game_theory

[19]MasCollel,A., M. Whinstoon, and J. Green. (1995) Microeconomics Theory Oxford University Press

[20]Murphy, Kevin, Andrei Shleifer, and Robert Vishnu. 1993. Why is rent-seeking so costly to growth? The American Economic Review 83(2): 409–414

[21]Myerson, R. (1991) Game theory: Analysis of Conflict. Harverd University Press

[22]Nash, John (1950) Equilibrium points in n-person games. Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1): 48–49.

[23]Nash, John. 1953. Two-Person Cooperative Games. Econometrica 21(1): 128–140

[24]Palfrey, Thomas, and Howard Rosenthal. 1984/ Participation and the Provision of Public Goods: A Strategic Analysis. Journal of Public Economics 24(2): 171–193

[25]Posner, R. (1975) The Social Costs of Monopoly and Regulation. The Journal of Political Economy 83(4)

[26]Rubinstein, A. 1991. Comments on the Interpretation of Game Theory. Econometrica 59(4): 909–924

[27]Schelling, T. C. (1960). The Strategy of Conflict. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press

[28]Selten, R. and J. Pool. 1991. The distribution of foreign language skills as a game equilibrium. In R. Selten, ed., Game Equilibrium Models, vol. 4, Berlin: Springer-Verlag, 64–84

[29]Tullock, G. (1967) The welfare costs of tari s, monopolies, and theft. Western Economic Journal 5(3): 224—232

[30]Walker, M., and J. Wooders. (2001) Minimax play at Wimbledon, American Economic Review 91(5): 1521–1538

[31]Wittman, Donald. 1977. Candidates With Policy Preferences: A Dynamic Model. Journal of Economic Theory 14:180–189.

пособие.— СПб.:Изд-во Европейского Ун-та в С.-Петербурге , 2001 [37]Шагин В.Л.Теория игр:с экон.прил. :учеб.пособие

тельно ходов,уже сделанных другими игроками.В первом случ ае,мы говорим о дереве игры;

во втором — об информационных множествах игроков.

2.1.1Дерево игры.

делает ход хулиган;его возможные действия — «взорвать» и «н е взорвать».Эту информацию мы можем изобразить в виде следующего дерева (или графа)игры,изображенного на рисунке 2.1.Дерево игры состоит из вершин и соединяющих их отрезков.Каждая вершина означает либо момент принятия решения одним из игроков,либо момент о кончания игры.Моменты принятия решения обозначены жирными точками;их на нашем де реве два — принятие решения прохожим,и принятие решения хулиганом.Всего существует т ри варианта окончания игры: если прохожий отдает кошелек,если прохожий не отдает кошел ек и хулиган взрывает гранату,

Рис. 2.1:Игра «хулиган с гранатой».

Каждому ходу,который игрок делает в какой-то вершине,соот ветствует вершина,в которой игра оказывается после сделанного хода.Например,посл е хода прохожего «отдать»,игра переходит в конечную вершину с выигрышем (0, 1).После хода «не отдать» игра переходит в вершину,в которой ход делает хулиган.Будем говорить,что в ершина,в которой делает ход прохожий,лежит выше,чем вершина,в которой делает ход хули ган.В любом дереве игры,для любой вершины,кроме начальной,однозначно задается история игры — то есть последовательность вершин,через которые игра уже успела пройти.В частно сти,для любой вершины(опять

наличия начальной вершины исключает возможность циклов(к ак на рисунке2.2(b)).

Рис. 2.2:Примеры графов,не являющихся деревьями игры.

2.1.2Информационные множества и стратегии в динамической игре.

Рассмотрим задачу «встреча в городе» из Главы1 (стр. 13).На помним,что в исходной задаче речь шла об игре 2 × 2 со следующей матрицей выигрышей:

Мы предполагали,что когда Маша и Андрей принимают решения, между ними отсутствует

сказать,в какой из двух своих вершин он находится.Это предп оложение достигается объединением двух вершин,в которых Андрей принимает решения,в одно информационное множество. На рисунке2.3(b)показан альтернативный способ записи той же игры в развернутой форме.

Дадим формальное определение.

Определение15 Пусть Γ — игра в развернутой форме. Информационное множество игрока i есть совокупность вершин,в которых этот игрок делает ход,с о следующими свойствами:

1.Каждая вершина игрока i содержится в одном и ровно одном информационном множестве.

2.Пусть hi — информационное множество игрока i.Во всех вершинах,входящих в hi,игроку доступен один и тот же набор действий A(hi).

