game_theory

Попробуем формализовать задачу,стоявшую перед Соломоном . Итак , к царю пришли две женщины.Одна из них — мать ребенка.Возможно два состояния п рироды: T = {1, 2}, где t = i означает,что i-я женщина является матерью.Всего возможно три исхода суде бного спора: C = {0, 1, 2}, где c = i > 0 означает,что ребенок отдан i-й женщине, c = 0 — ребенок разрублен пополам.Функция общественного выбора,которую необходим о реализовать,такова: f(t) = t.

Предположим,что предпочтения женщин таковы:

t = 1: u¯1(1, 1) > u¯1(2, 1) > u¯1(0, 1), u¯2(2, 1) > u¯2(0, 1) > u¯2(1, 1),

t = 2: u¯1(1, 2) > u¯1(0, 2) > u¯1(2, 2), u¯2(2, 2) > u¯2(1, 2) > u¯2(0, 2).

То есть каждая женщина больше всего хочет,чтобы ребенка ост авили ей.При этом наихудший вариант для настоящей матери — гибель ребенка,а для обманщи цы — проигрыш в суде.

Легко убедиться,что свойство монотонности по Маскину в это й задаче не выполняется. Пусть c = f(1) = 1.Тогда не существует такого b ̸= c, что u¯i(c, 1) ≥ u¯i(b, 1) но u¯i(c, 2) < u¯i(b, 2) для какого-нибудь i = 1, 2.

Более наглядно в этом можно убедиться,ограничив внимание п рямыми механизмами,в которых Соломон требует каждую женщину назвать свой тип: Ai = {1, 2} (мы имеем право так сделать,исходя из принципа выявления).Механизмом в да нном случае будет игра 2 × 2, в которой при каждой паре стратегий s1, s2 A1 × A2 реализуется один из элементов C. При

этом,в случае t = 1,в равновесии мы должны иметь a1 = 1, a2 = 2, а при t = 2 — a1 = 2, a2 = 1. Можно проверить,что такую игру построить нельзя.

Почему же в библейском примере царю Соломону удалось принять справедливое решение? Очевидно из-за того,что обманщица просто не догадалась(ил и не смогла)имитировать реакцию настоящей матери на предложение разрубить ребенка пополам!Так она смогла бы избежать наихудшего для себя исхода,а царь Соломон был бы постав лен в неловкое положение. Мудрость Соломона заключалась не в умении выстраивать механизмы(что в данном случае, как мы видим,ему не помогло бы),а в умении прогнозировать и р азличать человеческие эмоции.

Пример.Принятие коллективного решения путем опроса.

Вот задача,поставленная Муленом(1980).Необходимо приня ть решение,учитывающее интересы нечетного числа N человек.Пусть множество возможных решений — единичный отр езок C = [0, 1].Множество типов для каждого человека i = 1, . . . , N — также единичный отрезок

где ψ(·) — какая-то возрастающая функция.То есть мы предполагаем,ч то каждый i = 1, . . . , N обладает однопиковыми предпочтениями на множестве C, где i — его наилучшая альтернатива. Это предположение,как мы помним по предыдущим примерам,ле жит в основе многих моделей как в политологии( C — множество политических программ),так и в экономике( C — множество способов произвести горизонтально дифференцированый товар).

Согласно принципу выявления,каждому механизму,Нэш-реал изующему какую-то функцию общественного выбора f : [0, 1]N → [0, 1],должен соответствовать прямой механизм g : [0, 1]N → [0, 1],то есть правило,согласно которому мы просим каждого челов ека назвать его тип θi [0, 1],а затем на основании сделанных заявлений принять решение.

