I

259.По уравнениям прямых, содержащих стороны BC, CA и AB треугольника ABC, составьте уравнения прямых, содержащих высоты этого треугольника: (BC) : x+y 1 = 0;

(CA) : 2x y = 0, AB : x 2y 2 = 0.

260.Даны уравнения прямых, содержащих высоты треугольника и координаты одной из вершин треугольника. Вычислите координаты двух других вершин этого треугольника:

(a)3x + 4y 7 = 0, 2x y 1 = 0, A(5; 3);

(b)3x + 4y 3 = 0, 4x y + 2 = 0, A(0; 1).

261.Напишите уравнение прямой:

(a)проходящей через точку A(2; 5) и имеющей угловой коэффициент k = 3,

(b)проходящей через точку (0; 0) и имеющей угловой коэффициент k = 2,

!!

(c) являющейся биссектрисой координатного угла O i j ,

(d) проходящей через начало координат и образующей с осью Ox угол 30o,

(e) проходящей через начало координат и образующей с осью Ox угол 120o,

(f) отсекающей от оси Oy отрезок b = 2 и имеющей угловой коэффициент k = 3,

(g) отсекающей от оси Oy отрезок b = 3 и имеющей угловой коэффициент k = 1.

262. Найдите угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые на оси Oy каждой из следующих прямых:

(a) 2x + y + 5 = 0;

(b) x 3y + 6 = 0;

(c) x + y = 0;

(d) 2y + 5 = 0;

(e) 3x + 1 = 0; p

(f) 2x + 2y 3 = 0.

263. Найти углы наклона к оси Ox прямых:

(a) x + y 7 = 0;

(b) x y + 2 = 0; p

(c)x + 3y 4 = 0.

264.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку P (1; 2) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

9 Взаимное расположение прямых. Пучки прямых. Двойное отношение четырех прямых пучка.

265.Выясните как расположены относительно осей координат следующие прямые:

(a)2x 3y = 0;

(b)3x y + 1 = 0;

(c)5x 1 = 0;

(d)x + y = 0;

(e)3y + 1 = 0;

(f)x + 2y = 0;

(g)6x = 0;

(h)x2 y3 = 1.

266.Выясните взаимное расположение следующих пар прямых и в случае пересечения определите координаты общей точки:

(a)x + y 3 = 0 и 2x 2y 6 = 0;

(b)x + 2y + 1 = 0 и x + 2y + 3 = 0;

267.Определите взаимное расположение трех прямых в каждом из следующих случаев:

(a)x y + 3 = 0, 2x + 3y 4 = 0, 3x + 2y 11 = 0;

(b)x y + 1 = 0, x + 4y + 6 = 0, 2x + 7y + 11 = 0;

(c)6x 3y + 1 = 0, 2x + 3y + 2 = 0, 2x y = 0;

(d)2x 3y + 1 = 0, 4x 6y 5 = 0, 6y + 9y + 7 = 0;

(e)3x 6y + 3 = 0, x 2y + 1 = 0, 5x + 10y 5 = 0;

268.На плоскости даны три попарно непараллельные прямые: A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, A3x + B3y + C3 = 0. Докажите, что эти прямые образуют треугольник

тогда и только тогда, когда

A1 B1 C1

A2 B2 C2 6= 0:

A3 B3 C3

Пользуясь этим условием, выясните, какие из следующих троек прямых образуют треугольник:

(a)3x y = 0, x + 2y 1 = 0, 2x + 2y 3 = 0;

(b)2x y + 1 = 0, 3x + 3y + 1 = 0, x + 4y = 0;

(c)x + 2 = 0, y + 3 = 0, x + y = 0.

269.Найдите необходимые и достаточные условия, чтобы три прямые: Ax + By + C = 0, A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0 имели только одну общую точку.

270.Точки A1, B1, C1 делят стороны BC, CA, AB треугольника ABC в простых отношениях, , соответственно. Докажите, что

(a)прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

= 1, 1 + + 6= 0 (теорема Чевы);

(b) прямые AA1, BB1, CC1 параллельны в том и только том случае, когда = 1,

1 + + = 0.

271.Не вычисляя координаты точки пересечения данных прямых g1 и g2, проведите через эту точку прямую,

272.Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(0; 3) и середину отрезка AB:

A(2; 1), B(4; 3).