По определению,игрок не может наблюдать,в какой из вершин и нформационного множества он находится.Поэтому мы требуем,чтобы во всех вершина х,принадлежащих к одному информационному множеству,каждому игроку были доступны о дни и те же действия.В противном случае — как,например,на рисунке2.4(a)— игрок смож ет определить вершину,в которой он находится,по числу доступных ему действий,что п ротиворечит предположению о том,что две вершины принадлежат к одному информационному м ножеству.

Рис. 2.4:Игра «встреча в городе».

В тех играх,в которых игроки могут наблюдать за действиями в сех других игроков — включая Природу — каждое информационное множество содержит ровно одну вершину.Если в нашем примере между Машей и Андреем имеется односторонняя связь — например,если Маша может скидывать Андрею СМСки,но Андрей не может на них о твечать — информационное множество Андрея разбивается на два множества(рисун ок2.4(b)),каждое из которых соответствует одному из выбранных Машей действий.У Маши,к ак и прежде,всего одно информационное множество,так как при наличии односторонней связи она принимает решение раньше Андрея.У Андрея информационных множеств два,каждо е из которых соответствует одной вершине,в которой он принимает решение(когда в инфор мационном множестве всего одна вершина,мы не обводим ее пунктиром на рисунке).

Какие стратегии доступны игрокам в игре,изображенной на ри сунке2.4(b)?У Маши всего два варианта действий: M или T.Выбор Андрея,однако,является более богатым.У него могут быть разные планы в зависимости от хода,сделанного Маше й.Перечислим все стратегии Андрея:

TT Играть T если Машин ход был T;играть T если Машин ход был M.

TM Играть T если Машин ход был T;играть M если Машин ход был M.

MT Играть M если Машин ход был T;играть T если Машин ход был M.

MM Играть M если Машин ход был T;играть M если Машин ход был M.

Получается,что у Андрея всего4стратегии.Каждая стратеги я предписывает,что делать в каждом информационном множестве.Дадим определение.

Определение16 В игре Γ в развернутой форме множество чистых стратегий игрока i есть

Si = ×hi Hi A(hi),

где Hi — информационные множества,в которых делает ход игрок i.

При этом число чистых стратегий у игрока i будет

Совокупность дерева игры и информационных множеств игроков позволяет нам определить множество стратегий для каждого игрока.Так как выигры ш каждого игрока однозначно определяется стратегиями,выбранными игроками,то это поз воляет нам говорить о равновесии Нэша в играх в развернутой форме.Однако,как мы убедимся на следующем примере,в динамических играх далеко не все равновесия соответствуют нашему представлению о рациональности игроков.

«Я — Михаэль Шумахер,и я никогда не сворачиваю первым».

Рассмотрим задачу «лобовая атака» на странице18.Два автом обиля едут навстречу друг другу.За рулем первой машины Иван — водитель со среднестатисти ческими навыками вождения. За рулем второй машины сидит Михаель Шумахер,семикратный о бладатель чемпионского титула гонок Формулы-1.Каждый водитель может свернуть — T или не свернуть — N.Пусть, как и в прошлой главе,полезности игроков заданы такой матри цей:

Реакция Михаэля Шумахера намного лучше,чем у Ивана.Поэтом у решение о том,свернуть ему или нет,Иван принимает первый.После того,как Иван опре делился со своим выбором (и не в состоянии его изменить),Шумахер все еще имеет в запас е несколько долей секунды, достаточных для принятия решения.У нас получается динамич еская игра,в которой Иван делает первый ход(рисунок2.5(a)).

У Ивана в этой игре две стратегии: S1 = {T, N},у Михаэля — четыре: S2 = {TT, TN, NT, NN}. Какие профили стратегий будут равновесными?Запишем матри цу выигрышей в этой игре.

Попробуем проанализировать эту игру как статическую.Форм ально,мы получим три равновесия Нэша: (N, TT), (N, NT) и (T, NN). Однако в двух из них — (N, TT) и (T, NN) — Михаэль принмает неоптимальные для него действия вне траектории игры.Рассмотрим,например, (T, NN). Эта пара стратегий предписывает Михаелю никогда не сворачивать — даже в том случае,если Иван по какой-то причине отклонится от своей равновесной стратегии T и не свернет.У Михаэля будет еще несколько долей секунды для того,чтобы пе редумать.Следуя стратегии NN,Михаэль будет вынужден разбить машину и получить выигрыш −10,имея возможность увернуться и получить всего −5.

−10, −10 10, −5 −5, 10 0, 0 −10, −10 10, −5 −5, 10 0, 0

(a)Исходная игра (b)Равновесие (N, NT)

Рис. 2.5:Динамическая игра в «лобовую атаку».

