game_theory

При прочих равных,центральный банк будет придерживаться п олитики низкой инфляции при достаточно высоком b или при достаточно малом a,так как в таких случаях равновесная инфляция будет слишком высока.

Практическая ценность стратегии «око за око»

Жен и детей в таких случаях не переселяют,так как даже в случа е «войны» им опасность не угрожает.В другом случае это стало бы наиболее уязвимым местом каждого семейства,и любая подобная операция привела бы к та кой же ответной. (М.Пьюзо,«Крестный отец».)

В своей ставшей знаменитой книге «Эволюция кооперации»,пр офессор Мичиганского университета Роберт Аксельрод описывает турнир между компьютерными программами,соревновавшимися в повторяющуюся игру «дилемма заключенного».Ка ждая программа реализовывала какую-то марковскую стратегию.В первом турнире участ вовало15программ,представленных различными специалистами в области экономических наук,математики,психологии, информационных технологий.Каждая программа пять раз игра ла против каждой другой программы,по типу футбольного чемпионата.Число ходов в каждо й игре было случайным и в среднем равнялось150.Успех программы за каждую игру равня лся ее среднему выигрышу за ход.Так же определялся и итоговый рейтинг программы.

Наиболее успешным алгоритмом оказалась самая простая программа — стратегия «око за око».Она сочетала в себе три качества.Во-первых,эта страт егия являлась «хорошей»,то есть первый ход был кооперативным;эта программа первой не начин ала войну.Во-вторых,если программа-соперник играла некооперативную стратегию H,то стратегия «око за око» немедленно отвечала тем же.Таким образом,эта стратегия не давал а себя эксплуатировать.Наконец, в-третьих,стратегия «око за око» обладала короткой память ю.Если соперник переключался с некооперативной стратегии на кооперативную,то «око за око » тоже переключалась на кооперативную стратегию и забывала о прошедшем конфликте.Это по зволяло избегать затяжных конфликтов,и позволило стратегии выиграть не только этот т урнир,но и следующий,в котором участвовало63программы(некоторые из которых содержа ли более100строк кода).

У стратегии «око за око» есть еще одно преимущество,не реали зуемое при игре между компьютерными программами,но крайне важное в человечески х отношениях:эта стратегия является понятной другим игрокам.В качестве примера Аксел ьрод приводит систему негласных договоренностей между отдельными подразделениями враждующих армий,которая существовала на Западном фронте во время Первой мировой войны.Н а Западном фронте большую часть времени враждующие армии проводили в окопах,разделе нные несколькими сотнями метров нейтральной территории.Во время активных боевых дейст вий обе стороны несли огромные потери;однако во времена затишья,солдаты враждующих арми й избегали стрелять друг в дру-

ект вызывало немедленную ответную реакцию со стороны противника;артиллерийский огонь был предназначен для того,чтобы создать видимость ведения боевых действий и отчитаться перед вышестоящим начальством(которое было расквартиров ано на достаточном удалении от линии фронта и чья жизнь не находилась в непосредственной опасности).Эта негласная система — получившая название «живи и дай жить другим» — просуществовала почти до конца войны.Британские военачальники стали требовать от своих п одчиненных проводить небольшие рейды на вражескую территорию,и в качестве отчета о прод еланной работе предъявлять либо захваченных в плен солдат противника,либо собственны е человеческие потери.Это разрушило систему взаимного доверия,существовавшую между со лдатами противоборствующих сторон.При достаточно большой вероятности нападения со ст ороны противника,наилучшей

стратегией будет вести упреждающий огонь на поражение,вме сто того,чтобы стрелять мимо в надежде,что противник не станет стрелять в вас.Такое из менение тактики со стороны британского руководства сделало войну более кровопролитной и ускорило ее конец.

2.2.4Модель последовательного торга

Повторяющиеся игры могут быть использованы для моделирования процесса принятия компромиссных решений — например,раздела имущества.

