Общая характеристика методов математического программирования

Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Такими методами являются методы линейного, нелинейного дискретного, стохастического и динамического программирования.

Если функции эффективности и ограничения линейны, а операция одноэтапная, то можно применить один из методов линейного программирования. Данные методы используют одну и ту же идею: задается некоторое неоптимальное решение (начальный план), а затем оптимальное решение находится путем изменения начального плана в направлении приближения к оптимальному. Линейное программирование является в настоящее время наиболее разработанной ветвью математического программирования.

При нелинейном характере хотя бы одного компонента математической модели (целевой функции или ограничений) применяют методы нелинейного программирования. Общих методов этого типа пока не существует, за исключением случая квадратичной зависимости между критерием и параметрами при линейных ограничениях.

Некоторые математические модели могут содержать условие дискретности значений параметров (например, по своей физической сущности параметры должны быть только целыми числами). Решение таких задач осуществляется с применением методов дискретного (целочисленного) программирования.

Отыскание решений в операциях, которые носят многоэтапный характер, проводится с применением метода динамического программирования. Его сущность состоит в том, что оптимальное решение отыскивается не за все этапы одновременно, а последовательно, от этапа к этапу. Идея оптимизации управления на каждом отдельном этапе использовалась давно, но без учета будущего. При динамическом программировании оптимизация каждого этапа проводится с учетом всех последующих этапов.

Если операция носит случайный характер и приходится иметь дело со случайными величинами и функциями, то для ее исследования используются методы стохастического программирования.

Методы решения задач линейного программирования

Эти методы используются для решения однокритериальных задач оптимизации, целевая функция которых отвечает условиям детерминированности и линейности, а на значения переменных накладываются линейные ограничения. Линейность предполагает наличие двух свойств: пропорциональности и аддитивности. Пропорциональность означает, что вклад каждой

переменной в целевую функцию прямо пропорционален величине этой переменной, а аддитивность заключается в представлении целевой функции в виде суммы вкладов от различных переменных.

К особенностям использования данных методов относится то, что оптимальному решению всегда соответствует одна из экстремальных точек пространства решений (это является следствием такого важного свойства задач линейного программирования, как выпуклость пространства решений).

Поэтому вычислительная схема представляет собой упорядоченный процесс перехода от исходной экстремальной точки к некоторой смежной экстремальной точке, продолжающийся до тех пор, пока существуют точки с лучшим (большим или меньшим) значением целевой функции.

Основным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод и его модификации, ориентированные на особенности решаемых задач (см. [6.9; 6.55; 6.57]).