273.Докажите, что прямые x + 3y 1 = 0, x + y + 5 = 0, 3x + 13y + 1 = 0 принадлежат одному пучку.

274.В пучке, определяемом прямыми g и g1, найдите прямую, проходящую через точку, делящую отрезок, концами которого являются точки пересечения g и g1 с осью Ox, в заданном отношении :

(a)g : y 3x + 1 = 0, g1 : y 5x + 7 = 0, = 3;

(b)g : y kx b = 0, g1 : y k1x b1 = 0, = 0.

275.Стороны треугольника лежат на прямых g1, g2, g3. Напишите уравнение прямой, содержащей медиану, проведенной из точки пересечения прямых g1 и g2:

(a)g1 : x + y + 1 = 0, g2 : 5x y + 7 = 0, g3 : 3x y + 4 = 0;

(b)g1 : A1x + B1y + C1 = 0, g2 : A2x + B2y + C2 = 0, g3 : A3x + B3y + C3 = 0.

276.Через точку пересечения прямых 3x y = 0, x + 4y 2 = 0 проведена прямая, перпендикулярная к прямой x + y = 0. Напишите уравнение этой прямой.

277.Даны уравнения сторон треугольника x + 2y 1 = 0, 5x + 4y 17 = 0, x 4y + 11 = 0. Составьте:

(a)уравнения высот треугольника;

(b)уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным сторонам.

278.Напишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 6x 2y+5 = 0, 2x y 4 = 0 и:

(a)параллельной оси Ox;

(b)параллельной оси Oy;

(c)проходящей через начало координат.

279.Даны стороны четырехугольника x 4y +3 = 0 (AB), 2x+y 12 = 0 (BC), x y +6 = 0 (CD), x + 2y 3 = 0 (AD). Напишите уравнения его диагоналей.

280.(a) Даны треугольник ABC, точка M и середины A1, B1, C1 его сторон BC, CA, AB. Докажите, что прямые, проведенные через A, B, C параллельно отрезкам MA1, MB1, MC1 имеют общую точку.

(b) Через точки A, B, C, не принадлежащие прямой, проведены две тройки параллельных прямых a, b, c и a1, b1, c1 (a k b k c, a1 k b1 k c1). Среди образовавшихся параллелограммов есть три такие, в которых [AB], [BC], [CA] - диагонали. Докажите, что вторые диагонали этих параллелограммов принадлежат прямым пучка.

281. (a) Даны четыре точки A( 2; 3), B(1; 5), C(4; 7), D( 11; 3). Убедитесь, что данные

! !

AC AD

точки коллинеарны, и вычислите их двойное отношение: (AB; CD) = ! : !.

CB DB

! ! !

(b) На прямой P Q даны четыре точки, векторы которых заданы: A = Q + P (1 ),

! ! ! ! ! ! ! ! !

B = Q + P (1 ), C = Q + P (1 ), D = Q + P (1 ). Докажите равенство:

(AB; CD) = ((AB;AB; DC)) = : .

282.Докажите, что прямые: u1 : x 2y + 1 = 0, u2 : 2x + y 1 = 0, u3 : 7x + y 2 = 0, u4 : 6x 3y + 1 = 0 принадлежат одному пучку, и найдите двойное отношение (u1u2; u3u4).

283.Пары точек C1, C2; A1, A2; B1, B2 гармонически разделяют отрезки AB, BC, CA. Докажите, что:

(a)если A1, B1, C1 принадлежат прямой, то и середины отрезков C1C2, A1A2, B1B2 также принадлежат прямой.

(b)Если прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, то середины отрезков C1C2, A1A2, B1B2 коллинеарны.

(c)сли середины отрезков C1C2, A1A2, B1B2 коллинеарны, то либо точки A1, B1, C1 лежат на одной прямой, либо прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

284.Докажите, что если переставить местами две первые или две последние точки в данной четверке, то двойное отношение четверки переменится на обратное.

285.Докажите, что если переставить местами две средние и две крайние точки данной четверки, то двойное отношение переменится на дополнение до единицы.

286.Прямые g и g1 пересекают прямые a, b, c, d пучка в точках A, B, C, D и A1, B1, C1, D1 соответственно. Доказать, что:

(a)(AB; CD)=(A1; B1C1; D1),

(b)(ab; cd) (ab; cd) = 1. (Символ (ab; cd) называют двойным отношением четырех прямых a, b, c, d пучка - оно равно двойному отношению четырех точек, полученные от пересечения этих прямых произвольной прямой).

