chapter 4

Литература

1.Бакулев П.А., Степин В.М. Методы и устройства селекции движущихся целей. – М.: Радио и связь, 1986. – 288 с.

2.Маpпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. – М.:

Мир, 1990. – 584 с.

УДК 621.396.96

Анализ алгоритмов оценки связности марковского процесса в задаче подавления узкополосных помех

Кошелев В.И., Холопов И.С.

Рязанский государственный радиотехнический университет 390005, г. Рязань, ул. Гагарина, д. 59/1,

E-mail: rts_nil@rgrta.ryazan.ru

Рассмотрен алгоритм оценивания степени связности коррелированных помех, описываемых марковскими процессами. Методом имитационного моделирования выполнено сравнение эффективности оценивания порядка марковского процесса по критерию Акаике и структуре обратной корреляционной матрицы. Результаты оценки связности могут быть использованы для адаптивного выбора порядка режекторных фильтров подавления пассивных помех.

Введение. Первым этапом решения задач оценивания случайных процессов является разработка и построение математических моделей сигналов и помех. В системах связи, радиолокации и радионавигации в качестве математических моделей для описания сигналов и помех широко используются марковские модели (цепи)

272 “Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

[1]. Простой марковской цепью m-го порядка связности называется дискретная последовательность X, для которой вероятность значения x(tk) в k-ый момент времени зависит только от m предшествующих значений x(tk-1), x(tk-2),…, x(tk-m) и

не зависит от всех остальных значений x(tk-(m+1)), x(tk-(m+2)),… [2].

Знание порядка связности мешающих воздействий, описываемых марковскими цепями, дает вычислительные преимущества при обнаружении полезного сигнала на фоне таких помех. Если пассивные помехи описываются марковскими моделями известной связности, то возможно уменьшение (более чем втрое) объема обучающей выборки за счет алгоритмов рекуррентной оценки их симметричных корреляционных матриц (КМ) [3]. Как показано в [4], оптимальное выделение сигнала на фоне коррелированной марковской помехи с априорно известной связностью m осуществляется нерекурсивным фильтром m-го порядка, и дальнейшее увеличение порядка нецелесообразно. В то же время, в известной литературе решению задач оценивания порядка марковской цепи уделяется недостаточно внимания.

Целью работы является синтез структуры измерителя связности помех, описываемых марковскими процессами, и исследование его эффективности.

Методы оценивания порядка связности. Для оценивания структурных па-

раметров марковской цепи наиболее часто используются методы, основанные на вычислении информационного критерия Акаике (ИКА). Согласно ИКА, порядок модели определяется посредством минимизации выражения [5]:

где cˆX (m) = arg max logf (X m, c(m)) – максимально правдоподобные оценки ко-

c(m) Rm

эффициентов m-связной марковской модели, полученные по единственной реализации X длиной N. Статистика (1) носит название информационного критерия Акаике. Оценивание структурного параметра m состоит в выборе

в которой cm – вектор коэффициентов марковской модели, 0m – m-мерный вектор-

ˆ

столбец, компоненты которого нулевые, R – оценочная КМ марковского процесса, полученная по X.

Хотя оценка по ИКА не является состоятельной, однако, как показано в [7], ее применение для оценивания порядка авторегрессии и числа состояний марковской цепи дает удовлетворительные результаты при вариации порядка модели m

“Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11 273

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

на интервале от 1 до N/3…N/2. При этом вероятность ошибочного выбора mˆ выше «истинного» значения m* быстро падает с ростом ( mˆ –m*), а вероятность выбора mˆ <m* в асимптотике равна нулю [5]. Однако, как показывают расчеты, ИКА не позволяет определить степень связности с вероятностью правильного оценивания выше 0,99. Достичь более высоких значений вероятности правильного определения связности позволяет метод, основанный на анализе структурных свойств КМ марковских процессов.

Синтез алгоритма оценки связности. Известно, что обратная корреляцион-

ная матрица (ОКМ) m-связного марковского процесса W = R-1 имеет ленточнодиагональную структуру, то есть ее элементы w(j, k) = 0 для любых j − k >m. Та-

ким образом, анализируя диагональные элементы ОКМ марковского процесса, можно оценить порядок его связности. Для оценочной ОКМ элементы w(j, k),

j − k >m, в зависимости от алгоритмов оценивания и обращения матриц, прини-

мают близкие, но не тождественно равные, нулю значения. Поэтому в качестве критерия для оценки порядка связности предлагается использовать средний вес

элементов на l-х диагоналях. Рассмотрим случай нормального стационарного случайного процесса, КМ которого является тёплицевой и эрмитовой. Это позволяет при вычислении Trl анализировать в два раза меньшее количество элементов КМ, например, только верхние (нижние) диагонали с последующим вычислением отношений Trl/Trl+1. Отношение Trm/Trm+1 m-связного процесса значительно (более чем на порядок) превосходит отношения Trm-1/Trm и Trm+1/Trm+2. Это свойство положено в основу алгоритма оценивания степени связности по структуре обратной матрицы, включающего следующие этапы:

диагонали ОКМ m-связного марковского процесса являются симметричными относительно центрального элемента диагонали и принимают (m+1) различных значений. В связи с этим порядок обратной матрицы p для передачи особенностей ее структуры должен быть не менее (2mmax+1), где mmax – максимальное ожидаемое значение степени связности. Поскольку дальнейшее увеличение p в силу свойств симметрии элементов обратной матрицы нецелесообразно, то выбирается p = (2mmax+1).

