I

Задачи по объединенному курсу геометрии Часть I

6 октября 2014 г.

З.А. Скопец, В.М. Майоров, И.С. Герасимова, Г.Б. Кузнецова, Т.Л. Агафонова 1993

Предисловие

Прошло более десяти лет с момента выхода первого издания настоящего сборника задач, созданного сотрудниками кафедры геометрии ЯГПИ под руководством проф.З.А.Скопеца. Опыт работы со студентами показал высокое качество данного учебного пособия, о чем свидетельствуют также отзывы из ряда педвузов. Тематика задач сборника довольно тесно связана с содержанием школьного курса геометрии, что определяет высокую профессиональнопедагогическую направленность пособия. Широко используются векторы и операции над ними при решении аффинных и метрических задач, в сборнике имеется большой выбор разнообразных по тематике и трудности задач, многие задачи дублируются, благодаря чему сборник эффективно используется для организации самостоятельной работы студентов. Большиство задач имеют указания или ответы, приводятся образцы решений.

Вместе с тем, во второе издание внесены некоторые изменения и дополнения. Так, изучение векторной алгебры в первом издании проводилось отдельно на плоскости (часть I) и в пространстве (часть II). В настоящем сборнике это делается одновременно. Расширен круг задач по теме: "Применение скалярного произведения векторов к решению геометрических задач а также по темам, связанным с изучением прямой на плоскости. Сборник заново отредактирован, устранены замечанные опечатки.

Кафедра геометрии ЯГПИ будет признательна всем лицам, приславшим отзывы и критические замечания по содержанию сборника задач по адресу:

150000, Ярославль,ул. Республиканская, 108, кафедра геометрии ЯГПИ. Научный редактор, профессор Л.А. Сидоров.

1Линейные операции над векторами

Для решения задач этого параграфа необходимо знать правила сложения и вычитания векторов, правило умножения вектора на действительное число и свойства этих операций.

Результаты задач 3 , 4 , 12 часто используются при решении остальных задач параграфа,

поэтому они выделены знаком . Векторы, обозначенные одной большой буквой (например,

! !

A , B ,...), есть радиус-векторы соответсвующих точек.

1. Проверьте построением справедливость тождеств:

(b) C B C A = e, A; B; C - обозначают центральные симметрии ZA; ZB; ZC, символзнак композиции, e - тождественное преобразование.

4. Докажите, что G есть точка пересечения медиан AA1, BB1, CC1 треугольника ABC тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

! ! ! !

(a) 3P G = P A + P B + P C, P - любая точкаб

(b) G C G B G A = e, A; B; C; G - обозначают центральные симметрии ZA; ZB; ZC, ZG(в тексте нет ZG), символ - знак композиции, e - тождественное преобразование.

Сформулируйте аналог задачи для тетраэдра.

! ! !

5. (a) Точки E и F - середины отрезков AB и CD. Докажите, что 2EF = AD + BC =

! !

AC + BD.

Выведите отсюда теорему о средней линии трапеции.

(b) Точки E и F служат серединами диагоналей AC и BD четырехугольника ABCD.

! ! ! ! !

Докажите, что 2EF = AB + CD = AD + CB.

6.Пусть P1, P2, P3 - точки, симметричные точке P относительно середин сторон BC, CA, AB треугольника ABC соответственно. Докажите:

(a)отрезки AP1, BP2, CP3 пересекаются в одной точке M;

(b)центроид G треугольника ABC делит отрезок P M в отношении 2 : 1.

7.Постройте точку M, для которой выполняется векторное равенство:

! ! ! !

(a) MA + MB + MC = 0 , где A; B; C - данные неколлинеарные точки.

! ! ! ! !

(b) MA + MB + MC + MD = 0 , где A; B; C; D - четыре точки общего положения.

8. (a) В треугольнике ABC проведены медианы AA1, BB1, CC1. Найдите сумму векторов

! ! !

AA1 + BB1 + CC1.

(b)На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC вне его построены параллелограммы ABKL, BCMN, CAP Q. Убедитесь в том, что отрезки P L, KN, MQ могут быть сторонами треугольника.

9.Даны два треугольника ABC и A1B1C1

(b) Точки M и N являются серединами сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что середины диагоналей четырехугольников AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма (который может быть и вырожденным).