287. (a) Даны четыре прямые a : 3x 4y + 9 = 0, b : 3x + y 6 = 0, c : 3x y = 0, d : 3x + 4y 15 = 0, принадлежащие пучку. Вычислить двойное отношение (ab; cd).

(b) Даны прямые a : 2x y = 0, b : 5x y = 0, p : 7x y = 0. Построить прямую q, чтобы (ab; cd) = 1 и составить ее уравнение.

288. Четыре прямые a : y y0 k1(x x0) = 0, b : y y0 k2(x x0) = 0, c : y y0 k3(x x0) = 0,

чтобы (ab; cd) = 1.

10Геометрический смысл линейных неравенств

289.Даны две параллельные прямые u1 : 3x + 4y 7 = 0, u2 : 6x + 3y + 5 = 0. Запишите систему неравенств, задающую полосу, ограниченную прямыми u1 и u2.

290.Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(2; 3), B( 1; 4), C(1; 1). Составьте систему линейных неравенств, задающих треугольник.

291.Даны точки A и B. Запишите координаты фигур:

(a)[AB),

(b)[BA),

(c)[AB],

(d)(AB) r A,

(e)(AB) r B,

(f)(AB) r [AB), если

i.A(3; 4), B(2; 1);

ii.A( 1; 2), B( 7; 3),

iii.A(x1; y1), B(x2; y2).

292.Треугольник ABC задан координатами своих вершин A, B, C и дана своими координатами точка M:

(a)A(2; 3), B(7; 1), C(5; 4), M(4; 3);

(b)A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), M(x0; y0).

Убедитесь в том, что точка M - внутренняя точка треугольника ABC.

293.Убедитесь, что лучи [AB) и [CD) одинаково направлены, и напишите условия, определяющие полуплоскость ((AC); M), ограниченную прямой (AC), к которой принадлежат эти лучи:

(a)[AB) : x = 2 t; y = 1 + t, t 0; [CD) : x = 4 + 3t; y = 3 3t, t 0;

(b)[AB) : x = 1 + t; y = 2 + t, t 0; [CD) : x = 2 + 3t; y = 4 + 3t, t 0.

294.Даны три точки A, B, C. Напишите аналитические условия, определяющие параллелограмм ABCD:

(a)A(3; 1), B( 1; 5), C( 2; 4);

(b)A( 3; 2), B( 1; 1), C(3; 0).

295.Даны линейные трехчлены L1 = x y 3, L2 = 4x+4y+1, L3 = 3x 3y+2, L4 = x+y 4. Выясните, что представляет собой фигура :

(a)= f(x; y) : L1 0; L2 0; L3 0; L4 0g,

(b)= f(x; y) : L1 < 0; L2 < 0; L3 > 0; L4 > 0g.

296.Даны две точки A(1; 2), B( 4; 7). Выясните, разделены ли эти точки прямой g, заданной уравнением:

(a)x 3y + 5 = 0,

305.Даны две прямые (AC) : x+y 1 = 0, (BD) : x+2y 2 = 0 и точки P (1; 1), Q( 1; 3),

R(3; 2), S( 2; 1), T (4; 1).Точка P лежит внутри угла AMB (M - точка пересечения данных прямых). Выяснить, в каких углах лежат остальные точки.

306.Написать условия, определяющие выпуклый угол BAC, если:

(a)A(1; 1), B(2; 1), C(3; 0);

(b)A(1; 1), B(2; 1), C(3; 2);

(c)A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

307.Найти необходимые и достаточные условия для того, чтобы точка (x0; y0) лежала внутри треугольника, ограниченного прямыми A1x + B1 + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0,

A3x + B3y + C3 = 0.

308.Даны пересекающиеся прямые A1x+B1y+C1 = 0, A2x+B2y+C2 = 0 и точка M0(x0; y0), не принадлежащая ни одной из них. Найти направления сторон того из четырех углов, ограниченных данными прямыми, в котором лежит данная точка M0.

11 Уравнение окружности. Прямая и окружность

При каких условиях на коэффициенты aij (i; j = 0; 1; 2) в ортонормированном репере фигура = fM(x; y)ja11x2 + a22 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0g есть:

(a)окружность;

(b)точка;

(c)= ;.

