2.2 Разработка математических моделей
2.2.1 С точки зрения математический подхода “Задача – это модель и алгоритм ее применения в рамках некоторой математической теории” Для применения математических методов исследования требуется построить математическую модель задачи. Математическая модель задачи – это специальная логическая конструкция, целенаправленно описывающая в терминах математической теории объективный процесс или явление, лежащие в основе конкретной задачи. Процесс решения такой модели является своеобразным аналогом мыслительного процесса специалиста, принимающего решение.
Модель есть образ реального исследуемого объекта или явления, созданный при помощи определенного набора средств. Модели значительно облегчают понимание объектов (явлений), позволяют прогнозировать их поведение в интересующих нас условиях, применять унифицированные методы анализа. В модели концентрируются наиболее важные, с точки зрения рассматриваемой проблемы, признаки (свойства) изучаемого объекта (явления). Целью моделирования является создание достаточно точного, полного, лаконичного и удобного для восприятия и анализа описания.
Элементами математической модели являются переменные, параметры, связи (математические) и информация.
Общая квалификация математических моделей, как правило, производится по следующим признакам:
- поведению моделей во времени;
- видам входной информации,
- параметров, выражений, конструкций, составляющих математическую модель;
- структуре математической модели;
- типу используемого математического аппарата.
Согласно данной классификации математические модели бывают динамическими (время играет роль независимой переменной, и поведение системы меняется во времени); статическими (независящими от времени); квазистатическими или дискретно-событийными(поведение системы меняется от одного статического состояния к другому согласно внешним воздействиям). Если эти элементы модели достаточно точно установлены и поведение системы можно точно определить, то модель - детерминированная, в противном случае - стохастическая. Если информация и параметры являются непрерывными величинами, а математические связи устойчивы, то модель непрерывная, в противном случае - дискретная. Если параметры модели фиксированы и не изменяются в процессе моделирования согласно поведению объекта моделирования, то это модель с фиксированными параметрами, в противном случае - модель с изменяющимися во времени или в пространстве параметрами. Математическая модель может быть сложной, комплексной, иерархической, если можно найти элементарные подсистемы, составляющие её. Это очень важный вопрос, поскольку его решение позволяет значительно упростить моделирование, например, оперативное управление распределенными системами, особенно если модель можно представить в виде древовидной или сетевой структуры. По типу используемого математического аппарата будем говорить об аналитических, вероятностно-статистических и нечетких моделях.
Основные требования, предъявляемые к модели:
- адекватность (достоверность);
-полнота;
-неизбыточность;
- приемлемая трудоемкость.
Адекватность и полнота означают, что модель должна обладать всеми существенными (с точки зрения решаемой задачи) признаками объекта моделирования и с достаточной степенью точности не отличаться от него по этим признакам. Сюда же, в частности, относится проблема адекватности критерия оптимальности целям функционирования моделируемой системы. Относительно требования неизбыточности модель не должна быть «засорена» множеством мелких, второстепенных факторов, которые лишь усложняют математический анализ и делает результаты исследования трудно обозримыми. Приемлемая трудоемкость означает, что затраты на создание модели должны соответствовать установленным ограничениям на ресурсы и эффект от использования модели должен превышать затраты на ее построение. При этом при оценке издержек на моделирование следует учитывать затраты времени и усилий всех участников, задействованных как непосредственно в построении модели, так и сборе необходимой информации, расходы и время на обучение, стоимость обработки и хранения информации. Указанные требования к модели противоречивы. Например, с одной стороны, она должна быть достаточно полной, а с другой - достаточно простой и малозатратной. То есть создание математических моделей –это во многом творчество, требующее наличие соответствующих математических и прикладных знаний, опыта и квалификации.
2.2.2 Применительно к проблеме принятия решения можно говорить о модели ЗПР, модели среды принятия решения(описательной модели проблемной ситуации), модели процесса принятия решения, модели компьютерной системы принятия решения (системы поддержки принятия решений).
При определении модели конкретной ЗПР следует оценить ее относительно классификационных признаков, выделенных нами в рамках рассмотренной ранее системы классификации ЗПР и по результатам такой оценки определить модель ЗПР в виде кортежа соответствующих характеристик. Например, общая формальная модель ЗПР для индивидуального ЛПР может быть представлена в виде кортежа
<So, T, R, S, G, B, A, f, K, A* >;
а для группы ЛПР в виде кортежа
< So, T, R, S, G, B, A, К, F(f), L, A* >,
где So – проблемная ситуация; T –время для принятия решения; R – имеющиеся для принятия решения ресурсы; S = (S1, …, Sn) – множество допустимых ситуаций, определяющих предметную область и тем самым уточняющих проблемную ситуацию So; G=(G1,…,Gk) – множество целей, преследуемых при принятии решения; B=(B1,…,BL) – множество ограничений; A=(A1,…,Am) – множество альтернативных вариантов решения; f – функция предпочтения ЛПР; K – критерии выбора; F(f) – функция группового предпочтения; L – принцип согласования индивидуальных предпочтений для формирования группового предпочтения; A* – оптимальное решение.
