I

(b)35.

360.Составить уравнения катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, зная уравнение гипотенузы 3x y + 5 = 0 и вершину прямого угла C(4; 1).

361.Даны уравнение одной из сторон квадрата x + 3y 3 = 0 и точка пересечения диагоналей ( 2; 0). Составить уравнения его диагоналей и остальных сторон. Определить координаты вершин квадрата.

362.В каждом из следующих случаев показать, что треугольник, заданный уравнениями своих сторон, является равнобедренным:

(a)x + 5y + 8 = 0, 8x + y 14 = 0, 7x 4y + 17 = 0;

(b)x 2y + 6 = 0, x + y = 0, 2x y 6 = 0;

(c)x + y 6 = 0, x 4y + 14, 4x y 19 = 0;

(d)x + y + 9 = 0, 4x 7y + 25 = 0, 7x 4y 14 = 0.

363.Из точки M(1; 2) к прямой l, заданной уравнением x+ y 1 = 0, направлен луч света, который достигает ее в точке N, а затем отражается. Написать уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи, если известно, что tg = 3, где - угол между прямыми l и MN (предполагается, что плоскость ориентирована при помощи системы координат).

364.Луч света направлен по прямой x + y + 3 = 0. Дойдя до прямой 3x y + 5 = 0, он отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

365.Даны две вершины треугольника A(1; 3) и B(1; 5) и косинусы внутренних углов cosA =

210

366.Даны уравнения основания равнобедренного треугольника 3x y + 5 = 0 и его боковой стороны x+2y 1 = . Составить уравнение второй боковой стороны, если она проходит через точку M( 1; 3).

367.Даны уравнения сторон треугольника (AB) : 4x y + 5 = 0, (BC) : 2x + 3y 1 = 0, (AC) : x + y 3 = 0. Определить тангенсы его внутренних углов.

368.Даны уравнения сторон треугольника (AB) : 7x 5y + 11 = 0, (BC) : 3x + 2y 16 = 0, (CA) : 4x 7y 2 = 0. Определить тангенсы его внутренних углов и доказать, что ориентация треугольника ABC противоположна ориентации, определяемой системой координат Oxy.

14 Смешанные задачи на прямую

369.Вычислить площадь ромба, если известна его вершина A( 1; 3), точка M(0; 2), лежащая на стороне AB, и точка Q(2; 1) пересечения его диагоналей.

370.Даны четыре точки A(4; 1), B(0; 3), C( 2; 0) и D(8; 1). На прямой 5x 2y 102 = 0 найти точку M такую, чтобы треугольники MAB и MCD были равновелики (без учета ориентации треугольника).

371.Даны вершины A( 1; 4) и B(0; 5) ориентированного треугольника ABC, площадь которого S = 4, и прямая 2x + y 3 = 0, на которой лежит третья вершина C. Составить уравнения сторон треугольника.

372.Через точку пересечения прямых x y + 8 = 0 и 2x y + 7 = 0 проведена прямая, касающаяся окружности x2 + y2 6x + 4y 12 = 0. Составить ее уравнение.

373.Через точку M(2; 5) проведена прямая так, что ее отрезок, заключенный между прямыми x y 1 = 0 и 2x y 18 = 0, делится в точке M пополам. Составить ее уравнение.

374.Через точку M(7; 5) проведена прямая так, что ее отрезок, заключенный между прямыми l1 : x + 2y 11 = 0 и l2 : x 7y + 34 = 0, делится точкой M в отношении 2 : 1, считая от прямой l1. Составить ее уравнение.

375.Даны уравнения x + 2y 3 = 0, x + y 2 = 0 двух сторон треугольника и уравнение 5x + 6y 15 = 0 одной из его медиан. Составьте уравнение третьей стороны.

376.Даны уравнения двух сторон треугольника (AB) : 9x+2y+37 = 0, (AC) : 9x+10y+5 = 0 и точка M( 1; 2) пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны и найти координаты вершин треугольника.

377.Даны уравнения x+y 5 = 0, 3x+y 7 = 0 двух медиан треугольника и уравнение одной из его сторон 2x + y 5 = 0. Составить уравнение двух других сторон треугольника и найти координаты его вершин.

378.Составить уравнения сторон треугольника ABC, зная одну из его вершин A(3; 0) и уравнения двух медиан 7x 5y + 15 = 0, 4x + y + 6 = 0.

379.Составить уравнения сторон треугольника ABC, если известны уравнения его биссектрис x + 2y 13 = 0, x y 5 = 0 и координаты вершины A(7; 8).