309.Составить уравнение окружности, проходящей через точки A(2; 0), B(5; 0) и касающейся оси Oy.

310.Выяснить взаимное расположение каждых двух из трех данных окружностей: x2 +y2

6x + 2y + 1 = 0, x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0, x2 + y2 10y = 0.

311.В окружность x2 + y2 = 169 вписан квадрат ABCD. Найти координаты вершин B, C и D, если вершина A имеет координаты (5; 12).

312.Даны окружности x2 + (y 1)2 = 9, (x + 2)2 + y2 = 4. Вычислить расстояние между данными окружностями.

313.Дана окружность x2 +y2 = 4. Составить уравнение прямой l, параллельной оси абсцисс

ипересекающей окружность в таких точках M и N, что jMNj = 1.

314.При каком необходимом и достаточном условии прямая Ax + By + C = 0 касается окружности x2 + y2 = R2?

315.Составьте уравнения касательных, проведенных к окружности x2 + y2 9 = 0, проходящей через точку M(5; 0).

316.Составить уравнения касательных, проведенных к окружности x2 + y2 9 = 0, проходящей через точку M(5; 0).

317.Две окружности касаются внешним образом в точке A, а общая касательная к ним касается окружностей в точках B и C. Доказать, что угол BAC прямой.

318. Дана окружность x2 + y2 = 9. Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат, точку A(1; 0) и касающейся данной окружности.

319. Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, стороны которого лежат на прямых x = 0, y = 0, 3x + 4y 12 = 0.

320. Через точку P , лежащую внутри (вне) окружности !(O; R), проведена хорда AB. До-

! !

казать, что произведение P A P B не зависит от направления хорды.

321.Найти степени точек A(2; 1), B(3; 7), C(0; 1) относительно окружности x2 +y2 2x = 0.

322.Определить радикальную ось двух окружностей x2 + y2 6x + 2y 6 = 0, x2 + y2 + 4x + 2y + 4 = 0.

323.Найти радикальный центр трех окружностей: x2 +y2 +x+2y = 0, x2 +y2 +2x+2y+3 = 0, x2 + y2 + 3x + y 1 = 0.

324.Дана окружность. Проведены все хорды, имеющие общий конец. Найти множество точек, делящих эти хорды в равных отношениях, считая от общего конца.

325.Постройте фигуру F1, гомотетичную окружности F , приняв за центр гомотетии точку, принадлежащую окружности.

326.Сколько центров гомотетии имеют две окружности? Могут ли две окружности не иметь центра гомотетии? Построить центр гомотетии двух окружностей, одна из которых расположена внутри другой.

327.Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Прямая пересекает окружности в точках M, N; P , Q, расположенных последовательно. Доказать, что \MAP =

\NAQ.

328.Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке P . Доказать, что луч AP - биссектриса угла MAN. Сформулировать и доказать аналогичную теорему для случая внешнего касания окружностей.

329.Две окружности касаются внешним образом. Через центр гомотетии с положительным коэффициентом, отображающим одну окружность на другую, проведена прямая, пересекающая окружности в гомотетичных точках A и B. Доказать, что из точки касания окружностей отрезок AB виден под прямым углом.

12Расстояние от точки до прямой

330.Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых:

(a)4x + 3y + 6 = 0,

(b)x y 3 = 0,

(c)2x + 3 = 0,

(d)y + 1 = 0,

(e)45x 35y 3 = 0,

21

(f)p x + p y + 2 = 0. 5 5

331.Найти расстояние от точки до прямой в каждом из следующих случаев:

(a)M1( 1; 5), 4x + 3y 5 = 0;

(b)M2(35 ; 3), 5x 12y 6 = 0;

(c)M3( 3; 4), x + 2y + 3 = 0.

332.Найти расстояние от точек A(1; 2), B( 1; 3) и C(1; 6) до прямой 3x 4y + 1 = 0.

333.Найти длины высот треугольника, стороны которого заданы уравнениями y 2 = 0,

2x y 12 = 0, 4x 11y + 30 = 0.

334. Написать уравнение окружности с центром в точке P (6; 3) и касающейся прямой

3x 4y 15 = 0.

335.Найти уравнение окружности, концетрической с окружностью x2 +y2 4x+6y 17 = 0

икасающейся прямой 3x 4y + 7 = 0.