первый игрок предлагает поделить эту сумму:взять r11 себе и отдать (1 − r11) второму игроку. Второй игрок наблюдает предложенный r1 и либо соглашается( A),либо отказывается( R).Если второй игрок соглашается,то игра заканчивается.Если он от казывается,то наступает момент времени t = 2.В момент времени t = 2 приходит очередь второго игрока предлагать дележ. Пусть r22 и 1 − r22 — пропорции,в которых второй игрок предлагает поделить исх одную сумму. Первый игрок может либо согласится,либо отказаться.Если п ервый игрок отказывается,то в t = 3 снова наступает его очередь предлагать дележ.Пусть rtj — доля исходной суммы,которую

Найдем совершенное по подыграм равновесие в этой игре.Пуст ь Vi — выигрыш игрока i в подыгре,в которой игрок i предлагает дележ.Мы предполагаем,что Vit не зависит ни от предыстории ходов в моменты времени 1, . . . , t − 1,ни даже от самого момента времени t

V1 = rt1.

Аналогично мы получим

при δ = 0 первый игрок забирает себе все;при δ = 1 оба игрока достаточно терпеливы для того,чтобы делящий сразу предложил равный дележ.При этом т ерпение всегда приносит свои плоды:при разных δi,выигрыш как первого,так и второго игрока возрастает с собс твенной δ и падает с δ другого игрока.

Такая же игра,но с конечным числом периодов,была рассмотре на Стаалом(1972).Решение в конечной игре,полученное методом обратной индукции, обладает теми же свойствами сравнительной статики,что и в игре с бесконечным горизонто м планирования.В равновесии,в момент времени игрок1предлагает некий дележ,на который со глашается второй игрок.При этом при увеличении числа периодов равновесный дележ стремится к равновесному дележу в задаче с бесконечным числом периодов,решенной выше.

Данная пара стратегий является совершенным по подыграм равновесием по построению.Но существуют ли другие совершенные равновесия?Может ли сове ршенное по подыграм равновесие предполагать,что в разные моменты времени игроки предл агают разные дележи?Оказывается,что нет.

Докажем,что представленное равновесие является единстве нным.Пусть выигрыши игроков

ным.

Модель последовательного торга при принятии решений несколькими игроками

В предыдущей задаче мы моделировали поведение двух индивидов,по очереди предлагающие дележ некоторого ресурса.Похожий проход применим и в более сложных ситуациях.Бэрон и Фереджон(1989)предложили рассмотреть задачу дележа един ицы ресурса между N игроками.

Приложения

А.Определение игры в развернутой форме.

Определение25 Игра в развернутой форме есть совокупность Γ следующих объектов: 1.Множества игроков I = {1, · · · , N} { природа }.

2.Дерева игры — (X, ), где

(a)X — множество вершин.

(b)— отношение наследования: x y означает «x происходит раньше,чем y».Пусть это отношение обладает следующими свойствами:

i.транзитивно:если x′ x, x x′′, то x′ x′′.

ii.антисимметрично:не выполняется x x.Антисимметричность и транзитивность определяют как частичный порядок на X.

iii.Если x′ x и x′′ x, то либо x′ x′′, либо x′′ x′.

(a)Для всех h H,если x h и x′ h, то i(x) = i(x′),то есть в каждом информационном множестве объединены вершины,в которых ходит только один и грок,и

(b)Если x, x′ h, то A(x) = A(x′).То есть во всех вершинах,входящих в информационное множество,игроку доступен один и тот же набор действий.

Множество X и отношение определяет направленный граф.Условия на отношение га-

ствует окончанию игры и какому-то вектору выигрышей игроков.Информационные множества показывают,что известно игрокам о ходах,сделанных ранее д ругими игроками.

Б.Доказательство теоремы о существовании равновесия в игра х с со - вершенной информацией.

Доказательство этой теоремы проходит по индукции.Пусть Γ — динамическая игра, Γ1, . . . , ΓT

—следующее семейство игр:

1.Γ1 = Γ.

2.Γt+1 получается из игры Γt следующим образом:

траектории игры при стратегиях s если существует положительная вероятность того,что игра пройдет через вершину x.Если x лежит на траектории игры,то выигрыш игрока i снизится или останется неизменным.Если x не лежит на траектории игры,то выигрыш игрока i останется неизменным.

В.Определение подыгры.