380.Составить уравнения двух прямых, одна из которых проходит через точку M( 1; 5), а вторая - через точку N(4; 1), зная, что прямая 2x 2y + 5 = 0 является биссектрисой одного из углов между искомыми прямыми.

381.Даны уравнения двух сторон треугольника 3x + y 8 = 0, 32 x + 2y 1 = 0 и уравнение одной из его биссектрис x y + 2 = 0. Найти уравнение третьей стороны.

382.Составить уравнения сторон квадрата, две параллельные стороны которого проходят соответственно через точки ( 1; 2) и (0; 6), а две другие - через точки ( 3; 2) и ( 6; 0).

15 Полярные координаты

383.Дана прямая l и не принадлежащая ей точка O. На лучах OL, где L 2 l, по обе стороны от L откладываются равные отрезки jLMj = jLNj = p. Записать уравнение множества точек M и N в полярных и декартовых координатах.

384.Построить точки, полярные координаты которых имеют следующие значения: (3; 6 ),

(1; 53 ), (0; 5; 2 ), (6; ), (p3; 6 ), ( 2; 4 ).

385.Зная прямоугольные координаты точек A( 1; 1), B(0; 2), C(5; 2), найти их полярные координаты.

386.Найти прямоугольные координаты точек, которые даны своими полярными координатами: A(2; 3 ), B(p2; 34 ), C(5; 2 ), D(3; 6 ), причем ось абсцисс совпадает с полярной осью, а начало координат - с полюсом.

387.Дан правильный шестиугольник ABCDEF , сторона которого равна a. Приняв за полюс вершину A, а за полярную ось направленную прямую AB, найти полярные координаты остальных пяти вершин.

388.Даны полярные координаты точек A(8; 23 ) и B(6; 3 ). Вычислить полярные координаты середины отрезка AB.

389.Вычислить расстояние между двумя данными точками: A(2; 12) и B(1; 512 ); C(4; 5 ) и

D(6; 65 ); E(3; 1118 ) и F (4; 9 ).

390.Вычислить площадь треугольника, одна из вершин которого совпадает с полюсом, а две другие имеют полярные координаты (4; 9 ), (1; 518 ).

391.Относительно полярной системы координат дана точка A(5; 23 ). Вычислить координаты точки B, симметричной точке A относительно полярной оси.

392.Определить множество точек, координаты которых в обобщенной полярной системе координат удовлетворяют уравнению:

(a)= 4,

(b)cos = 2,

(c)= 10sin ,

(d)= 4 ,

(e)sin = 1,

p

(f)sin = 22,

(g)sin = cos ,

(h)= 3 .

! !

393. В системе fO; i ; j g даны множества точек:

(a) x 3y = 0,

(b) y + 5 = 0,

(c) x2 + y2 = 16,

(d) x2 + y2 ax = 0,

(e) xy = 10,

(f) x2 y2 = a2.

Найдите уравнения тех же множеств в обобщенной полярной системе координат

!

fO; i g, имеющей ту же ориентацию.

16 Инверсия

394.Построить окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через не принадлежащую им точку.

395.Доказать, что для вписанного в окружность ! четырехугольника ABCD выполняется зависимость: jABj jCDj + jBCj jBDj (теорема Птоломея).

! !

396. В системе координат fO; i ; j g записать формулы преобразования инверсии с центром

O и степенью r2. При r = 1 найти координаты образов точек M1(0; 14), M2(1; 0), M3(3; 1),

M4( 2; 1).

397. Пользуясь координатным заданием инверсии с центром O и степенью r2, доказать, что:

(a) прямая, проходящая через точку O, преобразуется в себя;

(b) окружность (O; r) состоит из неподвижных точек;

(c) окружность (O; R), R 6= r преобразуется в концентрическую окружность.

398. Дана инверсия с центром O и степенью r2. Доказать, что образом прямой l, не проходящей через центр инверсии, является окружность, проходящая через O, причем прямая, соединяющая O с центром окружности, перпендикулярна прямой l.

! !

399. В системе fO; i ; j g задана инверсия J(O; 4). Найти образы прямых

(a) 2x 5y = 0,

(b) x + 2y 6 = 0.

400. Найти образы при инверсии J(O; k):

(a) пары параллельных прямых, ни одна из которых не проходит через O;

(b) пучка прямых с центром O;

(c) пучка прямых с центром M, M 6= O.

401. Доказать, что композиция инверсий относительно ортогональных окружностей перестановочна.

402. Построить неподвижные точки композиции двух инверсий относительно непересекающихся и некасающихся окружностей.

403. Доказать, что композиция инверсии и центральной симметрии относительно одного и того же центра перестановчна.

404. Построить окружность, касающуюся в данной точке дуги и основания кругового сегмента.

