Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ярославский Государственный Медицинский Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

I

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2016

Размер:

410.05 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

464. Вычислить тангенс угла между асимптотами гиперболы, зная ее эксцентриситет ".

465. Составить уравнение касательной к гиперболе x2 y2 = 1 в точке:

9 4

(a)A(4; 2 ), 3 p

(b)B( 4; 2 3 7),7

9 p

466. Составить уравнения пары касательных к гиперболе x2 y2 = 1, проходящей через

точку:

4 5

(a) A(32; 1),

(b) B(32; 1),

467. Составить уравнение касательной к гиперболе x2 y2 = 1, если касательная:

9 36

(a)параллельна прямой x y 17 = 0,

(b)перпендикулярна прямой 2x + 5y 11 = 0.

468. Какое ограничение следует наложить на угловой коэффициент прямой y = kx + b,

чтобы прямая была касательной к гиперболе	x2	y2		= 1?
		+
	a2		b2

469. При каком необходимом и достаточном условии прямая Ax + By + C = 0:

x2 y2

(a) Касается гиперболы a2 b2 = 1,

(b) пересекает гиперболу;

(d) имеет с гиперболой одну общую точку, но не является касательной?

470. Доказать, что асимптоты гиперболы высекают на любой касательной отрезок, который точкой касания делится пополам.

471. Доказать, что площадь треугольника, ограниченного асимптотами и касательной ги-

x2 y2

перболы a2 b2 = 1, не зависит от выбора касательной.

472.Доказать, что касательная к гиперболе образует равные углы с прямыми, проходящими через точку касания и фокусы гиперболы.

473.Найти множество точек, симметричных с одним из фокусов гиперболы, относительно касательных к этой гиперболе.

x2 y2

474. Найти множество середин хорд гиперболы a2 b2 = 1, имеющих угловой коэффициент k 6= 0.

475. Доказать, что касательная к гиперболе параллельна диаметру, сопряженную с диаметром, проходящим через точку касания.

	x2	y2		x2	y2
476. Написать уравнение гиперболы: 1):			= 1, 2):			= 1 в обобщенной поляр-
	9	4		16	9

ной системы координат, у которой полюс совпадает с одним из фокусов гиперболы, а полярная ось проходит в направлении от другого фокуса к полюсу.

477.Написать каноническое уравнение гиперболы, если в обобщенной полярной системе координат (полюс совпадает с одним из фокусов гиперболы, а полярная ось проходит в направлении от другого фокуса к полюсу) она имеет уравнение:

(a)	p		p		3p			,
		3(		2		5cos')
(b)				9			.
(b)	p			p			.
		4			5cos'

478.В равнобочную гиперболу вписан треугольник ABC. Доказать, что его ортоцентр H принадлежит гиперболе.

19 Парабола

479. Постройте несколько точек параболы y2 = 2px, пользуясь ее определением:

(a) p = 2,

(b) p = 3,

480. Найти множество центров окружностей, проходящих через даннуб точку и касающихся данной прямой.

481. Вычислить координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы:

(a) y2 = 6x,

(b) y2 = 3x,

(d) y2 = 5x.

482. Составить уравнение параболы y2 = 2px, проходящей через точку

(a) A(2; 1),

(b)B( 1; 5),

(c)C( 6; 3), p

(d)D( 1; 2).

483.Дан прямоугольник ABCD. Стороны AB и BC разделены на n равных частей: jAA1j = jA1A2j = ::: = jAn 1Bj, jBB1j = ::: = jBn 1Cj. Проведены прямые A1C1, A2C2; :::; An 1Cn 1, параллеьные BC. Доказать, что точки пересечения прямых An и AkBk (1 k n 1) принадлежат параболе.

484.Составить уравнение параболы, если даны координаты фокуса F (5; 0) и уравнение директрисы:

(a)x = 3,

(b)x = 1,

(c)x = 7,

(d)x = 0.

485.Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которой p = 0; 1. Вычислить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 м от место выхода.

486.Мостовая арка имеет форму параболы. Вычислить параметр параболы, зная, что пролет арки равен 24 м, а высота 6 м.

