Приложение 1 Элементарные сведения о матрицах
При решении задач строительной механики нередко приходится обращаться к операциям над матрицами
Матрицей А называют систему элементов aij , расположенных в определенном порядке и образующих таблицу, которая состоит изmстрок иnстолбцов.
Матрицу А записывают в виде
А =
m
n
Здесь aij - элемент матрицы, где первый индекс означает номер строки, второй – столбца.
Заметим, что матрицу не следует путать с определителем. Матрица – это все лишь таблица.
В зависимости от количества строк и столбцов различают несколько видов матриц. Рассмотрим некоторые из них.
1. Матрица – столбец ( n=1)
a=
2. Матрица – строка (m= 1)
b=
Для компактности матрицу – столбец можно записать в строчку. Такая операция называется транспонированием.
aT
=
Матрица- строка аТ- это транспонированная матрица – столбец а. Значок Т означает операцию транспонирования..
2. Прямоугольная матрица, содержащая mстрок иnстолбцов.
Пример.
Матрица размером 4 х 6 имеет вид
А =
3. В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.
А =
В этом случае говорят, что “матрица имеет порядок равный m”.
В строительной механике часто встречаются матрицы, элементы который симметричны относительно диагонали, образованной элементами с одинаковыми индексами.
Транспонирование матриц.
Если в матрице А поменять местами столбцы на строки ( первую строку сделать
первым столбцом, вторую строку – вторым и т.д.), то получают матрицу АТ, которая называется транспонированной по отношению к матрице А.
Пример.
А =
, АТ =
Над матрицами, как и над числами по определенным правилам можно проводить различные алгебраические действия. Познакомимся только с некоторыми из них, которые нужны для решения учебных задач по строительной механике.
Сложение матриц.
Суммой матриц А и В называют такую матрицу С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Складывать можно лишь матрицы, имеющиеся одинаковое количество строк и одинаковое число столбцов.
Пример.Сложение двух столбцов
Пример. Сложение двух прямоугольных матриц
Умножение матрицы на постоянное число.
Это действие сводится к умножению всех элементов матрицы на это число.
Пример
Умножение матрицы строки на матрицу столбец
Результат этого умножения – число, полученное сложением произведений первого элемента строки на первый элемент столбца, второго – на второй и т.д.,
Пример
Умножение прямоугольных матриц.
Произведение матриц получается перемножением строк матрицы А на столбцы матрицы В.
Пусть даны две квадратные матрицы
А =
и В =
.
Произведением матриц А и В будет матрица
АВ =
.
В результате умножения двух квадратных матриц получается матрица того же порядка, что и перемножаемые.
Матрицы А и В могут быть и не квадратными. Важно лишь, чтобы число столбцов матрицы А n1равнялось числу строк матрицы Вm2.
Произведение матрицы А, размером m1 xn1, на матрицу В, размеромm2xn2 , равно матрице С, размеромm1xn2.
Пример.
Пример
А[(m1 =4)x(n1 =4)],B[(m2= 4)x(n2=2)]
Результат умножения – матрица, размером (m=4)x(n=2).
Пример
Число
столбцов в одной матрице должно быть
равно числу строк в другой.
Упражнения.
1.Сложить матрицы А и В
А =
,B=
2. Умножить матрицу А на матрицу В
а) А =
В =
б) А =
В =
в) А =
В =
Оглавление