405. Построить окружность, касающуюся данной прямой и двух данных пересекабщихся окружностей.

17 Эллипс

x2 y2

406. Построить несколько точек эллипса a2 + b2 = 1, если

(a) c = 2, a = 4,

(b) c = 3, a = 4,

(c) c = 1, a = 3.

407. Одна из двух окружностей расположена внутри другой. Найти множество центров всех окружностей, касающихся обеих данных окружностей.

408. Вершины A и B треугольника ABC фиксированы, а вершина C перемещается так, что периметр треугольника сохраняет постоянную величину. Найти траекторию вершины C при условии, что jABj = 24, а периметр треугольника равен 50.

409. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что:

(a) расстояние между фокусами равно 6, а большая полуось равна 5;

(b) малая полуось равна 3, эксцентриситет равен 32;

(c) директрисы имеют уравнения x = 12, эксцентриситет равен 13 ; p

(d) эллипс проходит через точки M1(2; 33) и M2( 3; 0).

410.Вычислить координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения директрис эллипса:

(a)4x2 + 144y2 576 = 0,

(b)4x2 + 9y2 36 = 0,

(c)x2 + 9y2 = 9,

(d)9x2 + 25y2 = 1.

411.Написать каноническое уравнение эллипса, вершинами которого являются вершины ромба ABCD, если jABj = a, \A = 60 . Построить фокусы этого эллипса.

412.Дан квадрат ABCD, jBDj = 6, точка K - середина стороны CD. Написать каноническое уравнение эллипса, для которого точки B и D - вершины, а один из фокусов есть точка пересечения отрезков AC и BK.

413.Вычислить эксцентриситет эллипса, если расстояние между его директрисами в 4 раза больше расстояния между фокусами.

414.Меридиан земного шара имеет форму эллипса, отношение осей которого равно 299300. Вычислите эксцентриситет земного меридиана.

415.Вычислить эксцентриситет эллипса, если:

(a)расстояние от фокуса до вершины малой равно расстоянию между фокусами ;

(b)отрезок с концами в фокусах виден из вершин малой оси под углом 90 ;

(c)малая ось больше расстояния между фокусами в 3 раза;

(d)расстояние между директрисами в 4 раза больше расстояния между фокусами.

416. Эксцентриситет эллипса равен 25. Вычислить расстояние от точки M эллипса

(a) до фокуса, если расстояние до соответсвенной директрисы равно 3;

(b) до директрисы, если ее расстояние до соответствующего фокуса равно 2.

417. Найти точку эллипса x2 + y2 = 1, для которой расстояние до правого фокуса в 4 раза

100 36

больше расстояния до его левого.

418.Даны три вершины эллипса.

(a)Построить несколько точек эллипса.

(b)Построить фокусы эллипса.

419.Дан прямоугольник ABCD. Точки P , M, Q, N - середины сторон AB, BC, CD, DA соответсвенно. Прямые P Q и MN пересекаются в точке O. Отрезки OM и MC разделены каждый на n равных частей: jOP1j = jP1P2j = ::: = jPn 1Mj, jCQ1j = jQ1Q2j = ::: = jQn 1Mj. Доказать, что точки пересечения прямых P Pn и QQn принадлежат эллипсу. Найти множество точек пересечения прямых P Pn и QQn.

421.Изобразить на координатной плоскости области, определяемые следующими системами неравенств:

8

x2 + 4y2 > 4,

<

x + 1 0,

: x2 + y2 < 9;

8

x2 + 4y2 36,

<

jxj 5, : jyj 1;

8

4x2 + 9y2 < 36,

<

y x < 1,

:x 2 < 0.

422.Доказать, что окружность при равномерном сжатии к какому-либо из своих диаметров преобразуется в эллипс.

423.Написать координатные формулы преобразования, отображающего окружность x2 + y2 = r2 на эллипс:

(a)x2 + y2 = 1, a2

(b) x2 + y2 = 1, b2

x2 y2

(c) a2 + b2 = 1.

x2 y2

424. Через фокус эллипса a2 + b2 = 1 проведена хорда, перпендикулярная большой оси.

(a) Вычислить длину этой хорды.

(b) Вычислить расстояние от концов этой хорды до другого фокуса.

x2 y2

425. Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс a2 + b2 = 1.

426. В эллипс x2 + y2 = 1 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого сов-

36 9

падает с правой вершиной большой оси. Найти координаты вершин треугольника. 427. Найти множество середин хорд эллипса, проведенных

(a) из конца его малой оси;

(b) из произвольной точки эллипса.

