game_theory

Понятие байесовой игры было введено Харшаньи(1967-1968). Он предложил интерпретировать игру с неполной информацией как игру с полной информацией с большим количеством игроков,в которой каждый игрок соответствует одному типу и грока в исходной игре.Первый ход делает Природа,определяя,какой тип каждого игрока буд ет задействован.Например,если каждый из двух игроков имеет два типа,то такую статическую и гру можно представить как динамическую игру между четырьмя игроками,в которой каждый игрок соответствует одному игроку и одному типу в исходной игре.

Определение28 Пусть I, A, T, P, u — байесова игра.Равновесием в этой игре является набор

t−i T−i

Равновесие в такой игре называется Байесовым равновесием или равновесием Байеса-Нэша.

Это определение эквивалентно определению равновесия Нэша для представления байесовой игры,в котором первой ход делает Природа,выбирая тип игрок ов.Из теоремы о существовании равновесия в конечных играх следует следующее утверждение:

Теорема10 Пусть G = I, A, T, P, u ,причем множества I, A и T конечны.Тогда в этой игре существует равновесие s .

Дуополия Курно с неполной информацией

Вернемся к задаче конкуренции двух фирм,рассмотренной в пе рвой главе.Две фирмы решают, сколько товара произвести на продажу.Прибыль каждой фирмы равна ее выручке за вычетом издержек:

частной информацией.Он известен только Фирме2.Первой фир ме известно лишь,что эта величина принимает значение cH с вероятностью θ и cL с вероятностью 1 − θ.При этом мы предполагаем,что θ является всеобщим знанием — то есть второй фирме известно θ,первой фирма известно,что второй фирме известно θ,и так далее.

В этой игре мы имеем T = {H, L}.Дерево игры представлено на рисунке3.1.

Что является равновесием в этой игре?Фирма1обладает тольк о одним возможным уровнем издержек.Следовательно,в равновесии в чистых стратегиях она будет производить какое-то количество товара q1.У Фирмы2возможно два уровня издержек;следовательно,нам необходимо найти q2(H) и q2 (L) — равновесные выпуски второй фирмы в том случае,когда ее изд ержки высокие и низкие,соответственно.

Согласно определению,равновесное действие каждой фирмы д олжно удовлетворять следующим условиям:

1. q2(H) есть решение задачи

max u2(q1, q2, H) = (1 − q1 − q2 − cH )q2

q2

2. q2(L) есть решение задачи

max u2(q1, q2, L) = (1 − q1 − q2 − cL)q2

q2

Электоральная активность

Почему люди голосуют на выборах?Ведь голосование сопряжен о с издержками — потерей времени,которое можно потратить на работу или отдых,а шансов к ак-то реально повлиять на исход выборов очень мало.Тем не менее,явка на выборах федер ального уровня в большинстве стран превышает50%,то есть люди идут голосовать вопреки те оретическим прогнозам.Этот факт продолжает доставлять много неудобства исследователям,так как теоретико-игровые модели предсказывают,что явка на выборах должна быть крайн е низкой.Построение адекватной модели принятия решения «голосовать или остаться дома» остается пока нерешенной теоретической задачей,показывающей ограничения теорети ко-игрового анализа человеческого поведения.1

Действительно,пусть в выборах участвуют два кандидата,и и збиратель решает,голосовать на выборах за своего любимого кандидата,или нет.Пусть B — дополнительный выигрыш, который избирателю сулит победа его любимого кандидата, P — вероятность того,что голос избирателя будет решающим(то есть голоса всех остальных из бирателей будут поровну отданы за обоих кандидатов,будем считать,что других избирателей четное число,и все они голосуют за того или другого кандидата).Наконец,пусть c — издержки,связанные с голосованием.В

На настоящих выборах,величина B может составлять существенную часть дохода избирателя на протяжении следующего электорального цикла — то есть равняться его заработной плате за несколько недель или даже месяцев(в особенности если раз ные кандидаты предлагают разную налоговую политику и разный объем субсидий различным группам граждан).Так как в большинстве случаев голосование не требует много времени, величина c не должна превышать значение часовой зарплаты человека.Однако простые расчет ы показывают,что при реалистичных предположениях значение p настолько мало,что участие избирателя в выборах не будет оправдано.Получается так называемый «парадокс голосован ия».2

Рассмотрим однопериодную игру,в которой участвуют N1 + N2 индивидов — избирателей. Каждый избиратель решает,стоит ли ему проголосовать за одн ого из двух кандидатов( A или B),либо остаться дома: Si = {A, B, o}.Предположим,что избиратели делятся на две группы

получает ничего.Каждый избиратель второй группы аналигич ным образом предпочтет,чтобы победил кандидат B.Таким образом,вероятность победы кандидата A есть

Мы попробуем найти равновесие в этой игре для двух случаев — когда издержки каждого избирателя являются публичной информацией,и когда они изв естны только самому избира-

1Обзор литературы поэтой теме можно найти,например,в учебн ике Мюллера(2007,гл. 14).

2Если предположить,что каждый из остальных избирателей гол осует с вероятностью q за первого кандидата,

миллионе избирателей вероятность стать решающим будет одна тысячная.Это не так мало — однако если q ̸= 12 , то картина резко меняется ; уже приq = 0.505 и N = 1000000, мы будем иметь P 10−25 — нулевая вероятность со всех практических точек зрения.

равновесия — p−1 и p+1 , для N = 10 — p−2 и p+2 .Наличие равновесия с высокой явкой интуитивно понятно:если избиратель знает,что остальные избиратели п очти наверняка проголосуют,и если две группы избирателей примерно одинаковы по размерам,то е го голос с большой вероятностью может стать решающим.Получается,что при помощи теоретико -игрового анализа мы нашли объяснение «парадоксу голосования».

Однако,к сожалению,эти выводы рушатся,если мы предположи м,что издержки избирателей ci есть их частная информация.Предположим,что у каждого изби рателя ci — это случайная величина,распределенная на [0, 1] с распределением F (·).Стратегией избирателя теперь будет его решение — голосовать или нет — в зависимости от его издержек ci.Попробуем найти для этой игры симметричное равновесие — то есть равновесие,в котором у всех избирателей одинаковые стратегии — голосовать,если издержки н е больше некоторой пороговой величины c¯.

Посмотрим,каким условиям должно удовлетворять это равнов есие.Во-первых,вероятность того,что отдельно взятый избиратель проголосует,должна б ыть равна вероятности,что его издержки не больше пороговых:

Во-вторых,избирателю с издержками голосования,равными п ороговым,должно быть все равно,голосовать или нет:

Решение этих двух уравнених изображено на рисунке3.3.

Рис. 3.3:Решение системы уравнений(3.18), (3.19)для разн ых N.

Можно доказать,что для любой функции распределения F (·) существует хотя бы одно симметричное равновесие при N ≥ 2.Также можно доказать,что при достаточно большом N равновесие одно,причем при N → ∞ мы имеем c¯ → 0 и p → 0,то есть голосуют только избиратели со все более низкими издержками,и доля активных избирателей стремится к нулю.

Тем не менее,теория дает нам несколько эмпирически проверя емых гипотез.Во-первой, явка должна быть выше при маленьком размере элетрората,так как это влияет на вероятность того,что голос избирателя окажется ключевым.Во-вто рых(и по той же причине)явка должна быть выше,если у одного из кандидатов нет явного преи мущества.Явка должна быть

3.1.3Примеры

Производство общественного блага

Рассмотрим задачу производства общественного блага двумя лицами.Предположим,что для