Поясним наличие в модели критериев выбора K и функции предпочтения. Опыт показывает, что в терминах критериев выбора чаще всего не удается выразить всю гамму «пристрастий», «вкусов» и предпочтений конкретного ЛПР. С помощью множества частных критериев, как правило возникающих при рассмотрения реальных ЗПР, лишь намечаются определенные цели, которые нередко оказываются весьма противоречивыми. Эти цели одновременно, как правило, достигнуты быть не могут, и поэтому требуется определенная дополнительная информация для осуществления компромисса. Иначе говоря, если ограничиться лишь множеством возможных решений и векторным критерием, то ЗПР оказывается «недоопределенной». Эта «недоопределенность» сказывается затем в слабой логической обоснованности выбора эффективного решения на основе векторного критерия. Для того чтобы осуществить обоснованный выбор, следует помимо векторного критерия располагать какими-то дополнительными сведениями о предпочтениях ЛПР. С этой целью необходимо включить в многокритериальную задачу функцию, описывающую отношения существующих предпочтений.
Для
обозначения предпочтения решения А’
перед решением A”
часто используется запись А’
A”.Следует
отметить, что не всякие два возможных
решения А’ и A”
связаны соотношением А’
A”
либо соотношениемA”
А’.
Могут существовать такие пары решений,
что ЛПР не в состоянии отдать предпочтение
какому-то одному из них.На
практике способность ЛПР определить
отношение предпочтения для любой пары
допустимых альтернатив встречаются
крайне редко (например, из-за невозможности
абсолютно полно и точно определить
последствия принимаемых решений).
При определении отношения предпочтения следует обеспечить выполнение двух следующих условий:
-
отношение предпочтения является строгим
в том смысле, что ни для какого допустимого
решения
А’ невозможно
выполнение условия вида А’
A’
-
поскольку ни одно решение не может быть
лучше самого себя;
-
если А’
A”
и А”
A’’’,
то А’
A’’’(свойство
транзитивности).
Часто (например, при принятии решений в условиях управления иерархическими распределенными средами) возникает потребность в моделировании процесса принятия решения. Процесс принятия решений схематически представляется в виде так называемого дерева решений. Построение такого дерева базируются на декомпозиции процесса принятия решения - выделении самостоятельных функциональных подпроцессови более частных задач, а также установления взаимосвязи между ними, в результате чего общий процесс принятия решений представляется в виде решения последовательности взаимосвязанных иерархических локальных ЗПР. Основными принципами декомпозиции являются относительная самостоятельность каждого из подпроцессов (т.е. наличие конкретного объекта управления); наличие соответствующего набора функций и ЗПР с четко выраженными локальными целями принятия решения, согласующимися с общими целями принятия решения для системы в целом; оптимизация состава включенных в подпроцесс элементов. Этот вопрос будет рассмотрен позднее, при рассмотрении проблемы принятия решения в рамках проблемы оперативного менеджмента качества.
2.2.3 Основными этапами общего процесса моделирования являются:
1) анализ поставленной задачи;
2)анализ объекта моделирования и его среды с точки зрения поставленной задачи;
3) построение(синтез) модели;
4) проверка построенной модели на достоверность;
5) применение модели;
6)обновление модели(по мере необходимости).
1) Перед построении модели сначала необходимо определить главное назначением модели - какие выходные данные нужно получить, используя модель, чтобы помочь ЛПР разрешить стоящую перед ним проблему.
Затем следует определить, какая информация требуется для построения модели и какие нужны сведения на выходе. Кроме того, следует оценить расходы на создание модели и реакцию людей, которые должны будут ее использовать. Модель, затраты на построение и использование которой превышает получаемые от нее выгоды, никому не нужна, а слишком сложная модель может быть не понятна пользователям и не будет применяться на практике.
2) В основу модели кладется описание объекта, формируемое (в соответствии с решаемой задачи и доступной информации) на основе выделения составляющих объект элементов, выявления связи между ними, определения существенные для рассматриваемой задачи характеристик и параметров. На этом же этапе формируются, подлежащие последующей проверке гипотезы о закономерностях, присущих изучаемому объекту, о характере влияния на объект изменения тех или иных параметров и связей между элементами, изучаются взаимосвязи, определяющие возможные последствия принимаемых решений, а также устраняется нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими, не допускающими различных толкований высказываниями
3) Сущность математического моделирования состоит в подборе математических схем, адекватно описывающих процессы, происходящие в действительности.
При построении математической модели явление каким-то образом упрощается, схематизируется; из бесчисленного множества факторов, влияющих на явление, выделяется сравнительно небольшое количество важнейших, и полученная схема описывается с помощью того или другого математического аппарата. Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из поставленной задачи, доступных исходных данных, требуемой точности решения, личных предпочтений аналитика, создающего модель.
