физика.методичка

Е3 = 9 10

9 (1 − 0,5)10−9

В/м = 200 В/м.

(0,15)2

Задача

2.4

На тонком стержне длиной l

равномерно распределен заряд с

У

линейной плотностью 10 нКл/м. Найти потенциал, созданный рас-

пределенным зарядом в точке, расположенной на оси стержня и

удаленной от его ближайшего конца на расстояние L.

Т

Дано:

Н

a = l;

Б

τ =10 нКл =

=1 10−8 Кл.

ϕ = ?

Рис. 2.4

выделяют малый участ к длинРешенией dx. Тогда на этом участке будет

р

распределенным за-

В задаче рассматривается поле, создаваемоей

рядом. В этом случае поступают следующим образом. На стержне

формуле

т

сосредоточен заряд dq

= τdx , к то ый можно считать точечным. По-

тенциал dϕ, создаваемый э им т чечным зарядом в точке А (рис. 2.4),

и

0

0

можно определ ь по

гласно

dϕ =

dq

=

τdx

.

4πε x

4πε x

С

зпринципу суперпозиции электрических полей, потен-

циал электрического поля, создаваемого заряженным стержнем в

Р

т. A, найдем интегрированием этого выражения:

п

2l

τdx

τ

2l

dx

τ

2l

τ

е

ϕ = ∫l

∫l

lnx

=

=

l

=

ln2.

4πε0 x

4πε0

x

4πε0

4πε0

71

φ= 9 109 10−8 0,693 В= 62,4 В.

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

72

Задача

2.5

Электрическое поле создано длинным цилиндром, равномерно за-

ряженным с линейной плотностью 20 нКл/м. Определить разность по-

тенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии 0,5 см

и 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части. Радиус ци-

линдра – 1 см.

У

Дано:

R =1 см = 0,01 м;

НТ

τ = 20 нКл/м = 2 10−8 Кл/м;

a1 = 0,5 см = 0,005 м;

a2 = 2 см = 0,02 м.

Б

∆φ=?

й

Решение

записат

Для определения разности потенц алов воспользуемся соотно-

р

зменением потенциала:

шением между напряженностью поля

E = −градφ. Для поля с осевой с мметр ей, каким является поле

о

ь в виде

цилиндра, это соотношение можно

т

dϕ

и

E = −

dr

; dϕ = −Edr.

r

Интегр руя э о выражение, найдем разность потенциалов двух

точек, отстоящ х на расстояние r1 и r2 от оси цилиндра:

о

п

з

ϕ2 − ϕ1 = −∫2

Edr.

r1

Р

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней час-

ти, для выражения напряженности поля можно воспользоваться

формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным

ецилиндром:

E = τ/(2πε0r).

73

Подставив выражение Е в предыдущую формулу, получим

τ

r2

dr

τ

r

φ2 −φ1 = −

∫

r

= −

ln

2

,

2πε

0

2πε

0

r

r

1

1

У

или

ϕ −ϕ

=

τ

ln

r2

.

Т

1

2

2πε0 r1

Н

Произведем вычисления, учитывая, что r1 = R + a1; r2 = R + a2:

φ1 −φ2 = 2 10−8 1,8 1010ln (3/1,5) =

Б

250 B.

Задача

2.6

и

Определить ускоряющую разность потенциалов, которую дол-

жен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью

106 м/с, чтобы скорость его возросла в 2 разай.

Дано:

о

т

р

v1 =106 м/c;

n = v2 / v1 =

2.

и

∆ϕ = ?

з

Решение

о

Уск ряющую ра ность потенциалов можно найти, вычислив ра-

п

боту А

сил электрического поля. Эта работа определяется произве-

дением

элементарного заряда e на разность потенциалов ∆ϕ:

Р

A = e∆ϕ.

A =

mv2

−

mv2

,

2

1

2

2

где m – масса электрона;

v1, v2 – его начальная и конечная скорости.

У

Приравняв правые части равенств, получим

Т

mv2

mv2

mv2n2

mv2

e∆ϕ =

2

−

1

=

1

−

1

.

2

2

2

2

Н

Отсюда – искомая разность потенциалов

Б

mv2

(n2 −1)

∆ϕ =

1

.

2e

Произведем вычисления:

и

9,1 10−31

р

й

∆φ =

2 1,6 10−19

(22 −

1)

B = 8,53 B.

о

т

Задача

2.7

Конденсатор емкос ью 3 мкФ был заряжен до разности потен-

циалов 40 В. После о ключения от источника тока конденсатор со-

з

единили

параллельно с другим незаряженным конденсатором емко-

о

стью 5 мкФ. Какая энергия израсходуется на образование искры в

м мент присединения второго конденсатора?

п

Дано:

−6

C = 3 мкФ = 3 10−6

Ф;

Р

1

C2 = 5 мкФ = 5

10

Ф;

еU1 = 40 B.

W = ?

75

Решение

Энергия, израсходованная на образование искры:

W ′ =W1 −W2 ,

(2.1)

У

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до присое-

динения к нему второго конденсатора;

W2 – энергия, которую имеет батарея, составленная из двух кон-

денсаторов.

Н

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W =

CU 2

,

Б

Т

(2.2)

2

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (2.1) энергии W1 и W2 по формуле (2.2) и

приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных

конденсаторов

равна сумме

емкостей отдельных конденсаторов,

получим

р

й

W ′ =

1

2

−

и

2

(2.3)

2

[C1U1

(C1

+C2 )U2 ],

т

C U

енциал

q

где U2 – разность по

в на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд послеоприсоединения второго конденсатора

з

остался прежн м, выраз м разность потенциалов U2 следующим

образом:

о

U2

=

=

1 1

.

(2.4)

п

C1 +C2

C1 +C2

Р

Подставив выражение U2 в (2.3), найдем

е W

′

C1U12

(C1 +C2 ) C12U12

C1C2U12

=

2

−

+C )2

=

.

2 (C

2 (C1 +C2 )

1

2

76

W

′

3 10−6 5 10−6

−3

= 2

(3 10−6 +5

10−6 ) 1600 Дж =

1,5 10

Дж.

Задача 2.8

Потенциометр сопротивлением 100 Ом подключен к батарее с

ЭДС 150 В и внутренним сопротивлением 50 Ом. Определить: 1) по-

казание вольтметра, соединенного с одной из клемм потенциометраУи

подвижным контактом, установленным посередине потенциометра

(сопротивление вольтметра 500 Ом); 2) разность потенциаловТмежду

теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Дано:

Н

Б

R =100 Oм;

й

ε =150 В;

r1 = 50 Oм;

и

r2 = 500 Oм.

U1 = ?

р

U2 = ?

Рис. 2.5

о

т

Решение

ан е вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 2.5),

и

определим по формуле

з

Пока

U1 = I1R1,

R1 – сопротивление параллельно соединенных вольтметра и по-

п

ловины потенциометра;

гдеI1 – суммарный ток в ветвях этого соединения, или ток в нераз-

Р

ветвленной части цепи.

77

Ток I1 найдем по закону Ома для полной цепи:

I1 = ε/(Re + r1) ,

(2.5)

где Re – сопротивление

внешней

цепи. Это сопротивление есть

У

сумма двух сопротивлений:

Т

R

= R

+ R .

e

(2.6)

2

1

Сопротивление

R1

найдем по формуле параллельного соедине-

ния проводников:

Б

1

=

1

+

2

,

Н

R

r

R