2.Подсчет признаков Trl и вычисление отношений Trl+1/Trl, l = 0, 1, …, p–1.

3.Последовательное сравнение отношений Trl+1/Trl с некоторым порогом ξ. Значение l, при котором выполняется Trl+1/Trl < ξ, принимается за оценку порядка связности: mˆ = l. Если условие Trl+1/Trl не выполняется при l = 0, 1, …, p–1, то

принимается решение mˆ →∞.

Обобщенная структурная схема измерителя m включает в себя блок оценки ОКМ, вычислители сумм Trl, делители, пороговые устройства и логический эле-

274 “Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

мент ИЛИ-НЕ (рис. 1). Решение mˆ = 0 соответствует действию некоррелированного белого гауссовского шума (БГШ).

Анализ алгоритма оценки связности по структуре ОКМ. Известно, что КМ узкополосных случайных процессов имеют медленно убывающие коэффициенты корреляции и являются плохо обусловленными. Скорость изменения элементов КМ принято характеризовать параметром относительной ширины спектра флуктуаций ∆fT (чем меньше ∆fT, тем сильнее корреляция процесса и больше число обусловленности его КМ). В задаче оценки связности узкополосных помех процесс, поступающий на вход измерителя, представляет аддитивную смесь коррелированной помехи и некоррелированного БГШ приемника. КМ суммарного процесса имеет вид

R = (Rп+λI)/(1+λ),

где Rп – КМ помехи, I – единичная КМ шума приемника, λ – отношение шумпомеха по мощности. Наличие БГШ в ряде случаев улучшает число обусловленности КМ R, однако искажает элементы ОКМ. Поэтому величина порога ξ для разделения процессов разной связности при фиксированном значении параметра ∆fT зависит от отношения шум-помеха λ. Графики соответствующих зависимостей представлены на рис. 2.

Поскольку получение аналитических выражений для условных плотностей

вероятности w(Trl+1/Trl m, ∆fT, λ, N), l = 0, 1, …, m, является вычислительно трудоемкой задачей, то сложно осуществить выбор значения ξ, фиксирующий суммарную вероятность ошибочных решений о порядке связности. Из семейства приведенных на рис. 2 зависимостей видно, что при ξ < 0,05 вероятность перепутывания процессов с различной связностью мала (зависимости ξ(λ) носят линейный характер и не пересекаются), однако при этом уменьшается максимально допустимое для оценки mˆ отношение шум-помеха λ. Необходимо также учитывать, что оценочные ОКМ, полученные по выборкам конечного объема, в отличие от истинных даже при отсутствии БГШ имеют ненулевые элементы на диагоналях l > m, поэтому для них выбор ξ < 0,01 приводит к ошибочному принятию решения mˆ →∞ с вероятностью выше 0,1. При ξ > 0,05 вероятность перепутывания процессов конечной связности возрастает, однако распознавание возможно при больших λ.

Например, при выборе ξ = 0,05 максимально допустимое для оценки порядка связности отношение шум-помеха приблизительно составит λmax(m) < -20m дБ. При больших значениях λ шум искажает структуру ОКМ настолько, что рассматриваемый метод неприменим.

“Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11 275

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

Рис. 1.

Процессы с m > (3…4) целесообразно условно считать бесконечносвязными [9]. Это связано как со слабой зависимостью коэффициента подавления помех связности m* при порядке фильтра P > m*, так и с увеличением объема вычислений. Графики зависимости отношения Trl+1/Trl для коррелированного случайного нормального случайного процесса с m→∞ показаны на рис. 3. Из рисунка видно, что существуют λ, при которых для порога ξ > 0,05 возможны аномальные ошибки, состоящие в принятии решения о конечном mˆ в ситуации m→∞. Вероятность таких ошибок возрастает при малых значениях ∆fT, так как при одинаковом λ СПМ таких помех на относительных частотах f > ∆fT искажается сильнее. С уменьшением λ вероятность аномальных ошибок стремится к нулю (линейные участки на рис. 3).

Рис. 2. Рис. 3.