487.Камень, брошенный под острым углом к горизонту, описал дугу параболы и упал на расстоянии 16 м от начального положения. Определить параметр параболической траектории, зная, что наибольшая высота, достигнутая камнем, равна 12 м.

488.Найти образ параболы y2 = 2px при гомотетии с центром в фокусе параболы и коэффициентом k = 2.

489.Найти образ параболы y2 = 2px при повороте:

(a)R090o ,

(b)R0 90o .

490.Найти образ параболы y2 = 2px при композиции поворота с центром в начале координат

на угол 90	o	a	m	n	).
на угол 90		и параллельного переноса !	= ( ;		).

491.Провести такую хорду параболы y2 = 4x, которая делилась бы пополам точкой

(a)A(2; 1),

(b)B(3; 1),

(c)C(4; 2).

492.На оси параболы на равных расстояниях от вершин взяты точки A и B. Проведена некоторая хорда CD, перпендикулярная оси параболы. Написать уравнение множества точек пересечения прямых DA и CB.

493.Составить уравнение касательной к параболе y2 = 3x в точке:

(a)A(3; 3),

(b)B(12; 6),

(c)C(1; 3),

(d)D(34 ; 32 ).

494.Составить уравнения касательных к параболе y2 = 2x, проходящих через точку:

(a)A(0; 1),

(b)B(2; 0),

(c)C( 1; 2).

495.Дана парабола y2 = 8x. Составить уравнение касательной, которая:

(a)параллельна прямой x + y 2 = 0,

(b)перпендикулярна прямой 2x y + 5 = 0,

(c)образует с прямой x y + 7 = 0 угол 45o.

496.Дано уравнение касательной x 3y + 9 = 0 к параболе y2 = 2px. Составить уравнение параболы.

497.При каком необходимом и достаточном условии прямая Ax + By + C = 0

(a)касается параболы y2 = 2px,

(b)пересекает параболу в двух точках,

(c)не имеет с параболой общих точек?

498.Доказать, что касательные, проведенные к параболе в конце хорды, проодящей через фокус, взаимно перпендикулярны.

499.К параболе проведена касательная. Доказать, что фокус параболы равноудален от точки касания и от точки пересечения касательной с осью параболы.

500.Найти множество проеций фокуса параболы на все ее касательные.

501.Доказать, что касательная к параболе образует равные углы с прямыми, проходящими через точку касания, одна из которых параллельна оси, а другая проходит через фокус параболы.

502.Из произвольной точки директрисы параболы проведены к ней касательные. Доказать, что фокус параболы принадлежит прямой, проходящей через полученные точки касания.

503.Доказать, что множество точек, симметричных фокусу параболы относительно ее касательных, есть директриса.

504.К параболе проведены касательные в двух ее произвольных точках M1 и M2. Доказать, что прямая, проходящая через фокус F параболы и точку пересечения касательных, делит угол M1F M2 пополам.

505.Найти множество середин хорд параболы y2 = 2px, имеющих один и тот же угловой коэффициент.

506.Доказать, что касательная к параболе имеет направление, сопряженное с диаметром, проходящим черех точку касания.

507.Написать уравнения парабол:

(a)y2 = 6x,

(b) y2 = 5x,

в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом параболы, а поляр-

! !

ная ось - с осью абсцисс системы координат (O; i ; j ).

508.Доказать, что параболы y2 = 2x + 1 и y2 = 2x + 1 имеют общий фокус и что они пересекаются ортогонально.

Ответы и указания

4. Указание. Воспользуйтесьрезультатом задачи 3.

P E

P F

- середина отрезка

5. а). Пусть P - произвольная точка. !

= !

!. Так как

P F

P C P D

P E

P A P B

то !

(! + !), аналогично

(! +

!). Тогда после подстановки получим:

! =

(! + ! ! !) =

!).

P C P D P A P B

AC BD

6.a).Проверьте, что середины отрезков AP1, BP2, CP3 совпадают.

7.б). Задача может быть решена тремя способами. Убедитесь, что во всех трех случаях

получается одна и та же точка.

. б). !

8. а).

!1 + !1 = !

BB CC 0

P L + KN + MQ = 0

A A A

! =

A A A

23. а). Пусть 1 и

2 - центроиды треугольников

4 и

3 4. Тогда

)

+ !

