законопроекты,которые предполагают реализацию,	за федеральные деньги,каких-то
проектов на территории его округа).Это делает голос конгре ссмена «продаваемым».
Предположим,что группа конгрессменов,представляющая чь		и-то интересы(возможно,
свои собственные),продвигает какой-то законопроект.Для	того,чтобы заручиться моей под-
держкой,им нужно обещать мне,что в будущем на повестку дня б		удет вынесен вопрос о выде-

лении моему округу дополнительных средств,и что они за него проголосуют.Таким образом, проведение любого законопроекта связано с издержками на покупку голосов конгрессменов — то есть с некоторым набором обещаний,которые надо будет пот ом выполнить.

Гросеклоуз и Снайдер(1996)обращают внимание на то,что,ка к правило,значительная часть законопроектов принимается сверхбольшинством конгрессменов,в то время как для прохождения достаточно простого большинства.Зачем лобби сты тратят излишние ресурсы на покупку больших коалиций,не смотря на то,что минимальной к оалиции — половины конгрессменов плюс один голос — достаточно для прохождения законопроекта?Например,при голосовании за Североамериканское соглашение о свободной торговле в нижней палате конгресса (Палате представителей), 234голоса было отдано «за» и200г олосов «против».Почему админи-

страция президента Клинтона(лоббировавшая этот проект)н	е удовлетворилась минимальной
коалицией в218представителей?Зачем нужно было тратить ре	сурсы на приобретение лишних
голосов?Ответ таков:для того,чтобы эти голоса не были купл	ены республиканцами,которые

были противниками заключения соглашения о свободной торговле с Мексикой и Канадой. Рассмотрим такую игру.Нечетное число N депутатов должны проголосовать за или против

некого законопроекта.Два лоббиста, A и B,пытаются склонить их на свою сторону.Первый лоббист поддерживает законопроект,второй препятствует е му.Пусть игра происходит следующим образом.

t = 1. Лоббист A решает,сколько ресурсов ему следует потратить на покупку г олосов.Пусть ai — сумма,которую он обещает депутату i,если он проголосует за законопроект.Будем считать,что ai ≥ 0.

t = 2. Лоббист B решает,сколько ресурсов ему следует потратить на покупку г олосов.Пусть bi — сумма,которую он обещает депутату i,если он проголосует за законопроект.Будем считать,что bi ≥ 0.

t = 3. Депутаты голосуют.Депутат i голосует за законопроект,если

ai > bi,

(2.40)

и против в обратном случае.

Выигрыш лоббиста A равен WA −

iN=1 ai

еслиNзаконопроект принят(то есть если за него

−

i=1

,если нет.Выигрыш лоббиста

B равен

проголосовало большинство депутатов),и

&−

−

i=1 bi если законопроект не принят,и

i=1 bi,если он принят,где величины WA и

и b

— суммы,

отражают степень заинтересованности лоббистов.Мы предпо лагаем,что a

предлагаемые лоббистами депутату i — являются невозвратными;депутат может пообещать проголосовать за законопроект,но потом нарушить свое обещ ание,если ему будет сделано более выгодное предложение.

78	ГЛАВА2.ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
	Пусть,без потери общности, a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ aN .Рассмотрим,каким должно быть действие

b1, . . . , bN лоббиста B при данном a1, . . . , aN .Для того,чтобы заблокировать законопроект,он

должен скупить N+1 наиболее дешевых голосов.Лоббист B так поступит,если

N−1 ai WB.

≤

Формально,мы будем иметь

в≥обратном случае2 .

≤

bi(a1, . . . , aN ) = %

(2.41)

ai, i N2−1

, и

WB,

i= N−1 ai

Сразу можно сделать следующий вывод.Пусть

m — число депутатов i,

таких ,

чтоai >

0.Тогда верно следующее:Если существует совершенное по под

ыграм равновесие,в котором

законопроект принимается,а

m — число депутатов,получающих положительные платежи от

лоббиста A, то a1 = . . . = am.

Действительно,пусть функция реакции лоббиста B задана как(2.41).Если лоббист

A хочет

провести законопроект,то его задачей становится минимиза ция издержек

iN=1 ai при условии

ai ≥ WB и a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ aN .Если

m+1, · · · , aN =&

≥

N−1

, . . . , a

> 0 и a

где m

N+1 , то

мы обязаны иметь

N+1

= W + ϵ и a

= . . . = aN+1 , где ϵ

-небольшое число.Но тогда

издержки

минимизируются при

a1 = . . . = am =

+ ϵ.