Определение26 Пусть Γ — игра в развернутой форме, x — неконечная вершина дерева игры, такая,что не существует x x′, y ̸x, таких , чтоx и y принадлежат одному информационному множеству.Обозначим за Γ(x) игру,состоящую из вершины x и всех вершин,лежащих ниже ее,и наследующую все остальные свойства(функции выиг рышей,очередность ходов и информационные множества)у игры Γ.Будем говорить,что Γ(x) — подыгра Γ.

2.3Задачи

1.Используя обратную индукцию,докажите,что в игре «крест ики-нолики» каждая из сто-

не промахивается.Дуэль реализуется как двухпериодная игр а.Каждый выбирает,в кого

го золота для одного игрока равна единице.Выигрыш погибшег о равен нулю.Найдите совершенное по подыграм равновесие.Почему Блондину так не везет в равновесии?

4. N голодных львов готовятся съесть антилопу.В львиной стае за веден такой порядок дележа добычи:сначала,в момент времени t = 1,самый старый лев решает,съесть ему антилопу,или нет.Если он отказывается есть,то игра заканч ивается.Если он съедает

N,когда приходит очередь кормиться самому молодому льву.Пр едпочтения каждого льва ранжированы следующим образом:поесть и остаться живы м,остаться голодным и

коробку конфет,и конструктор «Лего».Им нужно поделить под арки.Они договорились, что дележ происходит так:сначала Маша берет себе один подар ок,потом Саша,потом

кредитор принимает это предложение,то задолженность фирм ы перед ним снижается до

8.(Бен-Порат и Декель, 1992).Два человека готовятся играт ь в игру «координация» со следующей матрицей выигрышей:

До того,как они начинают играть,игрок I принимает решение:стоит ли ему сжечь2 единицы собственной полезности,или нет.После того,как ег о выбор наблюдает второй игрок,они играют в однопериодную «координацию».

(a)Перечислите все стратегии обоих игроков.

(b)Нарисуйте дерево игры и найдите все равновесия.

(c)Представьте игру в нормальной форме.Найдите все равнов есия,используя итеративное удаление строго и слабо доминируемых стратегий.Как вы можете прокомментировать результат?

9.На кафедре экономики в некотором университете пять профе ссоров.Секретарь кафедры просит каждого скинуться по100рублей для фуршета после зас едания кафедры.Для того,чтобы фуршет состоялся,необходимо,чтобы скинулось как минимум три профессора.Деньги,отданные на организацию фуршета,профессорам н е возвращаются.Ценность фуршета для каждого профессора —500рублей.Найдите соверш енное по подыграм равновесия для каждого из следующих двух случаев:

1этап Вовочка решает,сколько из текущего дохода сберечь на завтр ашний день( S). 2этап Петр Иванович решает,какого размера наследство оставить В овочке( B).

Выигрыш Вовочки таков:

U1 = ln(IC − S) + ln(B + S),

где IC −S — его потребление в текущем году, B+S — его потребление в будущем.Выигрыш Петра Ивановича:

U2 = ln(IP − B) + k(ln(IC − S) + ln(B + S)),

где k отражает степень заботы Петра Иванавича о своем внуке.Реши те игру методом обратной индукции.Покажите,что равновесие Парето-неэфф екттивно,то есть можно увеличить выигрыш обоих,увеличив S и снизив B.

11. (Вейнгаст, 1997).Общество состоит из диктатора(R)и дву х групп граждан(AиB).На первом этапе диктатор решает,стоит ли ему экспроприироват ь одну из групп,и если да, то какую.Если экспроприации нет,то выигрыш всех трех игрок ов равен0.Если диктатор решил провести экспроприацию,то на втором этапе,каждая из групп решает,стоит ли ей

бунтовать против диктатора.Бунт удается,только если обе г руппы решают бунтовать.В таком случае экспроприации не происходит,диктатор несет и здержки k, каждая из двух групп получает выигрыш b.Если бунтует только одна группа,то она несет издержки c > 0.В добавок к этому,диктатор экспроприирует x > 0 у одной из групп(то есть выигрыш диктатора составит x,выигрыш экспроприируемой группы — −x либо −c − x. Нарисуйте дерево игры.Найдите все совершенные по подыграм равновесия.