)

1. В общем случае

Коэффициент гомотетии

24. б). Пусть в композиции симметрий с центрами A, B, C и D точка P0 последовательно

отображается на точки P1, P2, P3 и P4

. В силу правила середины отрезка:

= 2! !

= 2!

! =

= 2(!

!) 2( !+

C B

P P

!). Полученный результат доказывает, что действительно вектор !0 4 не зависит от выбора

точки P0 и подсказывает способ построения точки P4 без выполнения композиции данных

центральных симметрий.

28. Необходимость. Пусть точка C делит отрезок AB в отношении , то есть

= ,

или ! =

!. Отсюда ! ! =

(! !), или !(1 +

) =

! +

! + !

!. ! =

1 + .

AC CB

C A B C

A B C

30. б). Выразите радиус-векторы точек M

, N, K, L через !,

, !,

! и, учитывая, что

MNKL - параллелограмм, то есть ! +

! =

! + !, покажите, что !

+ ! =

! + !. При

= 1 утверждение не верно.

(

= 2 3

)

31.

iOA

+ (1

; : : : ; k

i OA

;

34. Пусть A1, B1, C1, D1 - центроиды граней, противолежащих соответственно вершинам A, B, C, D данного тетраэдра. Для каждого из отрезков AA1, BB1, CC1, DD1 проверьте, что радиус-вектор точки, делящей его в отношении 3, считая от вершины тетраэдра, равен

(! +

! +

!).

37. Примите точку G = G1

за полюс. Тогда

1. (1)

+ ! + ! =

!1 +

+ !

! +

Пусть

1 =

1 + 1

, !

. Используя равенство (1) полу-

1(!

(! +

1 + 2

1 + 3

!) +

2! !

A B

A A

чаем:

=!. Векторы

и ! не коллинеарны,

1 + 1

1 + 2

1 + 3

поэтому коэффициенты при !

и ! в левой части полученного уравнения равны нулю:

= 0:

1 + 1

1 + 2

1 + 3

1 1

= 0:

1 + 1

1 + 2

1 + 3

После сложения этих равенств получим

1 2 1

2 2

+ 1 = 0;

1 + 1

1 + 2

или

1 + 2 2 1 2 1 2 + 2 + 1 2 2 2 1 + 1 + 1 + 2 + 1 2 = 0:

Отсюда 1 = 2. Аналогично доказывается, что 2 = 3.

38. а). Примите точку M за начало векторов. Прямая, проходящая через середину отрезка

A3A4 параллельно вектору !12, выражается рпвенством

! =

+ !4

2). При

= 1 получим на этой прямой некоторую точку M

, для которой

+ !

3 +

4). К этой же точке приходим в пяти остальных случаях. Точки

симметричны

относительно центроида, определенного данной четверкой точек.

44.

а):

! :

! = (1 + )( );

P R

(1 + )(

)

б):

! :

! =

+ + +

1 + +

§3

63.

1. Методом от противного проверьте, что два неколлинеарных вектора ! и

линейно

независимы.

2. Далее убедитесь, что любой вектор ! плоскости можно разложить по векторам ! и

!. Рассмотрите случаи:

;

(a) !jj! или

!jj

(b) ! !,

65.Доказательство проводится в той же последовательности, как и в задаче 63.

68. а). Достаточность. Примите точку A за полюс. Тогда в силу условия:

!1 =

1 + 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.03.20161.25 Mб745GOLD-2014.pdf
#
30.08.2019144.38 Кб25Gonoreya.doc
#
07.05.2019110.08 Кб20GO__i____MSGO.doc
#
24.03.20161.29 Mб17HDR - фотография. Часть 3.pdf
#
17.12.201860.45 Кб28hirurgicheskoe_otdelenie (2).docx
#
24.03.2016410.05 Кб48I.pdf
#
14.03.20152.78 Mб17Ideal.rtf
#
24.03.20161.97 Mб431IGA-test-lech (3).doc
#
14.03.2015488.07 Кб9index.pdf
#
06.09.2019144.38 Кб1istoria_bolezn.doc
#
24.03.2016145.41 Кб22kardiomiopatii.doc