276 “Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

Результаты модельного эксперимента. Для имитации m-связных марков-

ских процессов использован формирующий авторегрессионный фильтр порядка

альный коэффициент, и m = 0 при m < v.

v

Численные результаты получены при усреднении оценок по 10000 статистически независимых реализаций длиной N при отношении шум-помеха λ = -60 дБ. С учетом зависимостей рис. 2 при λ = -60 дБ возможна оценка связности марковских помех с m < 3. Вероятности D правильной оценки степени связности процессов с m = 1 и 2 при использовании ИКА и метода, основанного на анализе структуры ОКМ, показаны на рис. 4 и 5 соответственно. Из рисунков видно, что алгоритм оценки связности по структуре ОКМ для обеспечения вероятности правильного оценивания D, сравнимой с ИКА, требует приблизительно в 6…10 раз большей длины выборки N. Для повышения вероятности правильной оценки связности можно увеличить порог принятия решений ξ (пунктирные линии на рис. 5). Однако при этом возрастают вероятности ошибочного принятия решений mˆ < m* для m*≥ 2. Основным достоинством алгоритма оценки связности по структуре ОКМ является его состоятельность, так как при N→∞ оценка mˆ сходится с вероятностью D = 1 к истинному значению m*. ИКА при этом обеспечивает вероятность правильного оценивания D = 0,97…0,99.

Рис. 4. Рис. 5.

Оценим вычислительную эффективность рассмотренных алгоритмов оценки связности. Для получения оценочной ОКМ можно использовать два подхода:

“Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11 277

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

оценку КМ и ее последующее обращение либо рекуррентный алгоритм непосред-

мита. Количество элементарных операций умножения и сложения для обращения оценочной КМ размерности n×n составляет (4n2+n3/3+2n2) ЭО. Для непосредственной оценки ОКМ по формуле (4) необходимо (2n3+5n2–2n) ЭО. Требуемый объем вычислений приведен в таблице 1. Из численных результатов следует, что уже для ОКМ размерности 3×3 и выше последовательное выполнение операций оценки КМ и обращения является более предпочтительным.

Таблица 1. Вычислительные затраты для оценки ОКМ

нов разложения степенного ряда для представления логарифма в (3)); для анализа структуры ОКМ – [(2M+1)3/3+2(2M+1)] ЭО и M операций деления. Для оценивания автокорреляционной последовательности необходимо приблизительно 4MN ЭО и M операций деления. Вычислительные затраты для различных значений степени связности (с учетом количества операций, отводимых на оценку КМ) приведены в таблице 2. Полагается, что для вычисления логарифма длина степенного ряда h = 3, а длина входной выборки N = 50. Как видно из приведенных численных значений, при mmax= M = 2…4 вычислительные затраты на реализацию алгоритмов оценки связности приблизительно одинаковы.

Таблица 2. Вычислительные затраты алгоритмов оценки связности

Для исследования эффективности выбора порядка режекторного фильтра (РФ) в соответствии с результатами оценки степени связности коррелированной помехи было проведено сравнение обнаружителя, порядок РФ которого выбирается по результатам оценивания степени связности коррелированной помехи, с обнаружителем, содержащим оптимальный РФ фиксированного порядка P. Век-

278 “Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

тор весовых коэффициентов РФ определяется первым столбцом ОКМ помехи. Поскольку значения параметров ∆fT и λ пассивных помех могут лежать в пределах 0,02…0,2 и -30 дБ…-80 дБ соответственно, а априорные сведения о них на приемной стороне недоступны, выбран порядок РФ P = 4, обеспечивающий коэффициент подавления помех до 80 дБ. Сравнение осуществлялось методом имитационного моделирования при следующих параметрах: связность коррелированной помехи m* = 1, относительная ширина спектра помехи и сигнала соответственно ∆fTп = 0,1 и ∆fTс=0,02, доплеровское изменение фазы за период следования импульсов для помехи и сигнала соответственно ϕп = 0 и ϕс = π, отношение шумпомеха λ = -60 дБ, вероятность ложной тревоги F = 10-4. Моделирование проводилось для пачек длиной N = 8…32. Вероятность правильного оценивания mˆ = 1 по ИКА при таких объемах пачки лежит в диапазоне 0,58…0,83; ошибочная оценка дает mˆ = 2, т.е. только на единицу уменьшает число отсчетов, отводимых на когерентное накопление. Выигрыш в отношении сигнал-(помеха+шум) для обнаружителя с оценкой степени связности помехи при указанных выше параметрах составил: при наличии коррелированной помехи от 0,05 дБ до 0,86 дБ; при отсутствии помехи – от 0,25 дБ до 2,17 дБ.