Зато пара стратегий (N, NT) предписывает Шумахеру оптимально,с его точки зрения,реагировать на любой первый ход Ивана.Шумахер сворачивает,е сли Иван не свернет,и едет прямо,если Иван уступает ему дорогу(рисунок2.5(b)).Зная ,что Шумахер действует таким образом,Иван фактически выбирает между выигрышами в −5 (если он свернет)и 10 (если он

выдерживает нашу критику.Как мы увидим в следующем разделе ,такой алгоритм позволяет найти равновесие в любой конечной игре,в которой игроки обл адают всей информацией о всех сделанных ранее ходах.

2.1.3Игры с совершенной информацией.

Наиболее простым для изучения подклассом динамических игр являются игры,в которых игроки делают свои ходы строго по очереди,причем в каждый моме нт времени каждому игроку известны все ходы,сделанные предыдущими игроками.Дадим о пределение.

Определение17 Пусть каждое информационное множество в игре Γ содержит ровно одну вершину.Такая игра называется игрой с совершенной информацией.

Игра «лобовая атака» между Иваном и Шумахером и игра «хулиган с гранатой» являются примерами игр с совершенной информацией.К этому же классу о тносятся такие настольные игры,как шашки,шахматы и крестики-нолики.Подкидной дура к,напротив,не является игрой с совершенной информацией:игрок не видит руки других игрок ов;следовательно,некоторые (на самом деле,почти все)информационные множества содерж ат более одного элемента.

Мы показали,что в игре «лобовая атака» можно построить равн овесие,сначала находя оптимальное действие игрока,делающего последний ход.Аналоги чный алгоритм можно применить и к любой игре с совершенной информацией,если количество хо дов в этой игре конечно:

Теорема5 (Цермело, 1913;Кун, 1953)В любой конечной игре с совершенн ой информацией есть равновесие в чистых стратегях.

Полное доказательство этой теоремы,использующее формаль ное определение игры в развернутой форме,содержится в Приложении Б,однако сама идея доказательства очень проста. Мы действует методом обратной индукции.Нам нужно построить профиль стратегий — то есть для каждого информационного множества(то есть для каж дой вершины,так как речь

идет об игре с совершенной информацией),найти действие игр ока в этом множестве.Возьмем все вершины,такие,что ниже этих вершин игра заканчивается .Найдем оптимальное действие каждого игрока в каждой такой вершине.Далее рассмотрим вер шины одним уровнем выше и найдем оптимальные действия игроков в них;так как игра явля ется конечной,мы рано или поздно придем к начальной вершине.

Пример использования этого алгоритма показан на рисунке2. 6(a).

Рис. 2.6:Обратрая индукция в игре с совершенной информацие й.

Если первый ход игрокаIбудет U,а ходы игроковIIиIII— соответственно L и r, то второй ход игрокаIдолжен быть B.Если игрокIIIсделает ход l,то следующий ход игрокаIдолжен быть F.Если эти планы известны игрокуIII,то его ход должен быть l.ИгрокIIсделает ход R,

апервый ход игрокаIбудет D.

Кклассу конечных игр с совершенной информацией принадлежат такие известные игры, как крестики-нолики,шашки и шахматы.Эти игры являются кон ечными(по правилам шахмат,при троекратном повторении позиции объявляется ничья )и могут быть решены методом обратной индукции.Между крестиками-ноликами,шашками и ш ахматами нет принципиальной разницы,однако практическая возможность нахождения т акого решения зависит от числа ходов в игре.Легко проверить,что в «крестиках-ноликах» ка ждый игрок может обеспечить себе ничью(или выигрыш,если его противник ошибется и откло нится от равновесной стратегии).Недавно таким же образом была решена одна из разновидн остей шашек.Компьютерная программаChinook,созданная профессором Джонатаном Шейф ером из канадского Университета штата Альберта,реализует равновесную стратегию,обе спечивающую как минимум ничью при любой стратегии противника(Шейфер и др., 2007).Теорет ически,похожий результат должен существовать и для шахмат.Однако решение шахмат пока не представляется возможным, так как дерево этой игры слишком велико.В шашках существует порядка 1020 возможных позиций;при этом решение шашек потребовало несколько месяце в работы сотен персональных компьютеров.В шахматах число позиций превышает 1040,так что с точки зрения сложности стратегий,шахматы настолько сложнее шашек,насколько шаш ки сложнее крестиков-ноликов. Вряд ли шахматы будут решены в обозримом будущем.

Сжигание мостов.

Генерал командует армией,которая защищает город,находящ ийся на берегу реки.Между городом и другим берегом проложен мост,по которому армия может, при необходимости,отступить. На город готовится напасть вражеская армия.Генерал имеет в озможность уничтожить мост до того,как враг решится атаковать( B),или не уничтожать мост( N).После того,как враг