18. Через середину ребра OA и центроид грани ABC тетраэдра OABC проведена прямая, встречающая плоскость OBC в точке D. Докажите, что четырехугольник OBDC – параллелограмм.

19. Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются в точке M. Найдите вид

точки P0. Укажите способ построения этого вектора. При каком условии P0 = P4?

25.(a) Композиция пяти симметрий с центрами в вершинах пятиугольника отображают точку P0 на P5. Может ли точка P0 совпадать с P5?

(b)Композиция пяти симметрий с центрами в вершинах пятиугольника отображают точку P0 на P5, а точку Q0 на Q5. Докажите, что P0, P5, Q0, Q5 являются вершинами параллелограмма (быть может, и вырожденного).

26.(a) Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, имеют общую середину.

(b)Композиция симметрий с центрами A1, A2, A3, A4 отображает точку F на Q. Пусть

S и T – середины отрезков A1A2 и A3A4. Докажите параллельность отрезков P Q

и ST .

27.(a) Докажите, что треугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон данного треугольника, гомотетичен последнему.

(b)Даны середины A1,!B1,!C1,!D1 !сторон AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD. Выразите векторы A , B , C , D вершин параллелограмма ABCD через векторы

! ! ! !

A 1, B 1, C 1, D1.

2Деление отрезка в данном отношении

При решении задач этого параграфа используется понятие деления отрезка в данном отношении и результат задач 28 и 32 .

Определение 1. Точка C делит отрезок AB в отношении , если A, B, C – три

! !

точки на одной прямой и AC = CB.

Если C – внутренняя точка отрезка AB, то > 0; если C – внешняя точка отрезка AB, то < 0.

30.(a) Для того, чтобы точки A1, B1, C1 делили стороны BC, CA, AB треугольника по его обходу в равных отношениях, необходимо и достаточно, чтобы треугольники ABC и A1B1C1 имели общий центроид. Докажите.

(b)Дана замкнутая ломаная ABCD. Точки K, L, M, N делят отрезки AB, BC, CD, DA по обходу ломаной в одном и том же отношении 6= 1. Докажите, что если KLMN – параллелограмм, то и ABCD – параллелограмм. Остается ли верным это высказывание при = 1?

! !

31. Точки A0, A1,...,Ak равномерно расположены на прямой (A0Ak = kA0A1, k 2 R). За-

! ! !

давшись произвольным началом O векторов,выразите векторы OA2, OA3, ...,OAk через

! !

векторы OA0 и OA1.

32.* Докажите, что необходимое и достаточное условие принадлежности трех точек A, B, C одной прямой может быть записано в виде:

при условии, что , , не равны одновременно нулю, или

33. (a) Точки N и N1 делят отрезки MP и M1P1 соответсвенно в равных отношениях. Докажите, что середины отрезков MM1, NN1, P P1 принадлежат прямой (или совпадают).

ду точками которых установлено отображение по равенству параметров и . Докажите, что середины отрезков MN, AC, BD коллинеарны.

34. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра ABCD с точками пересечения медиан противолежащих граней, пересекаются в одной точке, называемой центроидом тетраэдра, и эта точка делит каждый из отрезков в отношении 3 : 1, считая от вершины тетраэдра.

35.Докажите: для того, чтобы точка M была центроидом тетраэдра, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из трех условий:

37. Точки A1, B1, C1 принадлежат соответственно сторонам BC, CA, AB треугольника ABC, причем центроиды G и G1 треугольников ABC и A1B1C1 совпадают. Докажите,

что

AC1 = BA1 = CB1 :

C1B A1C B1A

38. (a) Даны четыре точки A1, A2, A3, A4 и некоторая точка M. Через середину Aij отрезка AiAj проведена прямая, параллельная прямой AkAl (k; l 6= i; j) (всего проведено шесть прямых). Докажите, что построенные прямые имеют общую точку.

(b) Сформулируйте аналогичную задачу для пяти точек A1, A2, A3, A4, A5 и некоторой точки M.

39. На сторонах AB, BC, CD, DA (или на продолжениях сторон) параллелограмма ABCD взяты соответсвенно точки P , R, Q, S так, что P Q k BC, RS k AB.