336.Найти уравнение окружности, проходящей через точки (2; 3) и (3; 6) и касающейся прямой 3x 4y + 7 = 0.

337.Найти расстояние между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

(a)x + 3 = 0, x 5 = 0;

(b)3x y + 6 = 0, 6x 2y 1 = 0;

(c)3x + 4y + 2 = 0, 3x 4y + 7 = 0;

(d)x + y 5 = 0, 2x + 2y + 9 = 0.

338.Через точку M( 1; 4) проведена прямая, расстояние которой до точки Q( 2; 1) равно 5. Составить ее уравнение.

339. Через точку P (1; 1) провести касательные к окружности, имеющей центр в точке p

C(1; 3) и радиус, равный 2 2.

340. К окружности, имеющей центр в точке (1; 2) и радиус, равный 5, провести касательные, параллельные прямой 3x + 4y + 1 = 0.

341. В точке A(2; 6), лежащей на окружности (x + 2)2 + (y 3)2 = 25, провести касательную к данной окружности.

342. Составить уравнения касательных к окружности (x 1)2 + (y + 3)2 = 40, перпендикулярных прямой 3x + y 4 = 0.

343. Составить уравнения окружностей, касающихся прямой 2x y 5 = 0, проходящих p

через точку M(2; 3) и имеющих радиус r = 2 5.

344.Составить уравнения прямых, отстоящих от прямой 4x 3y 7 = 0 на расстоянии, равном 3.

345.Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух параллельных прямых:

(a)2x 5y + 6 = 0, 2x 5y 8 = 0;

(b)3x + 5y + 8 = 0, 3x + 5y + 2 = 0.

346.На прямой x + 2y 12 = 0 найти точки, равноудаленные от прямых x + y 5 = 0 и 7x y + 11 = 0.

347.В каждом из следующих случаев найти уравнения биссектрис углов, образованных прямыми:

(a)x 3y + 2 = 0 и 3x + y 1 = 0,

(b)x + 2y + 5 = 0 и 4x 2y 3 = 0, p

(c)3y x = 12 и 3x + 4y 15 = 0.

348.Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми x+2y 5 = 0 и 3x 6y+2 = 0, в котором лежит начало координат.

349.Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 2x y+7 = 0 и 3x 6y 8 = 0, в котором лежит точка M(1; 2).

350.Составить уравнения окружностей, касающихся двух данных прямых 3x + 4y 10 = 0

и5x 12y + 26 = 0 и имеющих радиус, равный 5.

351.Составить уравнения окружностей, касающихся пересекающихся прямых x 2y +4 = 0

иx + 2y = 0 и проходящих через точку M(1; 0).

352.Составить уравнения окружностей, касающихся паралельных прямых x 2y + 13 = 0

иx 2y + 3 = 0 и проходящих через точку ( 1; 2).

353.Треугольник ABC задан уравнениями своих сторон: 4x 3y 65 = 0, 7x 24y + 55 = 0

и3x + 4y 5 = 0. Составить уравнения биссектрис данного треугольника и найти координаты точки их пересечения.

354.Найти уравненя биссектрис внутренних углов треугольника, образованного прямыми y = 0, 3x 4y = 0, 4x + 3y 50 = 0.

355.Даны уравнения сторон треугольника x 2 = 0, y + 3 = 0, 4x + 3y 11 = 0. Составьте уравнения вписанной и и вневписанной окружностей.

356.Даны вершины треугольника A(1; 2), B( 1; 6) и C(5; 10). Составить уравнения сторон ромба AMNP , вписанного в треугольник так, что вершина M принадлежит стороне AB, вершина N - стороне BC и вершина P - стороне AC.

357.Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: x + 3y + 12 = 0 и x + 3y 8 = 0 и уравнение одной из его диагоналей 2x + y + 4 = 0.

13Угол между прямыми

358.В каждом из следующих случаев найти угол, образованный двумя прямыми, заданными в определенном порядке своими уравнениями (предполагается, что плоскость ориентирована при помощи системы координат):

(a)3x + y 6 = 0, 2x y + 6 = 0;

pp

(b) 3x 3y + 6 = 0, 3x y 5 = 0;

(c)x 2y + 1 = 0, 6x + 3y 2 = 0.

359.Через точку ( 1; 5) провести прямые, наклоненные к прямой x y + 3 = 0 под углом, тангенс которого равен:

(a)35;