428. Составить уравнение прямой, содержащей такую хорду эллипса x2 + y2 = 1, которая

36 9

делится пополам точкой

(a)A(2; 1),

(b)B( 2; 1),

(c)C( 4; 2).

429.Составить уравнение прямой, касающейся эллипса " в точке A:

431. Составить уравнения касательных к эллипсу x2 + y2 = 1, параллельных прямой

6 4

(a)x y + 1 = 0,

(b)2x + y = 0,

(c)x + 2y 4 = 0.

432.При каком необходимом и достаточном условии прямая Ax + By + C = 0

x2 y2

(a) Касается эллипса a2 + b2 = 1,

(b) пересекает эллипс;

(c) не пересекает его?

433. Составить уравнения общих касательных двух эллипсов:

434.Доказать, что

(a)касательные к эллипсу, проведенные в концах одного и того же диаметра, параллельны между собой;

(b)если две касательные к эллипсу параллельны, то точки касания лежат на одном и том же диаметре.

435.Доказать, что отрезок любой касательной к эллипсу, заключенный между касательными, проведенными в концах большой оси, виден из любого фокуса под прямым углом.

436.Найти произведение расстояний от любого фокуса эллипса до параллельных, касательных к нему.

x2 y2

437. Доказать, что касательные к эллипсу a2 + b2 = 1 отсекают на двух касательных, проведенных в концах A и A1 его большой оси, отрезки AM и A1M1, произведение длин которых равно b2.

x2 y2

438. Найти множество середин хорд эллипса a2 + b2 = 1, имеющих угловой коэффициент k.

439. Составить уравнение прямой, содержащей диаметр эллипса x2 + y2 = 1, сопряженный

16 9

хордам, имеющим угловой коэффициент

(a)k = 12 ,

(b)k = 23 ,

(c)k = 34 ,

(d)k = 15 .

(a) прямая, проходящая через точку M эллипса, является касательной к эллипсу тогда и только тогда, когда она параллельна диаметру, сопряженному с диаметром, проходящим через точку M;

(b) две касательные в эллипсу параллельны тогда и только тогда, когда отрезок, соединяющий точки касания, является диаметром эллипса.

443. Три точки A, B и C принадлежат эллипсу, причем точки B и C принадлежат одному диаметру. Доказать, что прямые AB и AC параллельны сопряженным диаметрам эллипса.

444. Доказать, что касательная к эллипсу образует равные углы с прямыми, проходящими через точку касания и фокусы эллипса.

системе координат, у которой полюс совпадает с одним из фокусов эллипса, полярная ось проходит в направлении от полюса к другому фокусу.

446.Написать каноническое уравнение эллипса, если в полярных координатах (полюс совпадает с одним из фокусов эллипса, а полярная ось проходит в направлении от полюса к другому фокусу) он имеет уравнение:

447.Доказать, что отрезок касательной эллипса, заключенный между точкой касания и директрисой, виден из соответствующего фокуса под прямым углом.

448.Эллипс " и окружность ! пересекаются в вершинах A, B, C, D четырехугольника ABCD. Доказать, что прямые AB и CD равнонаклонены к каждой из осей координат.

18Гипербола

449.Найти множество центров окружностей, касающихся двух данных окружностей, лежащих одна вне другой.

450.Найти множество центров окружностей, касающихся внешним образом данной окружности с центром A и проходящих через данную точку B.

451.Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что:

(a)расстояние между вершинами равно 6, гипербола проходит через точку (9; 4);

(b)расстояние между фокусами равно 6; эксцентриситет равен 1,5;

(c)расстояние между фокусами равно 20, уравнение асимптоты y = 43x;

(d)расстояние между директрисами равно 2223, расстояние между фокусами равно 25.

452.Найти полуоси, эксцентриситет, координаты фокусов, уравнения асимптот, уравнения директрис для гиперболы:

(a)16x2 9y2 = 144,

(b)4x2 9y2 = 36,

(c)9x2 4y2 36 = 0,

(d)25x2 16y2 1 = 0.

459.Доказать, что директриса гиперболы проходит через основание перпендикуляра, проведенного из соответствующего фокуса на асимптоту гиперболы. Вычислить длину этого перпендикуляра, если мнимаяполуось гиперболы равна b.

460.Вычислить расстояние от центра гиперболы до точки пересечения ее директрисы с асиптотой, если действительная полуось гиперболы равна a.

461.Построить фокусы, вершины и несколько точек гиперболы, если даны точки пересечения ее асимптот с директрисами.

462.Доказать, что гипербола является равносторонней тогда и только тогда, когда ее асимптоты взаимно перпендикулярны.

463.Доказать, что произведение расстояний точки гиперболы до ее асиптот не зависит от выбора точки.