(a) Прямые P Q, RS пересекаются в точке M, а прямые BQ, RD – в точке N. Доказать, что точки A, M, N коллинеарны.

(b) доказать, что центр симметрии O параллелограмма ABCD, точка O1 пересечения средних линий четырехугольника P QRS и точка M пересечения прямых P Q и RS принадлежат прямой, причем jMO1j = jO1Oj.

40. (a) Доказать, что если медианы одного треугольника параллельны сторонам другого треугольника, то и медианы второго треугольника параллельны сторонам первого.

(b) Медианы двух треугольников соответственно параллельны. Доказать, что соответствующие стороны этих треугольников также параллельны.

41. (a) В точках A, B, C помещены массы m1, m2, m3. Доказат, что если центр тяжести

! ! ! !

этих масс принять за начало векторов, то m1 A +m2 B +m3 C = 0 (m1 +m2 +m3 6= 0). Сформулировать и доказать обратную теорему.

(b)В точках M1, M2,. . . , Mn помещены соответсвенно массы m1; m2; : : : ; mn. Найти

вектор центра тяжести M этой системы материальных точек, если даны векторы

!

Mk данных точек Mk.

42.(a) Точка J – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Доказать равенство:

где a,b, c – длины сторон BC, CA, AB треугольника.

! ! !

(b) Выразите через A , B ,C вектор центра J1 вневписанной окружности для треугольника ABC.

43. Точка H – ортоцентр, а O – центр описанной окружности треугольника ABC.

! ! ! !

(a) Доказать равенство: OH = OA + OB + OC.

! !

(b) Доказать, что при любом выборе точки P имеет место соотношение P H = P A +

! ! !

P B + P C 2P O.

46. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD даны точки P и Q. Доказать, что прямая, проходящая через середины сторон AB и QD пятиугольника ABP QD, пересекает прямую, проходящую через середины сторон BP и DA, в точке, лежащей на прямой AM, где M - середина стороны P Q.

47. Через точку P , принадлежащую стороне AB треугольника ABC, проведены прямые, параллельные медианам AA1 и BB1, пересекающие стороны CB и CA в точках M и N. Доказать, что вершина Q параллелограмма P MQN принадлежит средней линии A1B1 треугольника.

49.Даны два гомотетичных треугольника ABC и A1B1C1. Через произвольнуюточку P проведены прямые P A, P B, P C. Доказать,что параллельные им прямые,проходящие через точки A1, B1, C1, имеют общуюточку P .

50.Дан треугольник ABC; точки A1, B1, C1 – середины его сторон BC, CA, AB. Через произвольную точку P проведены прямые P A, P B, P C. Доказать, что параллельные им прямые, проходящие через вершины A1, B1, C1, пересекаются в одной точке P1.

51.Даны два гомотетичных треугольника ABC и A1B1C1. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины одного треугольника с серединами соответствующих сторон второго треугольника, пересекаются в одной точке. Найти соотношение, в котором эта точка делит каждый из указанных отрезков.

52. Даны два треугольника и такие, что ! ! ! !. Доказать,

ABC A1B1C1 AA1 = BB1 = CC1 = a

что отрезки, соединяющие вершины первого треугольника и середины соответствующих сторон второго, пересекаются в одной точке. Найти отношение, в котором эта точка делит каждый из указанных отрезков.

53. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC и проведен диаметр MN. До-

казать, что середина P хорды AM и центроид Q треугольника BCN лежат с центром

! !

окружности на одной прямой. Вычислить отношение OP : OQ.

54. Точки A1 и B1 - основания высот AA1 и BB1 треугольника ABC. Выразить вектор

! ! !

A1B1 через CA и CB.

55. Точка M делит медиану CC1 треугольника ABC в отношении . Прямая AM пересекает

! !

сторону BC в точке D. Найти отношение CD : DB.

56.Даны параллелограммы ABMN, BCP Q, CARS. Построены параллелограммы P RMX и QSNY . Доказать, что точка B совпадает с серединой отрезка XY .

! !

57. В окружности проведены четыре радиуса OA, OB, OC, OD т акие, что OA + OB +

! ! !

OC + OD = 0 . Доказать, что точки A, B, C, D являются вершина прямоугольника.