Предположим,что мы хотим,чтобы принятое решение было равн о медианному значению наилучших альтернатив: f(t) = med(ti).Легко убедиться,что эта функция общественного выбора удовлетворяет свойству монотонности по Маскину.Пуст ь t, t′ — профили предпочтений с разными медианными значениями, i — медианный агент для профиля t′.Пусть c = ti, c′ = t′i

132 ГЛАВА3.СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

— медианное значение для профиля предпочтений t′.Тогда,очевидно, ui(c, t) ≥ ui(c′, t), но ui(c, t′) < ui(c′, t′).

Пример.Раздел имущества.

В своей популярной книге «Взаимовыгодное решение» политолог Стив Брамс и математик Алан Тейлор описывают различные механизмы раздела имущества — например,при бракоразводном процессе или при заключении мирного соглашения между двумя воюющими сторонами. Задача дизайна механизма в таких случаях возникает,как мы г оворили,из-за того,что делимое имущество неоднородно:у разных сторон могут быть разные оц енки предметов,подлежащих разделу.Авторы выделили три критерия,которым должна отве чать процедура раздела.

терию не удовлетворяет «балансированное чередование»,ко гда две стороны по очереди берут по одному предмету из общей кучи.Если у обоих сторон одинако вые предпочтения,то вторая сторона будет завидовать первой.Во-вторых,это критерий с праведливости.Полезность одной стороны после дележа не должна быть намного больше,чем поле зность другой стороны.«Разделяй и выбирай» — классический способов раздела — не отвечает этому критерию.Согласно этому правилу,одна из двух сторон делит все имущество на две кучи;вторая сторона выбирает, какую из куч взять себе,а какую — оставить первой стороне.Ес ли первой стороне известны предпочтения второй,то она должна предложить дележ,котор ый максимизирует полезность второй кучи для для первой стороны,при условии,что полезно сть первой кучи для второй стороны равна 51%.В реальной жизни,такая эксплуататорская стратегия разде ла может породить обратную реакцию.Видя,как его предпочтениями пыта ются манипулировать,вторая сторона может поступить «назло» и взять худшую(со своей точ ки зрения)кучу,только для того,чтобы отомстить первой стороне за попытку получить сл ишком большой куш.По словам авторов,консультировавших юристов,подобная логика прин ятия решений при бракоразводных процессах возникает очень часто.

В-третьих,дележ должен быть эффективным.Не должно сущест вовать способа поделить предметы так,чтобы увеличить полезность одной стороны,не снижая полезности другой.Если используется способ «разделяй и выбирай»,но первая сторон а не знает предпочтения второй, то,скорее всего,дележ будет неэффективным.

Авторы доказали,что если сторон всего две,то существует сп особ,удовлетворяющий всем трем перечисленным выше критериям.Согласно предложенном у механизму,дележ начинается с того,что каждая сторона заявляет,во сколько баллов(из 100возможных в сумме)она оценивает каждый предмет.При определенном способе раздел а,основанном на заявленных сторонами значениях,доминирующей стратегией для каждой с тороны является заявить свои истинные предпочтения;этот способ находит применение в юр идической практике при реальных спорах о разделе имущества.

Достаточные условия Нэш-реализуемости механизма.

Монотонность является необходимым условием Нэш-реализуемости механизма.Насколько сильными являются дополнительные условия,обеспечивающи е достаточность?Оказывается, что функция общественного выбора долждна удовлетворять следующему условию:

Теорема14 Пусть f монотонна и обладает свойством отсутствия вето.Тогда она Н эшреализуема.

Доказательство этой теоремы можно найти,например,в учебн ике Осборна и Рубинштейна

(1994,стр. 187–189).

3.2.3Реализуемость в доминирующих стратегиях.

В первой главе было дано определение равновесия в доминирующих стратегиях — профиля стратегий,такого,что для каждого игрока его равновесная с тратегия доминирует все остальные его стратегии.Такие равновесия существуют не во всех играх ;этому свойству удовлетворяет, например,«дилемма заключенного»,но не координационная и гра.Посмотрим,в каких случаях мы можем требовать от функции общественного выбора,чтобы е е значения являлись такими равновесиями.

