8.Лекция. Теория игр.
8.1 Основные понятия.
Теория игр - это математическая теория, исследующая конфликтные ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой. Стороны, участвующие в конфликте - игроки, а исход конфликта - выигрыш (проигрыш). Выигрыш или проигрыш может быть задан количественно.
Игра называется антагонистической или игрой с нулевой суммой, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, поэтому для полного «задания» игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока.
Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.
Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В тоже время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии.
Такие стратегии называются оптимальными.
При выборе оптимальной стратегии следует полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.
Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях (обозначается (αij)), называется платежной матрицей игры.
Величина α = max min aij называется нижней ценой игры.
i j
Величина β = min max aij называется верхней ценой игры.
j i
В некоторых задачах, приводящихся к игровым, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.п.). Эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой.
Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа и т.п.) действует случайно.
При решении задач, относящихся к теории игр, необходимо правильно классифицировать задачу, потому что методы, применяемые к антагонистическим играм кардинально отличаются от методов решения игр с природой.
8.2 Антагонистические игры.
Прежде всего, надо уметь находить верхнюю и нижнюю цены игры, т.к. достаточно много игр решается в чистых стратегиях.
Найти нижнюю и верхнюю цены игры для матрицы
|
Ai |
Bj |
αi α=max αi | ||
|
B1 |
B2 |
B3 | ||
|
A1 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
0.4 |
|
A2 |
1.1 |
0.7 |
0.9 |
0.7 |
|
A3 |
0.7 |
0.3 |
0.5 |
0.3 |
|
βJ β =minβJ |
1.1 |
0.7 |
0.9 |
|
Для этой матрицы видно, что α = β = 0,7 = (А2, В2).
Общее значение нижней и верхней цены игры α = β = ν называется чистой ценой игру. Седловой точке соответствует пара минимаксных стратегий, эти стратегии называются оптимальными, а их совокупность - решением игры.
Если седловой точки нет, то можно применить графический способ или составить модель и решить симплекс-методом.
Геометрический способ решения антагонистических игр
Геометрический способ решения игр с нулевой суммой применяется к играм, где хотя бы у одного игрока только две стратегии. Иногда возможно упростить игры, применяя следующие принципы:
1. Игрок А стремится увеличить свой выигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо дают ему меньшие суммы;
2. Игрок В стремится уменьшить свой проигрыш, поэтому он не будет использовать стратегии, которые заведомо отнимают большие суммы.
Р
ассмотрим
платежную матрицу
-
7
6
5
4
2
5
4
3
2
3
5
6
6
3
5
2
3
3
2
4
Упростим матрицу, вычеркивая заведомо невыгодные стратегии игроков.
Путем упрощения, ее можно свести к матрице (2 * 2)
-
ВJ АJ
В1
В2
A1
4
2
A2
3
5
р1 - вероятность применения игроком А стратегии A1;
р2 - вероятность применения игроком А стратегии A2.
Так как р1+ р2=1, то р2=1- р1. Тогда получим:
|
Чистые стратегии игрока В |
Ожидаемые выигрыши игрока А |
|
В1 |
4 р1+3 р2= (4-3)р1+3=р1+3 |
|
В2 |
2 р1+5 р2=(2-5)р1+5=-3р1+5 |
На оси Ох разместим точки р1=0 и р1=1, через которые проведем прямые, перпендикулярны оси Ох. Подставляя р1=0 и р1=1 в выражение р1+3, найдем значения, которые отложим на соответствующих перпендикулярных прямых. Соединив эти точки, получим прямую.
Аналогично рассмотрим выражение -3р1+5.
Оптимальная стратегия первого игрока найдется из равенства выражений
р1+3 и -3р1+5: р1= р2=0,5. SA = (0,5; 0; 0,5; 0), при этом цена игры равна 3,5.
Для второго игрока оптимальная стратегия ищется аналогично.
Если же игра не сводится путем упрощения к 2 x n или m x 2, то составляется математическая модель и задача решается симплекс-методом.