game_theory

СМИ,и когда сигналы — частная информация.

9.Рассмотрим задачу морального риска на стр. 193-197.

(a)Пусть хозяин решил предложить контракт,при котором про давец выберет уровень усилий e = H.Покажите,что ожидаемая заработная плата будет выше,чем u¯ + c

— зарплата,которую продавец будет получать за e = H в случае,если уровень его усилий наблюдаем.

(b)Пусть продавец нейтрален к риску: v(w) = w.Как изменится оптимальный контракт? Будет ли он всегда Парето-эффективным?

10.Рассмотрим задачу сигнализирования на рынке труда на ст р. 173-176.Предположим теперь,что производительность работника зависит от уровня о бразования,полученного им. Пусть работник,имеющий тип θH и уровень образования e,производит y(e,θ H ) = θH +eηH, работник типа θL — y(e,θ L) = θL + eηL, где ηH > ηL > 0.Пусть издержки образования равны cHe2 для производительного работника,и cLe2 для непроизводительного,где cL > cH > 0.

(a)Пусть (eL, eH , µ(e), w(e)) — разделяющее равновесие.Чему равно eL?Найдите максимальное и минимальное значение eH.Какие ограничения накладываются на функцию веры µ(e)?

(b)Найдите e,при которых возможны смешивающие равновесия в этой задаче .

11.Рассмотрим задачу сигнализирования на рынке труда на ст р. 173-176.Докажите,что существует единственное разделяющее равновесие,удовлет воряющее интуитивному крителию Чоу и Крепса(1987).

12.В игре с сообщениями выигрыши игроков зависят от t и a следующим образом:

ИгрокS

При каких значениях x, y, w, и z в этой игре существует разделяющее равновесие?Найдите его.

13. (Крепс,Милгром,Робертс и Уилсон, 1982)Два человека,П етя и Вася,играют в дилемму заключенного два раза подряд.Их выигрыш на первом этапе и на втором этапе таковы:

???????????????????

где x > 2.Игроки могут быть двух типов:

(a)Оппортунист — обыкновенный стратегический игрок в наше м понимании .

(b)“Кремень”— в момент времени t = 1 молчит.В момент времени t = 2 сдается если и только если другой игрок сдался в момент времени t = 1.

Вася является оппортунистом.Петя —“кремень”с вероятност ью p и оппортунист с вероятностью 1 − p (ему самому его тип известен).Найдите совершенное байесов о равновесие в этой игре.

14. (Гиббонс1992стр. 250)Владимир и Михаил — партнеры по би знесу.Доля Владимира составляет s, доля Михаила — 1 − s.Они решили прекратить партнерство.Согласно договоренностям,сначала Владимир должен назвать Михаил сво ю оценку стоимости всего бизнеса p.Затем Михаил должен решить — либо купить долю Владимира за ps рублей, либо продать ему свою долю за p(1 − s) рублей.Величина,в которую каждый партнер оценивает бизнес — частная информация,однако известно,чт о оценки — независимые случайные величины,равномерно распределенные на [0, 1].Найдите совершенное байесово равновесие.

15.Рассмотрите модель политического популизма на стр. 184 -187.Существуют ли в этой игре смешивающие равновесия?

16.(Нейлбаф, 1987).Иван Иванович думает,подать ли ему гра жданский иск против Ивана Никифоровича.Если дело дойдет до суда,Иван Никифорович до лжен будет выплатить

Ивану Ивановичу d рублей.Эта величина известна только Ивану Никифоровичу;с точ-

отказаться от претензий.В случае суда,выигрыши сторон сос тавляют d−c для истца и −d для защитника.Если истец отказывается судиться,то оба игр ока получают нулевой выигрыш.

Найдите совершенное байесово равновесие,следуя такому пл ану:

(a)Рассмотрим третий этап игры.Предположим,что Иван Иван ович считает,что Иван Никифорович согласится уладить дело если и только если d > d ,для некоторой d . Как решение истца Ивана Ивановича зависит от d ?