(2.42)

m −

N2−1

Лоббист B будет предлагать платежи наиболее слабым представителям коалиции лоббиста A,то есть депутатам с наименьшим ai.Для того,чтобы максимально осложнить задачу скупки голосов своему конкуренту при данном суммарном объеме платежей,игрок A должен предложить всем членам своей коалиции равные платежи.

Выигрыш лоббиста A в равновесии составит

UA = max	0, max WA			mWb			mϵ .	(2.43)

%	m≥	N+1	− m −		N2−1	−	.
		N

Не факт,что эта величина максимизируется при m = N2+1 .Действительно,если лоббист A собирает коалицию минимального большинства — то есть если m = N2+1 — то лоббисту B достаточно перекупить одного депутата,на которого он может потратить весь свой потенциальный выиг-

рыш WB;следовательно,для того,чтобы коалиция не распалась,лоб			бист A должен платить
каждому из	N+1	членов своей коалиции как минимум по WB.Если	m =	N+1	+ 1,то лоббист
	2			2

B для победы должен будет купить голоса двух депутатов;следо вательно,для сохранения коалиции, A должен платить всем своим депутатам минимум по W2B ;однако число депутатов,с которыми придется делиться,будет больше на единицу.

Какой же размер коалиции будет оптимальным?Мы видим,что

∂

WBm

N−1 W

+ mϵ

= −

+ ϵ < 0,

(2.44)

∂m

m −

N2−1

(m −

N2−1

то есть издержки на покупку голосов всегда максимизируются при наибольшей возможной коа-

лиции m = N.Остается посмотреть,для каких значений					WB и WA вообще существует равнове-
сие,в котором законопроект принимается.При			m = N,лоббист A будет иметь положительный
выигрыш при			2N
	WA	>		.	(2.45)

	WB		N + 1

То есть для того,чтобы гарантировать прохождение законопр оекта,нужны большие ресурсы,чем у тех,кто потенциально хочет сорвать голосование и с охранить статус-кво.

2.2.ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ИГРЫ

2.2Повторяющиеся игры

Очень часто,игровые взаимодействия между одними и теми же и гроками повторяются.Противостояние между упрямым ребенком и его родителями продолжается изо дня в день.Две

фирмы,конкурирующие друг с другом,рассчитывают на то,что	их конкуренция продлится
и в следующем году,и через два года.Люди,отвечающие за кред	итно-денежную политику в

центральном банке,скорее всего,будут отвечать за нее и чер ез год.Может ли повторяющийся характер игровых взаимодействий влиять на стратегии,реал изуемые игроками?Как правило, ответ на этот вопрос зависит от того,является ли горизонт пл анирования игроков конечным, или нет;результаты нашего анализа будут качественно разли чаться для конечно и бесконечно повторяющихся игр

2.2.1Конечно повторяющиеся игры

Рассмотрим игру «дилемма заключенного» с такой матрицей выигрышей:

Вася

Петя		молчать( D)сознаться( H)
Петя	молчать( D)	3,3	0,5
	сознаться( H)	5,0	1,1

Как поведут себя Петр и Василий,если им придется сыграть в «д илемму заключенного» два раза подряд?На рисунке2.21показано дерево этой игры.

D H

Рис. 2.21:Дилемма заключенного,повторенная два раза.

Цифрами1-5обозначены информационные множества второго и грока(Васи).Множество1 соответствует принятию решения(молчать/сознаться),в мо мент времени1,то есть когда Вася и Петя играют «дилемму заключенного» в первый раз.Множеств а2-5соответствуют принятию решения в момент времени2,для каждого из4возможных вариан тов исхода игры на первом этапе.Следуя формальному определению чистой стратегии в д инамической игре,получается, что у Васи(и,соответственно,у Пети) 25 = 32 чистых стратегий.Некоторые из этих стратегий являются эквивалентными.Действительно,рассмотрим В асины стратегии DDHDH и DDDDD. Они отличаются друг от друга только инструкцией относительно действий в информационных

множествах3и5.Однако каждая из этих стратегий предполага	ет действие D в информаци -
онном множестве1,что делает достижение множеств3и5невоз	можным,вне зависимости от

стратегии,выбранной другим игроком.Формально, DDHDH и DDDDD соответствуют следующему определению:

80	ГЛАВА2.ДИНАМИЧЕСКИЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Определение21 Пусть Γ — игра в развернутой форме.Стратегии σi, σi′ игрока i являются эквивалентными,если uj(σi, σ−i) = uj(σi′, σ−i) для всех j, σ−i.