12.Рассмотрим такую динамическую игру.

(a)Игрок1выбирает одно из чисел {1, 2}.

(b)Ход случайный.Бросают монету,если выпал «Орел»,то вто рому игроку сообщают, что выбрал первый.

(c)Игрок2выбирает одно из чисел {3, 4}.

(d)Ход случайный.Выбирается наугад одно из чисел {1, 2, 3} с вероятностями 0.4, 0.2,

сумма нечетная,то первый игрок выплачивает ее второму игро ку.Если сумма четная,то второй игрок платит первому.

Покажите игру в нормальной и развернутой форме.Найдите рав новесия.

13.На некотором рынке конкурируют N фирм.Процесс ценообразования устроен следую-

новесии и равновесии в однопериодной игре,в которой все qi выбираются одновременно.

14.Пусть Γ — динамическая игра с совершенной информацией,причем для в сех игроков i, для любых двух конечных вершин z, z′, ui(z) ̸= ui(z′).Докажите,что в этой игре существует единственное совершенное по подыграм равновесие.

15.Пусть G — игра,в которой K равновесий Нэша,причем выигрыши каждого игрока во всех равновесиях одинаковы.Сколько существует совершенн ых по подыграм равновесий в игре G,повторенной T раз?

16.Пусть G — игра,в которой несколько равновесий Нэша.Докажите,что к аждое равновесие в игре G (с равновесным профилем стратегий a)соответствует совершенному по подыграм равновесию в игре G,повторенной конечное число раз,в котором на каждом этапе и гроки реализуют a.

17.Докажите следующую версию «народной теоремы».Пусть иг ра G — игра в нормальной форме, aˆ — профиль действий,такой,что для всех i, ui(ˆa) > ui.Пусть в игре G существуют два равновесия Нэша,таких,что равновесные выигрыши не сов падают ни для одного из игроков.Пусть существуют N профилей стратегий (ai)Ni=1,таких,что для каждого игрока

i,мы имеем ui(ai) < ui(ˆa) и ui(aj) > ui(ai) для всех j ̸= i.Докажите,что для всех ϵ, существует T < ∞,такое,что для всех T > T ,в игре G(T ) существует равновесие Нэша,

в котором выигрыш каждого игрока отличается от ui(ˆa) не более чем на ϵ.Считайте,что выигрыш в конечно повторяющейся игра задан уравнением(2.4 7).

(b)Ужесточим требования к равновесию.Пусть теперь равнов есие не только обязано быть совершенным по подыграм.Потребуем,чтобы в каждой под ыгре,равновесие не было Парето-доминируемым другим равновесием.То есть бу дем считать,что в каждой подыгре игроки могут передоговориться — перейти к любому другому равновесию,если это устроит обоих игроков.Как изменится ваш о твет?Объясните,как дополнительное требование Парето-эффективности равновесий в подыграх сужает множество выигрышей,которые можно реализовать в совершен ном по подыграм равновесии.

19.Иван и Никифор играют в «дилемму заключенных» со следующ ей матрицей выигрышей:

Вне зависимости от исхода игры,на следующий день игра повто ряется,и так до бесконечности.Пусть δ < 1 — фактор дисконта.Определим средний выигрыш игрока i как

∞

(

Ui = (1 − δ) δtuit,

t=0

где uit — выигрыш i в период t.

(a)Покажите,какие средние выигрыши реализуемы в равновес ии при достаточно больших δ,а какие — нет.

(b)При каком δ можно реализовать в равновесии средний выигрыш (4, 4)?

20.Рассмотрим задачу бесконечно повторяющейся дуополии К урно.Пусть q1t, q2t — количество товара,произведенного фирмами1и2в момент времени t = 1, 2, . . ., Pt = a−q1t −q2t

— функция спроса,

Uit = Ptqit − cqit−

прибыль фирмы i = 1, 2 в момент времени t, где c ≥ 0 — предельные издержки фирмы.

равновесный выпуск каждой из фирм при конкуренции Курно.