Выводы. Показано, что анализ структуры ОКМ позволяет оценивать степень связности пассивных помех m. Проведено сравнение алгоритма оценивания, основанного на анализе структуры ОКМ, с алгоритмом, основанным на вычислении ИКА. Показано, что оценка связности по алгоритму, основанному на анализе структуры ОКМ, является состоятельной и при большом объеме контрольной выборки (N > 103) обеспечивает большую достоверность принимаемых решений, чем оценка по ИКА. На выборках длиной N < 100 предпочтительнее использовать ИКА, поскольку при его использовании вероятность правильной оценки m в 2…4 раза выше, чем у алгоритма, использующего анализ ОКМ. Поэтому в наземных РЛС с режекцией помех, работающих в условиях ограниченного импульсного объема, для практической реализации устройств оценки связности следует использовать ИКА. Результаты оценивания позволяют обосновать выбор порядка режекторного фильтра подавления пассивных помех и обоснованно перераспределять импульсный объем, отводимый на режекцию и когерентное накопление.

Литература

1.Марковская теория оценивания в радиотехнике / под ред. М.С. Ярлыкова. – М.: Радио-

техника, 2004. – 504 с.

2.ЗаездныйА.М. Основырасчетовпостатистическойрадиотехнике. – М.: Связь, 1969. – 448 с.

3.Кошевой В.М. Расчет эффективности нормировки с учетом структурных свойств корреляционных матриц // Изв. вузов. Радиоэлектроника. – 1987. – №4. – С. 69-71.

4.Бакут П.А., Большаков И.А., Герасимов Б.М. и др. Вопросы статистической теории ра-

диолокации / под ред. Г.П. Тартаковского. Т. 1. – М.: Сов. радио, 1963. – 424 с.

5.Моттль В.В., Мучник И.Б. Скрытые марковские модели в структурном анализе сигна-

лов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. – 352 с.

6.Kay S.M. Modern Spectral Estimation. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1987.

“Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11 279

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

7.Shibata R. Selection of the Order of an Autoregressive Model by Akaike's Information Criterion // Biometrica. – 1976. – V. 63. – P. 117-126.

8.Теоретические основы радиолокации / под ред. В.Е. Дулевича. – М.: Сов. радио, 1978. –

607с.

9.Румянцев В.П. Синтез алгоритмов распознавания радиосигналов, представленных кодовыми комбинациями // Изв. вузов. Радиоэлектроника. – 1989. – № 4. – С. 63-69.

10.Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. – М.: Радио и связь, 1981. – 416 с.

УДК 621.396

Характеристики обнаружения цели при радиолокации “на просвет”

Мольков А.В.

Федеральное агентство по образованию Муромский институт (филиал) ГОУ ВПО «Владимирский государственный университет» 602264, г. Муром, ул. Орловская, 23,

E-mail: avmolkov@yandex.ru

Определены характеристики обнаружения цели с учетом параметров системы бистатической РЛС, параметров цели, а также с учетом особенностей радиолокации “на просвет”.

В бистатических радиолокационных системах (РЛС) с обнаружением "на просвет" обнаружение и определение координат цели производится в пределах узкой зоны, расположенной вдоль базы системы, соединяющей приемную и передающую позиции системы [1].

Из теории электромагнитного поля известно, что если на пути распространения волны поместить абсолютно черное тело конечных, но больших по сравнению с длиной волны размеров, то позади тела появится поле рассеяния («теневое» поле). Это поле возникнет в результате возмущения первичного поля («затенения» части фронта падающей волны). Существенно, что поле рассеяния абсолютно черного тела не зависит от формы поверхности тела и полностью определяется его теневым контуром, т. е. границей освещенной части поверхности [2]. Поляризации теневого поля и первичной волны совпадают. У реальной цели помимо теневого возникает и «обычное» собственное поле рассеяния, которое возбуждается токами, наведенными на поверхности цели падающей волной. Резкое увеличение бистатической эффективной площади рассеивания (ЭПР) σб целей

при рассеянии вперед позволяет в определенных условиях снизить энергетический потенциал РЛС. Особенно важно, что «теневую» ЭПР нельзя уменьшить путем применения радиопоглощающих покрытий, которые эффективно используются для снижения однопозиционной ЭПР самолетов и других целей. Целью данной работы является исследование характеристик обнаружения цели при радиолокации “на просвет”.

280 “Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11

Методы и устройства обработки радиолокационной информации

С учетом синфазности «излучающей» апертуры At ЭПР σб (r) для удаленной точки приема при бистатических углах β , близких к 180°, определяется выражением [1]:

орт, направленный на приемную позицию. Начало координат находится в условном центре апертуры At .

180° должно быть не больше, чем полуширина главного лепестка ДН «излучающей» апертуры At . Как известно, эта ширина по уровню половинной мощности

направляющие косинусы орта r относительно тех же осей. Предполагается, что падающая на цель волна распространяется в положительном направлении оси Z . Если приемная позиция располагается в плоскости XZ или YZ , когда в (3) соот-

“Методы и устройства передачи и обработки информации”, 2009 г. Вып. 11 281