- •Оглавление
- •1. Кинематика поступательного и вращательного движения. @
- •1.2. Кинематические характеристики и уравнения поступательного движения. @
- •1. 3. Частные случаи движения.@
- •2. Динамика поступательного движения. @
- •2.2. Законы и.Ньютона. @
- •2. 3. Закон сохранения импульса. @
- •2. 4. Центр масс. Закон движения центра масс. @
- •2. 5. Принцип реактивного движения. Уравнение движения тела с переменной массой. @
- •2.6. Энергия, работа, мощность. @
- •2.7. Кинетическая и потенциальная энергии. @
- •2.8. Связь потенциальной энергии тела и действующей на него консервативной силы. @
- •2.9. Закон сохранения и превращения энергии в механике. @
- •3. Динамика вращательного движения. @
- •3.1. Основные характеристики динамики вращательного движения. @
- •3. 2. Работа и кинетическая энергия при вращательном движении твердого тела. @
- •3. 3. Основное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. @
- •4. Колебательное движение. @
- •4.1. Основные характеристики гармонического колебания. @
- •4.2. Скорость и ускорение при гармоническом колебании. @
- •4. 3. Гармонический осциллятор. Примеры гармонических осцилляторов. @
- •4. 5. Вынужденные колебания. Механический резонанс. @
- •5. Волновые процессы@
- •5.1. Понятие о волнах. Виды волн.@
- •6. Элементы релятивистской механики.@
- •6.1. Преобразования Галилея и механический принцип относительности. @
- •6. 2. Постулаты специальной (частной) теории относительности. @
- •6. 3. Преобразования Лоренца. @
- •6. 4. Следствия из преобразований Лоренца. @
- •1. Одновременность событий в разных системах отсчета.
- •2. Длина тел в разных системах отсчета.
- •3. Длительность событий в двух разных системах отсчета.
- •Мы получили, что
- •4. Релятивистский закон сложения скоростей.
- •6. 5. Основной закон динамики релятивистской частицы. @
- •6. 6. Взаимосвязь массы и энергии. Закон сохранения энергии в релятивистской механике. @
- •6.7. Общая теория относительности. @
4. 3. Гармонический осциллятор. Примеры гармонических осцилляторов. @
Тела, которые при движении совершают гармонические колебания, называют гармоническими осциляторами. Рассмотрим ряд примеров гармонических осциляторов.
Пример1. Пружинный маятник – это тело массой m, способное совершать колебания под действием силы упругости невесомой (mпружиныmтела) пружины (рис.4.2).
Рис.4.3. Физический
маятник.
Пример 2. Физический маятник - это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг подвижной горизонтальной оси, не совпадающей с его центром тяжести С (рис. 4. 3). Ось проходит через точку О. Если маятник отклонить от положения равновесия на малый угол и отпустить, он будет совершать колебания, следуя основному уравнению динамики вращательного движения твердого тела , гдеJ - момент инерции маятника относительно оси, М ‑ момент силы, возвращающей физический маятник в положение равновесия. Он создается силой тяжести , ее момент равен(l=ОС). В результате получаем . Это дифференциальное уравнение колебаний для произвольных углов отклонения. При малых углах, когда ,или, принимая, получим дифференциальное уравнение колебания физического маятника. Его решения имеют видили. Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотойи периодом.
Пример3. Математический маятник - это материальная точка с массой m (тяжелый шарик малых размеров), подвешенная на невесомой (по сравнению с m шарика), упругой, нерастяжимой нити длинною l. Если вывести шарик из положения равновесия, отклонив его от вертикали на небольшой угол , а затем отпустить, он будет совершать колебания. Если рассматривать данную систему как физический маятник с моментом инерции материальной точки J = ml2, то из формул для физического маятника получим выражения для циклической частоты и периода колебаний математического маятника
, .
4. 4. Затухающие колебания. @
В рассмотренных примерах гармонических колебаний единственной силой, действующей на материальную точку (тело), была квазиупругая сила F и не учитывались силы сопротивления, которые присутствуют в любой реальной системе. Поэтому рассмотренные колебания можно назвать идеальными незатухающими гармоническими колебаниями.
Наличие в реальной колебательной системе силы сопротивления среды приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не пополнять за счет работы внешних сил, колебания будут затухать. Затухающими называются колебания с уменьшающейся во времени амплитудой.
Рассмотрим свободные затухающие колебания. При небольших скоростях сила сопротивления FC пропорциональна скорости v и обратно пропорциональна ей по направлению , гдеr - коэффициент сопротивления среды. Используя второй закон Ньютона, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний ,,. Обозначим,. Тогда дифференциальное уравнение приобретает вид:
Рис.4.4. Зависимость
смещения и амплитуды затухающих
колебаний от времени.
Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Здесь 0 - собственная частота колебаний системы, т.е. частота свободных колебаний при r=0, - коэффициент затухания определяет скорость убывания амплитуды. Решениями этого уравнения при условии 0 являются
либо .
График последней функции представлен на рис.4.4. Верхняя пунктирная линия дает график функции , А0 - амплитуда в начальный момент времени. Амплитуда во времени убывает по экспоненциальному закону, - коэффициент затухания по величине обратен времени релаксации , т.е. времени за которое амплитуда уменьшается в e раз, так как
, , = 1, . Частота и период затухающих колебаний,; при очень малом сопротивлении среды (202) период колебаний практически равен . С ростом период колебаний увеличивается и при >0 решение дифференциального уравнения показывает, что колебания не совершаются, а происходит монотонное движение системы к положению равновесия. Такое движение называют апериодическим.
Для характеристики скорости затухания колебаний служат еще два параметра : декремент затухания D и логарифмический декремент . Декремент затухания показывает во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время одного периода Т.
Н
Рис.4.5. Вид
резонансных кривых.
. Так как, то, гдеN - число колебаний за время.