Определение37 Механизм M реализует в доминирующих стратегиях правило обществен-

ного выбора f,если для всех t T ,мы имеем g(s (t)) = f(t), где s — равновесие в доминирующих стратегиях в игре G(M).

Очевидно,что здесь тоже действует принцип выявления:если какой-то механизм реализует правило общественного выбора в доминирующих стратегиях,т о существует прямой механизм, реализующий то же правило в доминирующих стратегиях.Форму лировка и доказательство этого утверждения эквивалентны Теореме,с одной лишь разни цей:реализуемость в доминирующих стратегиях предполагает,что неравенство3.83долж но выполняться для всех si A−i, а не только для s−i(t−i).

Реализуемость в доминирующих стратегиях — очень желанное качество механизма и функции общественного выбора.Ведь если это правило выполняетс я,то в любом состоянии t каждый из игроков i будет максимизировать свой выигрыш,выбирая требуемое от н его действие fi(t). При этом ему будет все равно,играют ли другие игроки свои рав новесные стратегии,или нет.

Как мы сейчас убедимся,реализуемость в доминирующих страт егиях есть сильное требование,которое выполняется далеко не всегда.Дадим такое опре деление:

Определение38 Пусть f — функция общественного выбора.Пусть i — игрок,такой,что для всех t T ,для всех c′ C,мы имеем u¯i(f(t), ti) ≥ u¯i(c′, ti). Тогда функция f называется

диктаторской,а игрок i — диктатором.

Диктаторская функция общественного выбора всегда реализует наилучшую альтернативу какого-то одного игрока,называемого диктатором.Следующ ая теорема является фундаментальным результатом в теории игр.Эта теорема(назыавемая п о работам Гиббарда (1973) и Саттертуэйта(1975),в которых она была доказана)утвержда ет,что в общем случае — когда множество типов игроков достаточно велико — реализуемость в доминирующих стратегиях можно ожидать только от диктаторских функций общественного выбора .

Теорема15 Пусть f — функция общественного выбора.Пусть верно следующее:

1. |C| ≥ 3.

2.Для любого i, для любой функции ψ : C → R,существует ti Ti,такой,что для всех c, c′ C,мы имеем u¯i(c, ti) ≥ u¯i(c′, ti) тогда и только тогда,когда ψ(c) ≥ ψ(c′).

3.Для любого c C,существует такой t T , что f(t) = c. 4.Функция f реализуема в доминирующих стратегиях.

Тогда функция f является диктаторской.

Первое требование гласит,что альтернатив должно быть боль ше двух.Если их всего две,то задача дизайна механизма существенно упрощается.Пусть,н апример,существуют две альтернативы- A и B.Мы можем реализовать следующую функцию:всегда выбирать т у альтернативу,для которой больше число игроков,строго предпочитающи х ее другой альтернативе(а при равных числах выбирать A).Легко убедиться в том,что такая функция общественного вы бора реализуется в доминирующих стратегиях при помощи правила простого большинства:мы спрашиваем каждого игрока его голос(«за A»,«за B»,или «воздержался»),складываем голоса за каждую альтернативу,и объявляем ее победителем(в случае н ичьей объявляем победителем альтернативу A).

Согласно второму требованию,у нас не может быть ограничени й на предпочтения игроков.Это означает то,что для любых трех альтернатив a, b и c и для любого игрока i, при разных типах этого игрока возможны все порядки предпочтений на этих трех альтернативах. Иначе,конечно же,задача дизайна механизма существенно уп рощается.Сосвем простой пример нарушения этого требования — когда у нас все игроки всегда предпочитают одну и ту же альтернативу всем остальным;но существуют и более реалист ичные ситуации,когда функция общественного выбора реализуема из-за того,что игроки обл адают специфичными предпочтениями(например,рассмотренная ниже задача).