58. Даны пять точек. Середина отрезка с концами в двух из данных точек соединяется отрезком с центроидом треугольника с вершинами в трех оставшихся точках. Доказать, что построенные таким образом десять отрезков имеют общую точку. Найдите отношения, в которых эта точка делит каждый из десяти отрезков.

59. Через середину M медианы CC1 треугольника ABC проведена прямая AM, пересека-

! !

ющая сторону BC в точке D. Вычислить отношение AD : DB.

60.В окружность вписан четырехугольник ABCD. Доказать, что орт оцентры треугольников BCD, CDA, DAB, ABC являются вершинами четырехугольника, центрально симметричному данному.

61.Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Через середину M сто-

роны AB проведена прямая MO, пересекающая сторону CD в точке N. Вычислить

! ! ! ! ! !

отношение CN : ND, если jOAj = a; jOBj = b; jOCj = c; jODj = d.

3Разложение вектора в данном базисе

Для решения задач этого параграфа прежде всего усвойте понятия: линейно зависимой и линейно независимой системы векторов, понятие линейной комбинации векторов, понятие n-мерного векторного пространства, понятие базиса векторного пространства и координат вектора в данном базисе. Сначала прорешайте задачи 62 66 . Далее научитесь разлагать данный вектор в данном базисе (другими словами, находить его координаты в этом базисе). Очень важно уметь применять при решении задач теорему: если вектор представляет линейную комбинацию данных векторов, то его координаты представляют из себя такие же линейные комбинации соответствующих координат этих векторов.

62. * Докажите, что для того, чтобы два вектора ! и ! были коллинеарны, необходи- a b

мо и достаточно, чтобы существовало некоторое число 2 R такое, что выполняется

! !

равенство: a = b .

63. * Докажите, что два неколлинеарных вектора ! и ! образуют базис множества всех a b

векторов плоскости.

64. * Докажите, что любые три компланарных вектора линейно зависимы.

65. * Докажите, что три некомпланарных вектора !, ! и ! образуют базис множества a b c

всех векторов пространства.

66. * Докажите, что любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

67. Убедитесь, что точка M принадлежит плоскости треугольника ABC тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

где P - любая точка, а числа ; ; ; не равны нулю одновременно.

68.(a) Для того, чтобы точки A1, B1, C1, D1, делящие стороны AB, BC, CD, DA косого четырехугольника ABCD в простых отношениях 1, 2, 3, 4 принадлежали плоскости, необходимо и достаточно, чтобы 1 2 3 4 = 1 (Обобщение теоремы Минелая). Докажите.

(b)Точки A1, B1, C1, D1 делят стороны AB, BC, CD, DA косого четырехугольника ABCD в простых отношениях 1, 2, 3, 4, а точки A2, B2, C2, D2 - в отношениях1, 2, 3, 4. Убедитесь в том, что если точки A1, B1, C1, D1 принадлежат плоскости, то и середины отрезков A1A2, B1B2, C1C2, D1D2 также принадлежат плоскости.

!

73. В трапеции ABCD отношении основания AD к основанию BC равно . Полагая AC =

! ! ! ! ! ! ! ! ! a , BD = b , выразите через a и b векторы: a) CD, DA, b) AB, BC.

74. Точки M и N - середины противоположных сторон AD и BC четырехугольника ABCD.

! ! ! ! !

Найдите координаты вектора MN в базисе a) (AB; DC); b) (AC; DB).

75. (a) Дан правильный шестиугольник A1A2A3A4A5A6 с центром O. Найдите координаты

! ! ! ! ! ! !

векторов OA3, OA4, OA4, OA5, OA6 в базисе (OA1; OA2).

80. (a) Прямая MN - средняя линия косого четырехугольника ABCD. Докажите, что

! ! !

векторы AB, DC, MN компланарны.

(b) Трапеции ABCD и AB1C1D1 имеют общую вершину A, расположены в различных

! !

AB A1B1

плоскостях и ! = !. Убедитесь, что прямые BB1, CC1, DD1 параллельны плоскости. DC D1C1

81.(a) Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла и биссектриса угла,смежного с третьим плоским углом, компланарны.

! ! !

(c)( 1) e 1 + e 2, 2 e 2.