(b)Рассмотрим второй этап.Иван Никифорович получил предл ожение s и считает,что в случае отказа Иван Иванович подаст на него в суд с вероятностью p.Как решение Ивана Никифоровича зависит от p и s?Если игра начинается на втором этапе,то каким будет совершенное Байесово равновесие при s < 2c? При S > 2c?

R в результате такого перераспределения полномочий?Измени тся ли ваш ответ,если uR = −|a − t|?

18.(Маккарти и Мейровиц, 2007,стр. 249)Существуют два игр ока:Общество и правящий им диктатор.В каждый из моментов времени t = 1, 2 общество решает,стоит ли ему восставать против диктатора( R),либо не восставать( C).Если общество восстало( R),то диктатор принимает решение: r (применить репрессии),либо a (пойти на уступки).Если

общество не восстает,то диктатор ничего не делает в этот мом ент времени.Выигрыш

(a)Пусть p1 — вера общества на начало момента времени t = 2 относительно того,что диктатор имеет тип M.Как действие общества в момент времени t = 2 зависит от p1?

(b)При каком p0 существует равновесие с такими стратегиями игроков:мягки й диктатор в обоих периодах идет на уступки,жесткий диктатор в обоих пе риодах применяет репрессии,а общество восстает в первом периоде и восстает в овтором только если в первом периоде не было репрессий.

(c)При каком p0 существует равновесие с такими стратегиями игроков:мягки й диктатор в первом периоде применяет репрессии,а во втором — идет на ус тупки,жесткий диктатор в обоих периодах применяет репрессии,а общество восс тает в первом периоде и восстает вовтором только если в первом периоде не было репрессий.Соответствует ли это равновесие «интуитивному критерию»?

(d)При каком p0 существует равновесие с такими стратегиями игроков:мягки й дикта - тор в первом периоде применяет репрессии,а во втором — идет н а уступки,жесткий диктатор в обоих периодах применяет репрессии,а общество н е восстает в первом периоде и восстает вовтором только если в первом периоде не было репрессий.Соответствует ли это равновесие «интуитивному критерию»?

19.Рассмотрим следующую сигнальную игру:

Все три типа игрока1равновероятны.Найдите все совершенны е байесовы равновесия.

20.(Мюнстер, 2009).Две фирмы решают,сколько средств влож ить в разработку технологии,

которая позволит ее обладателю получить патент.Пусть ait — количество средств,вложенное фирмой i = 1, 2 в момент времени t = 1, 2.Пусть вероятность того,что фирма

ui = Vi(pi1 + pi2) − ai1 − ai2,

Пусть V1 = 1.Пусть V2 = 1 с вероятностью p и V2 = R > 1 с вероятностью 1 − p.

Пусть R = 4. Найдите p,при котором существует разделяющее равновесие.

[18]McCarthy, N., and A. Meirowitz. 2007. Political Game Theory: An Introduction. Cambridge University Press.

[19]Paul R. Milgrom. 1981. Good News and Bad News: Representation Theorems and Applications

The Bell Journal of Economics 12(2): 380–391

[20]Munster, Johannes. 2009. Repeated Contests with Asymmetric Information. Journal of Public Economic Theory 11(1): 89–118

[21]Roger Myerson. 1978. Refinements of the Nash equilibrium concept. International Journal of Game Theory 7: 73–80

[22]Barry Nalebu . 1987. Credible Pretrial Negotiations. Rand Journal of Economics 18: 198–210

[23]Romed, David. Advanced Macroeconomics, 3rd edition. McGraw-Hill, 2006

[24]Reinhard Selten. 1975. Reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games. International Journal of Game Theory 4(1): 25-55

[25]Spence, Michael. 1973. Job Market Signaling. Quarterly Journal of Economics 87(3): 355–374

[26]Харро фон Зенгер.Стратагемы.О китайском искусстве жи ть и выживать.Том1, 2. -М.: Изд-во Эксмо, 2004.