Третье требование этой теоремы необходимо для того,чтобы и сключить тривиальные функции общественного выбора.Действительно,если для всех тип ов игроков функция предписывает выбирать одну и ту же альтернативу x,то такая функция будет реализована при помощи столь же тривиального механизма,предписывающего выбирать x вне зависимости от действий игроков.Мы же хотим,чтобы разные профили предпочтений игроков обязывали нас реализовывать разные решения.

Доказательство это теоремы использует другой знаменитый результат в теории игр и теории общественного выбора — теорему Эрроу о невозможности.Форм улировка теоремы Эрроу и доказательство теоремы Гиббарда-Саттертуэйта содержатся в приложении к данной главе.

Пример.Принятие коллективных решений путем опроса

Рассмотрим пример на странице131.Здесь,предполагая,что множество альтернатив — это отрезок на прямой,мы ограничиваемся только однопиковыми п редпочтениям.Как следствие, функции полезностей игроков(3.85)не выполняют второго тр ебования Теоремы15— то есть

мы в принципе не можем иметь,например, u¯i(a, ti) < u¯i(b, ti) < u¯i(c, ti) при b < a < c.Поэтому теорема Гиббарда-Саттертуэйта здесь не действует,и это да ет надежду на то,что функция

общественного выбора f(t) = med(ti) может быть реализуема в доминирующих стратегиях.В задаче14предлагается доказать,что это можно сделать при п омощи медианного механизма g(θ) = med(θ).

Пример.Механизм Гровса-Кларка

Предположим,что полезность каждого из N человек определяется тремя вещами:объемом произведенного общественного блага k,собственным типом ti,и денежным трансфером mi, который может быть как положительным,так и отрицательным 8.Пусть

136 ГЛАВА3.СТАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

3.3Введение в теорию аукционов.

Зачем вообще товары продаются с аукционов?Если бы продавец точно знал,сколько каждый покупатель готов заплатить за его товар,то аукцион был бы не нужен.Было бы достаточно подойти к покупателю,который готов предложить самую бол ьшую цену,и продать товар именно ему — по максимальной цене,которую этот покупатель г отов заплатить.Но души покупателей не прозрачны для глаз продавцов.Глядя в глаза при шедшему по моему объявлению о продаже садового участка человеку,я не могу понять,сколь ко именно он готов выложить. Это — его частная информация.Ценность участка для покупате ля зависит от его вкусов,места

всего,соврет.Он назовет цену,более низкую,чем его истинн ая оценка,если он будет знать,что именно по этой цене я готов продать ему участок.Единственно е,что его сдерживает — это то, что может найтись другой покупатель,который предложит бол ее высокую цену.Итак,налицо игра с неполной информацией между несколькими покупателями,исходом с которой является факт продажи(или непродажи)предмета,и продажная цена.

Перед вами стоит задача дизайна механизма продажи имеющегося у вас товара.Существует два критерия,по которым можно оценивать,насколько хоро шо работает каждый отдельно взятый механизм:ожидаемый доход продавца и эффективность (то есть достается ли продаваемый товар покупателю,имеющему наибольшую оценку).Первы й критерий преобладает при устройстве аукционов,на которых продаются товары частных продавцов(например,предметы искусства),а также закупочные аукционы.Второй критерий п реобладает при продаже государством лицензий:экономике страны в целом будет выгодно,есл и,например,право на разработку нефтяного месторождения достанется фирме с наименьшими издержками.

С решениями этих и похожих задач связана теория аукционов — важная и бурно развивающаяся область экономической науки,уже успевшая дать миру нескольких нобелевских лауреатов.Даже краткий обзор литературы в этой области лежит за пределами возможностей данного учебника;желающие могут прочитать книги Кришны(2 009),Милгрома(2004)или Клемперера(2004).

Описание некоторых типов аукционов.

Начнем с того,что перечислим основные виды аукционных меха низмов.

