game_theory

Рис. 2.9:Игра в русскую рулетку — решение.

На последнем ходе корнет Оболенский предпочтет сдаться,та к как в случае нажатия на курок он погибнет с вероятностью1.Следовательно,при усло вии,что Оболенский сдастся на последнем ходу,ожидаемый выигрыш игроков при нажатии Ржев ским на курок будет (12 , 56 ). Аналогично,при нажатии на курок Оболенским на предыдущем х оде выигрыши будут (79 , 23 ). Продолжая решение таким способом,получим,что Ржевский сд астся при первом же ходе.

Обратная индукция в телеигреSurvivor.

Survivor2 было одним из самых популярных «реалити шоу» на американском телевидении. Первый сезон был показан телекомпаниейCBSлетом2000года. Участники шоу(«племя») находились на необитаемом острове.Задачей каждого было на йти себе пропитание и ночлег. Каждые3дня участники(«совет племени»)решали,кого следу ет изгнать из племени(изгоняемый покидал игру).Перед советом племени все участники п роходили испытание на силу, смекалку или выдержку.Победитель испытания не мог быть изг нан из племени на ближайшем совете.После последнего совета,когда участников осталос ь всего двое,победителя выбирали последние10выбывших участников.

В конце первого сезона в игре оставалось трое человек:Руди, Рич и Келли.Руди,самый старший из участников,был очень популярен и рассчитывал вы игрыть итоговое голосование вне зависимости от того,кто(Келли или Рич)будет изгнан на п оследнем совете племени. Рич и Келли были моложе и имели гораздо больше шансов выиграть последнее перед советом испытание(надо было простоять как можно дольше в неудобной позе,держась одной рукой за тотемный столб).Победитель испытания получал иммуните т и фактическую возможность решать,кого из оставшихся двух участников следует изгнать с острова.

Проблема победителя заключалась в том,что,голосуя против Руди,он рисковал проиграть итоговое голосование,так как Руди был очень популярен сред и выбывших игроков.Лучше было вообще не побеждать в итоговом испытании!Рассмотрим д инамическую игру,в которой на первом этапе один из участников — Рич — решает,стоит ли ему сд аться и намеренно проиграть испытание.Дерево этой игры изображено на рисунке2.10.

В этой игре на последнем ходе Келли и Рич проголосуют против Руди.Если Рича на первом этапе решит «стоять»,то его ожидаемый выигрыш(с учетом рав новесных действий на последнем ходе)будет равен 0.5 ×0.8 + 0.1 ×0 + 0.4 ×0.2 = 0.48.Если Рич решает «сдаться»,то он его ожидаемый выигрыш будет 0.8 × 0.8 + 0.2 × 0 = 0.64.Рич должен уступить,для того,чтобы не быть поставленным перед неудобным выбором.Если бы Рич выиг рал последнее испытание,то он был бы вынужден либо проголосовать против Келли(и затем п роиграть Руди на финальном голосовании),либо проголосовать против Руди(что также на строило бы против него большинство выбывших членов племени).Рич поступил единственным в ерным образом — сдался.Самое

2Этот случай взят из книги Диксита и Скит(2004,стр. 72-77).

-Келли (0,0,1)

примечательное,что Рич не изучал теорию игр,и проделал вес ь путь размышлений под палящим солнцем,стоя в неудобной позе.Расчет оказался прави льным:соревнования выиграла Келли,которая затем проголосовала против Руди.Выбывшие ч лены племени проголосовали против Келли,что сделало Рича победителем всей игры.

Ограничение метода обратной индукции:игры «сороконожка» и «ультиматум».

Следующие два примера — «паталогические» динамические игры,в которых предсказанное

ходе экономических экспериментов.В каждой из игр причина р асхождения между теорией и действительностью разная.В первом случае — игре «сорокон ожка» — поведение игроков отличается от равновесного,поскольку нахождение равнове сия требует большего числа шагов алгоритма обратной индукции.Во втором случае — игре «ульти матум» — денежные выигрыши игроков не отражают их истинных предпочтений,на которые мо гут влиять такие факторы, как представления о справедливости,зависть,или альтруиз м.

Сороконожка. Богатый мизантроп позвал в гости двух студентов:Вову и Диму .Он предлагает Вове взять один рубль.Если он отказывается,то Диме п редлагается2рубля.Если Дима отказывается,то Вове предлагается взять4,и так далее.Нак онец,Вове предлагается либо забрать16рублей,либо поделить эту сумму поровну между собой и Димой.Дерево этой игры представлено на рисунке2.11.

Решая игру методом обратной индукции,мы приходим к неутеши тельному выводу:в самом начале игры Вова заберет один рубль;Дима не получит ничего.

Игра «сороконожка» показывает,что обратная индукция не вс егда дает хороший прогноз человеческого поведения.Действительно,если бы вам предл ожили поиграть в «сороконожку», то вы вряд ли бы остановили игру на первом ходе.В ходе экспери мента,проведенного Мак-

кельви и Полфри(1992),более60%игроков останавливались н а3или4ходе из7возможных. Однако дальнейшие исследования показали,что результат эк сперимента сильно зависит от

шахматистами высокого уровня.Результаты разительно отли чались:в большинстве случаев, игра останавливалась на первом же ходе;при этом,вероятнос ть остановки на первом ходе возрастала с шахматным рейтингом игроков(гроссмейстеры в сегда прекращали игру при первой же возможности).Показательно,что склонность игра ть равновесные стратегии зависит не только от собственного уровня,но и от уровня соперника:е сли обычный игрок знает,что он играет против профессионального шахматиста,то его собств енное поведение будет больше соотвествовать равновесному,чем в том случае,когда он играе т против другого обычного игрока.