При построении математической модели выполняются следующие виды деятельности:
–анализ всех элементов системы, влияющих на эффективность принимаемых решений и оценка степени влияния каждого из них на функционирование организации при различных вариантах решений;
– исключение из перечня элементов, не влияющих (или несущественно влияющих)на выбор вариантов решений;
– предварительная группировка некоторых взаимосвязанных элементов для упрощения модели (например, расходы по аренде, содержанию помещений и другие объединить в условно-постоянные расходы);
– определение перечня элементов после уточнения их постоянного или переменного характера влияния на систему (в составе переменных элементов устанавливаются, в свою очередь, подэлементы системы, влияющие на их величину; например, транспортные расходы зависят от объема перемещенных товаров, расстояния, стоимости горючего и др.);
– закрепление за каждым подэлементом определенного символа и составление соответствующих математических конструкций.
Математическая модель обычно строится с ориентацией на предполагаемый метод решения задачи. С другой стороны, в процессе проведения математического исследования или интерпретации решения может понадобиться уточнить или даже существенно изменить математическую модель.
Как уже отмечалось выше, математические модели, применяемые в настоящее время в задачах принятия решений, можно грубо подразделить на три класса: аналитические, статистические и основанные на нечеткой формализации.
Для первых характерно установление формульных, аналитических зависимостей между параметрами задачи, записанных в любом виде: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения с частными производными и т. д. Обычно с помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать какие-то сугубо технические процессы, в основу которых положены известные физические законы.
Использование статистических моделей предполагает наличие соответствующих вероятностно-статистических данных и закономерностей.
Использование моделей, основанных на нечеткой формализации, оправдано в случае отсутствия данных, позволяющих использовать два первых типа моделей.
Построенная модель должна быть подвергнута соответствующему анализу с целью обоснования. Наиболее важный момент - доказательство существования или получения решения в рамках сформулированной модели. Если это условие не выполняется, то следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.
4) На практике почти всегда необходима проверка модели на достоверность. Во-первых, надо определить степень соответствия модели реальному явлению, установить, все ли существенные факторы реальной ситуации учтены в модели. Во-вторых, следует понять, насколько моделирование действительно помогает решить проблему. Желательно проверить модель на ситуации, имевшей место в прошлом.
Успешный результат сравнения (оценки) исследуемого объекта с моделью свидетельствует о достаточной степени изученности объекта, о правильности принципов, положенных в основу моделирования, и о том, что созданная модель работоспособна.
Часто первые результаты моделирования не удовлетворяют предъявленным требованиям. Это требует проведения дополнительных исследовании и соответствующего изменения модели.
5) Относительно применения модели следует учитывать, что основная причина недостаточно широкого использования моделей заключается в том, что руководители, для которых они создаются, часто не вполне понимают получаемые результаты и потому боятся их применять. Причиной является недостаток у них знаний в этой области. Для борьбы с этим системным аналитикам следует уделять значительно больше времени ознакомлению руководителей с возможностями и методикой использования моделей.
6) Обновление модели производится, если руководству потребуются выходные данные вболее удобной форме или дополнительные данные. Обновление модели может также потребоваться в случае изменения целей организации и соответствующих имкритериев принятия решений, либо при получении дополнительной информации, позволяющей уточнить, усовершенствовать текущую модель. Последняя ситуация связана с проблемой недостаточности, неточности априорной информации используемой для построения модели. Если внешняя среда подвижна, информацию о ней следует обновлять быстро, но на это может не хватать времени или это может оказаться слишком дорого. Информационные ограничения являются основной причиной недостоверности предпосылок, положенных в основу построения модели. Нередко возникают ситуации, когда невозможно получить информацию по всем важным факторам и использовать ее в модели. Следует соблюдать осторожность в отношении использования предположений, которые не могут быть точно оценены и объективно проверены (например, не поддается проверке предположение о росте продаж в будущем году на определенную сумму).
2.2.4 При построении модели следует учитывать следующие рекомендации:
- обычно сначала определяется основная более грубая конструкция (тип, общая схема) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей);
-следует избегать ненужной детализации модели, так как это излишне усложняет модель. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей, учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта);
- одна из важных особенностей математических моделей -потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой задачей, необходимо предварительно проанализировать возможность использования для ее решения уже известных моделей (или отдельных их составляющих);
- необходимо стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта.
Положительными характеристиками моделирования также являются:
– применение более совершенных проверенных практикой технологий принятия решения;
– высокая степень обоснованности решений;
– сокращение сроков принятия решений;
– возможность выполнения обратной операции.
Особенность обратной операции состоит в том, что, имея модель и исходные данные, можно не только принять решение, но и сориентироваться на требуемый результат и определить, какие исходные данные для этого необходимы. Так, например, ориентируясь на получение прибыли в объеме N, можно установить и количественные значения других показателей, прямо и косвенно влияющих на достижение планируемого результата (получение новых знаний о ситуации (объекте), отсутствующих ранее; формулировку выводов, которые невозможно получить при самых содержательных логических рассуждениях).