Аукцион с повышением цены(или английский аукцион). Спросите обывателя:что он представляет себе в первую очередь при слове «аукцион»?Ско рее всего,ваш собеседник скажет вам,что видит перед собой переполненный зал.Солидн ые покупатели в котелках сидят на обитых кожей стульях и потягивают сигары.Продавец ,стоя лицом к публике и держа в правой руке молоток,выкрикивает последнюю ставку: Пятьсот долларов раз...

Пятьсот долларов два...И вот один из джентльменов в зале под нимает руку и произносит: Пятьсот пятьдесят!

Именно таким образом до сих пор устроена продажа большинства товаров — например, этим правилом пользуются знаменитые аукционные дома Сотби и Кристи.Продавец объявляет стартовую цену(ниже которой продать товар будет нел ьзя).Каждый покупатель может объявить более высокую,чем текущая,цену;товар прод ается после того,как желающих поднимать цену больше не осталось.Покупателем являет ся тот,кто назвал самую высокую цену(которую он в итоге и заплатит).В том случае,ко гда продается не предмет, которым можно пользоваться,а обязательство выполнить как ую-либо работу(например, при распределении строительных контрактов),цена в ходе то рговли понижаетя,пока не остается одного генерального подрядчика,готового выполн ить работу на наименьшую названную цену.

продавать товар «с молотка» — объявить за продаваемый товар очень высокую стартовую цену,затем постепенно снижать ее,пока не найдется поку патель,готовый купить товар по названной цене.Этот вид аукциона использовался в Г олландии при продаже луковиц тульпана во время знаменитой «тюльпаномании» — пузыря на рынке этих цветов в первой половине17века.

Аукцион первой цены. Каждый покупатель,участвующий в аукционе,делает одну зая вку, в тайне от остальных покупателей.Тот,чья заявка была выше, объявляется победителем; при этом он уплачивает цену,указанную в его заявке.

Аукцион второй цены. Этот вид аукциона также известен как «аукцион Викри»,по име ни нобелевского лауреата Уильяма Викри,предложившего эту сх ему.Как и при аукционе

указанную в следующей заявке.Как мы уже убедились в первой главе(см.стр. 1.1.2), в та - ком аукционе каждый участник имеет доминирующую стратегию:заявить свою истинную оценку продаваемого товара.

Насколько сильно будут отличаться результаты этих четырех аукционов?Легко убедиться в том,что аукцион первой цены и голландский аукцион на самом деле приведут нас к одному и тому же результату.Например,представим себе,что вы хоти те купить картину,которая продается при помощи голландского аукциона.Поскольку вы жела ете остаться инкогнито,ваши интересы на аукционе представляет адвокат.Какие инструкц ии вы ему оставите?Вам достаточно сообщить ему всего одну цифру — цену,при которой следу ет остановить торговлю.Инструкции для участия в аукционе первой цены будут выглядеть так же:цена,которую нужно указать в заявке.При одинаковых инструкциях результаты дв ух аукционов будут одинаковы.

Можно ли провести те же параллели между аукционом второй цены и английским аукци-

будет выгодно поднять цену,если названная цена ниже его оце нки,и если последним цену поднимал другой покупатель.Таким образом,стратегию поку пателя можно свести к однойединственной цифре — сумме,при которой стоит прекращать то рговлю.Легко убедиться,что результат английского аукциона будет эквивалентен результату аукциона второй цены,если суммы,при которых покупатели прекращают торговлю в англий ском аукционе,равны заявкам,сделанным в аукционе второй цены.Данное утверждение, однако,верно только в том случае,когда каждому покупателю известна ценность продав аемого товара.

Предположим,что это не так.Пусть каждому покупателю не изв естна ценность продава-

более сложной,чем «торговаться,пока цена не достигнет вел ичины X».Ведь,наблюдая заявки других покупателей,можно получить дополнительную информ ацию о ценности продаваемого товара.