Ультиматум. Олег предлагает Михаилу пропорции,в которых можно поделит ь100рублей. Пусть Олег предлагает оставить p [0, 100] рублей себе,и оставить 100 − p Михаилу.Если Михаил соглашается( A),то эти платежи реализуются.Если он отказывается( D),то каждый игрок получает0.На рисунке2.12изображено дерево этой игр ы.

p [0, 100]

k

M

A D

(p, 100 − p) (0, 0)

Рис. 2.12:Игра «ультиматум».

Как поступит Михаил при известном p?Если p < 100,то Михаил согласится,так как 100 − p > 0.Если p = 100,то Михаил может и согласиться,и отказаться(его выигрыш бу дет равен нулю в обоих случаях).При условии,что реакция Михаила буде т такой,Олег предложит дележ p = 100 − ϵ, где ϵ > 0 — небольшая величина.Михаил согласится на такой дележ.

Игра «ультиматум» — еще один пример того,как результат,пол ученный методом обратной индукции,не реализуется в реальной игре.Эта игра,как и «со роконожка»,часто исследуется в экономических экспериментах,и результаты,как правило, также разительно отличаются от полученного выше равновесия.Первая причина состоит в том, что второй игрок,как правило, отвергает дележ,который он считает несправедливым.В неко торых экспериментах,вторые игроки отвергали дележи,предлагавшие им вплоть до половин ы от имевшейся у первого игрока суммы.Первый игрок,предвидя это,«делится»(Камерер, 200 3).

Рис. 2.15:Сжигание мостов- 2.Подыгры выделены пунктиром.

стратегий первого и второго командира будет (R, R).Во второй подыгре,когда мост сожжен, равновесие будет (F, F).Следовательно,генерал получает выигрыш 0,если делает ход N, и 1, если делает ход B.Дадим определение равновесия,которое мы получили.

Определение20 Пусть Γ — динамическая игра.Профиль стратегий является совершенным по подыграм, если он является равновесным для каждой из подыгр Γ.

Любое равновесие,полученное методом обратной индукции,я вляется совершенным по подыграм.

В игре «лобовая атака» две подыгры.В каждой подыгре Иван при нимает решение,свернуть ему,или нет.Каждая подыгра соответствует одному из решени й Петра(свернуть/не свернуть). В игре «ультиматум» континуум подыгр,по одной для каждого p [100].В каждой подыгре Михаил решает,согласиться ему или отказаться с предложенн ым дележом.

Пример. На рисунке2.16показана игра из работы Рабина(1988)и учебн ика Фаденберга и Тироля(1991,стр.99-100).

F G F G

(0, 0, 0) (7, 10, 7) (7, 10, 7) (0, 0, 0)

Рис. 2.16:Координация или нет?

Модель ценовой конкуренции с инвестициями в производственные мощности.

Постановка модели Штакельберга вызывает ряд вопросов.Поч ему в какой-нибудь отрасли у одной из фирм будет преимущество,позволяющее ей первой реш ать,сколько производить?Что вообще означает «выбор объемов производства»?В долгосроч ной перспективе,количество товара,производимого фирмой,определяется ее производстве нными мощностями.Если фирма хочет увеличить объем производства,то она должна построит ь новый завод.При этом начальные условия у фирм могут быть разными.Одна из фирм может обла дать преимуществом, позволяющим ей первой принимать решение относительно того,какого размера завод следует построить.Например,фирма может первой разработать техно логию производства нового товара;обладать б´ольшими финансовыми возможностями;обла дать необходимым административным ресурсом.Фирма,которая уже построила завод,облад ает более низкими предельными издержками по сравнению с фирмой,которой только предстоит принять решение о том,какого размера завод ей предстоит построить(и,соответственно,с колько товара производить).Такова интерпретация классической(Штакельберг, 1934)модели це новой конкуренции,предложенная Спенсом(1977)и Дикситом(1979, 1980).Ниже представлена м одель ценовой конкуренции между двумя фирмами,взятая из работы Диксита(1980). 3

Предположим,что две фирмы играют в динамическую игру со сле дующим порядком ходов:

1этап. Фирма1выбирает q¯1 — установленную мощность перед тем,как на рынок войдет

где 0 < c ≤ 12 — стоимость установленной мощности,позволяющей производ ить1единицу товара за указанный период.Пусть,как и прежде, P = 1−q1 −q2.Таким образом,мы предполагаем, что на втором этапе предельные издержки Фирмы1равны 0 при q1 < q¯1 и c при q1 > q¯1, так как затраты на строительство завода на первом этапе являются невозвратными.Предельные издержки фирмы2всегда равны c.

Решение задачи максимизации полезности на втором этапе дает нам следующую функцию

Для второй фирмы функция реакции будет такой же,как и в задач ах Курно и Штакельберга:

для всех возможных значений q¯1.Так как графики функций реакции пересекаются ровно в одной точке,решение единственно.Всего возможно три случа я(рисунок2.17).

3Обзоры таких работ содержатся в книге Тироля(1987,стр. 314 ) и Вивеса (1999, гл . 7).