Синтез систем управления с помощью многокритериальной оптимизации

Методы многокритериальной оптимизации используются в задачах многоцелевого характера, когда предназначение системы может быть реализовано лишь при достижении нескольких целей.

Многокритериальные задачи могут решаться как в условиях определенности, так и в условиях риска и неопределенности. Подобные задачи возникают в процессе реорганизации общественных систем управления, проектирования и эксплуатации автоматизированных и автономных технических систем управления, управления отраслями промышленности, войсками, предприятиями, организации научных исследований и т.п. (см. [6.63]).

В многокритериальных задачах, как правило, большинство требований к улучшению значений используемых показателей противоречат друг другу- В таком случае говорят об антагонизме целей, и основной задачей становится поиск правила, удовлетворяющего всем целям с помощью компромиссного решения.

Многокритериальная задача выработки решений может быть поставлена следующим образом.

Определено множество показателей эффективности, значения которых могут быть заданы в виде вектора q = (q_{, q₂, ..., q_n) или соответствующей точки в n-мерном пространстве. Определены зависимости q_i (, v), i = 1, 2, ..., п каждого i-го показателя от параметров   M и условий v  N выбора. Задана модель предпочтений показателей П_д. Требуется найти такие значения параметров выбора *, при которых значения показателей эффективности q (*, v) удовлетворяют заданной модели предпочтений П_д.

Все существующие методы многокритериальной оптимизации делятся на две группы [r]. К первой относятся методы, в которых количественно или качественно оценивается степень важности каждого показателя для достижения цели всей системы управления.

Это позволяет создавать некоторый обобщенный показатель и описывать критерий уже относительно него, т.е. осуществляется сведение многокритериальной задачи к однокритериальной, методы решения которой хорошо известны.

Во второй группе методов осуществляется поиск решения на всем пространстве критериев путем сужения области возможных решений. Из суженной области возможных решений субъективно выбирается одно.

Наиболее употребительными методами, относящимися к первой группе, являются методы свертывания показателей с помощью векторных коэффициентов. При качественной оценке степени важности целей используются лексикографические методы. Во второй группе наиболее известен метод Парето, заключающийся в исключении заведомо плохих вариантов решений (см. [6.39]).

6.7 Синтез систем управления методами математического программирования

¨ сущность и содержание математического программирования

¨ общая характеристика методов математического программирования

¨ методы решения задач линейного программирования

¨ методы решения задач нелинейного программирования

¨ методы решения задач дискретного (целочисленного) программирования

¨ методы динамического программирования

¨ методы стохастического программирования

Сущность и содержание математического программирования

Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). В упрощенной постановке задача оптимизации может быть сформулирована следующим образом.

Имеется набор параметров х₁, ..., х_п и функция F(x). Требуется определить такую совокупность параметров из множества X, для которой функция F(x) принимает наибольшее или наименьшее значение. Функция F(x) получила название целевой функции.

Методы решения задач такого типа в литературе именуются методами математического программирования.

Термин "программирование" не связан с составлением программ для ЭВМ, но обусловлен тем, что при решении такого рода задач математическими средствами составляется программа действий.

Независимо от конкретной предметной ориентации задачи, решаемые методами математического программирования, с формальной точки зрения сводятся к одной постановке.

При выполнении условий

необходимо найти совокупность параметров (план)

,

при котором функция (целевая функция)

принимает наибольшее или наименьшее значение.

Условия называютсяограничениями задачи. Дополнительно к условиям может быть задано требование целостности всех или нескольких переменных х_j.

Вектор X̅* называется оптимальным планом задачи или оптимальным решением, так как его нахождение связано с отыскиванием конкретных значений параметров управления.

При решении задач математического программирования широко используются свойства линейных уравнений и неравенств, различные понятия, связанные с максимумами и минимумами функций, гладкими функциями, выпуклыми множествами и др.