2.Аукцион второй цены(он же аукцион Викри).Покупатели дел ают заявки.Затем тот покупатель,чья заявка была самая высокая,покупает картин у по цене следующей заявки. Это дает нам,при условии,что заявки делаются правдиво, l = 12 p, h = 12 (1+p), L = 32 p, H = 2 + p (в таком аукционе делать правдивые заявки,как мы скоро убед имся,действительно является равновесной стратегией).

3.Модифицированный аукцион второй цены.Покупатели делаю т заявки.Затем тот покупатель,чья заявка была самая высокая,покупает картину по цен е,равной среднему арифметическому цен двух заявок.Это соответствует l = 12 p, h = 12 (1 + p), L = 32 p, H = 2 + 32 p.

Второй набор ограничений связан с тем,что оба покупателя до лжны правдиво сообщить продавцу свои оценки продаваемой картины.Поэтому мы вводи м условия совместимости сти-

мулов:

В первом неравенстве левая часть соответствует выигрышу покупателя с оценкой$4млн,если он сделает заявку$4млн.;правая часть — если он сделает заяв ку$3млн.Во втором неравенстве,левая часть соответствует выигрышу покупателя с о ценкой$3млн,если он сделает заявку$3млн;правая часть — если его заявка будет$4млн.

Также,ожидаемый выигрыш покупателя каждого типа должен бы ть неотрицательным.Соответствующие ограничения — так называемые условия участия или условия индивидуальной рациональности — таковы :

Если 4h−H < 0,то покупатель с высокой оценкой просто пройдет мимо и не ста нет участвовать в аукционе.

Математическое ожидание суммы,которую заплатит покупате ль,есть (1 − p)H + pL. Так как покупателей двое,целевая функция продавца имеет следу ющий вид:

Это позволяет нам формально описать задачу:максимизирова ть(3.96)при ограничениях

(3.93), (3.94),и(3.95).

На первый взгляд это — довольно трудная задача линейного программирования.Однако ее можно существенно облегчить.Обратим внимание на ограниче ния(3.95).Очевидно,что одно из них должно удовлетворяться со знаком равенства.Предпол ожим обратное.Допустим,что H, L, h, l максимизируют(3.96),причем 4h − H > 0 и 3l − L > 0.Возьмем ϵ < min{4h − H, 3l − L}.Возьмем H′ = H + ϵ, L′ = L + ϵ.Мы видим,что ни ограничения(3.94),ни ограничения

как равенство.Действительно,мы имеем 3(h − l) ≤ H − L ≤ 4(h − l).Если оба неравенства выполняются строго,то можно увеличить выигрыш(увеличив H либо L,в зависимости от того, какое из неравенств(3.95)выполняется со знаком равенства ).

Действительно,в обратном случае мы имеем противоречие: 4h − H = 0 ≥ 4l − L ≥ 3l − L > 0. Интуитивно это понятно:ограничение совместимости стимул ов должно жестко выполняться

подставив L = 3l и H = 4h − l в (3.96).

l

(1 − p)h + (p − 14 )l = G (p > 14 )

(1 − p)h + (p − 14 )l = G (p < 14 )

S

n

(3.93).Если линейная функция максимизируется на многоуго льнике,то решения всегда будут лежать в вершинах этого многоугольника.В нашем случае,воз можно два решения.

достижим при продаже дома по цене Q = 4.

Мы получили так называемое второе наилучшее решение задачи аукционера.Выигрыш акционера максимизируется,учитывая тот факт,что оценки про даваемого товара покупателями остаются частной информацией,и ни один из покупателей не мо жет быть принужден к участию в аукционе.Выигрыш в первом наилучшем случае,когда товар всегда продается покупателю с наибольшей оценкой,по максимальной цене,составляет F = 4 − p2.На рисунке3.3показаны выигрыши в первом и втором наилучшем случае.

Как мы видим,разница в выигрышах максимальна когда вероятн ость p равна 12 ,то есть когда велика неопределенность относительно типа покупателя.