Можно подсчитать,что в дилемме заключенного,повторенной 2раза,у каждого игрока8 неэквивалентных стратегий.При этом совершенное по подыгр ам равновесие в этой игре одно. Действительно,в каждой из4подыгр на втором этапе в равнове сии оба игрока выберут H. Это означает,что выигрыш каждого игрока во всей игре равен его в ыигрышу на первом этапе плюс единица(выигрыш на втором этапе).Следовательно,в момент времени1игроки также выберут H.Если «дилемма заключенного» повторяется конечное число р аз,то равновесие,совершенное по подыграм,все равно единственно: (H, H) в каждый момент времени.

Определение22 Пусть G — игра в нормальной форме, T > 1 — натуральное число.Обозначим за G(T ) динамическую игру,в которой игра G повторяется T раз,а выигрыш игрока i составляет

	1	(
ui =	T	t=1	ui(at),	(2.46)
	T

где at A — действия игроков в момент времени t = 1, . . . , T .

Саму игру G мы будем называть базовой игрой,а элементы множества стратегий базовой игры a A — действиями.Что мы можем сказать про множество совершенны х равновесий в повторяющейся игре?

Теорема7	Пусть G = I, A, U — игра в нормальной формеcединственным равновесием
a , T > 1.	Тогда в игре G(T ) существует единственное совершенное по подыграм равновесие

Нэша,такое,что в каждой подыгре,начинающейся с t	≥	1,игроки выберут действия a .
	≥

Доказательство этой теоремы ведется по индукции.Все подыг ры G(T ),начинающиеся в момент времени t = T ,совпадают с базовой игрой G.Следовательно,все подыгры,начинающиеся с t = T −1,совпадают с базовой игрой G,вплоть до прибавления u(a ) к функциям выигрышей,

и равновевные действия в момент t = T	−	1 тоже будут a .По индукции,это верно для всех
t = 1, . . . , T .	−
t = 1, . . . , T .

Что если в базовой игре несколько равновесий?Заметим,что к аждому равновесному профилю стратегий в базовой игре соответствует совершенное равновесие в повторяющейся игре, в котором этот профиль играется во все моменты времени(дока зательство этого утверждения предлагается в качестве задачи).Однако,как видно из следу ющего примера,могут существовать и другие равновесия.

Повторяющаяся игра с несколькими равновесиями

Если базовая игра имеет единственное равновесие Нэша,то в к онечно повторенной игре на каждом этапе,в любой подыгре реализуется профиль действий ,соответствующий равновесию в базовой игре.Убедимся,что для игр с несколькими равновес иями это не так.Рассмотрим такую игру.

		ИгрокII
		A	B	C

ИгрокI	A	1,1	5,0	0,0
ИгрокI	B	0,5	4,4	0,0
	B	0,5	4,4	0,0
	C	0,0	0,0	3,3

Как построить множество совершенных по подыграм равновесий в этой игре?В момент времени t = 2,игроки должны реализовывать равновесные стратегии:либо (A, A), либо (C, C).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.06.20151.31 Mб6FZ-44-FKS.pdf
#
02.06.2015394.75 Кб83fz2 (1).doc
#
26.03.20161.24 Mб11gaidar - vlast_i_sobstvennost.pdf
#
26.03.20165.99 Mб37Gaidar-Econom.zapiski.pdf
#
26.03.20161.1 Mб10GamesSimsSocNets_EdArcade.pdf
#
26.03.20162.37 Mб117game_theory.pdf
#
02.06.2015891.57 Кб6Gamma_function_and_Symplectic_topology.pdf
#
02.06.2015297.47 Кб6gellner2.doc
#
08.09.2019627.71 Кб4GemisЭКИ_Методическое руководство+порядок выпол...doc
#
01.07.2025566.36 Кб0genetics.docx
#
02.06.2015691.04 Кб3GK_1_(01.07.2012).rtf