ВАРИАНТ XXIX

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра математического моделирования

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

по дисциплине “Математический анализ” Методические указания для студентов первого курса Физического факультета ТюмГУ

Тюмень, 2005

Простое повествовательное предложение, принимающее истинное или ложное значение называют простым высказыванием.

Из простых высказываний можно составить сложные высказывания (как сложные предложения с помощью союзов “и”, ”или”, ”не”, ”если …, то”, ”тогда и только тогда, когда …”). При построении из простых высказываний более сложных высказываний имеем дело с операциями над высказываниями.

Отрицание.

Определение 1. Отрицанием высказывания a называется новое высказывание, обозначаемое a либо 7a и являющееся противоположным по смыслу высказыванию a. При письме отрицание образуется при помощи частицы” не”, а символ a читается “не а”.

Операция отрицания является унарной операцией (операция над одним высказыванием). Отрицание a принимает два значения И либо Л.

Пример: Пусть высказывание а: “Москва – столица России”, принимает значение И, тогда высказывание a: “Москва – не является столицей России”, принимает значение Л.

Таким образом, значения принимаемые высказыванием и его отрицанием можно представить в виде таблицы:

Дизъюнкция двух высказываний

Определение 2. Пусть а и b высказывания, тогда сложное высказывание с, обозначаемое с = a V b, называется дизъюнкцией двух высказываний а и b.

4

При написании сложного предложения простые предложения (высказывания) соединяются союзом “или”, “либо”.

Пример: Высказывание Р = (100 делится либо на 2, либо на 3) – есть дизъюнкция двух высказываний: а = (100 делится на 2), b = (100 делится на 3 (имеется в виду без остатка)), одно из которых истинно, другое ложно. Р = ( а V b) = И (истинно).

Дизъюнкция двух высказываний - бинарная операция (операция над двумя высказываниями), как и ниже рассматриваемые операции. Приведём таблицу значений для дизъюнкции высказываний а и b:

Как видно из таблицы значений, дизъюнкция двух высказываний истинна, если хотя бы одно высказывание истинно.

Конъюнкция двух высказываний

Определение 3. Пусть а и b высказывания, тогда сложное высказывание с, обозначаемое с = a Λ b, называется конъюнкцией двух высказываний а и b.

При письме простые предложения (высказывания) соединяются союзом “и”.

Пример: Высказывание Р = (100 делится на 2 и на 4 без остатка) – есть конъюнкция двух высказываний: а = (100 делится на 2 без остатка)

5

и b = (100 делится на 4 без остатка). Таблица значений конъюнкции двух высказываний имеет вид:

Отметим, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Импликация двух высказываний

Определение 4. Пусть а и b – высказывания, тогда с = а b – сложное высказывание, которое называется импликацией двух высказываний а и b. При этом а называется посылкой, а b – заключением. При письме импликация соответствует союзу “если … , то …”.

Примеры:

1). Р = (если 100 делится на 4 без остатка, то оно делится и на 2 без остатка) – есть импликация двух высказываний:

а = (100 делится на 4 без остатка) и b = (100 делится на 2 без остатка). Оба высказывания истинны. Импликация Р = (а b) – также истинна.

2). Р = (если у льва есть когти, то снег белый) – есть импликация двух высказываний: а = (у льва есть когти) и b = (снег белый). Оба высказывания истинны и импликация Р = а b – истинна [ 1 ].

6

Легко заметить, что в отличие от двух предыдущих бинарных операций импликация не является коммутативной операцией, т.е.

а b ≠ b a.

Таблица значений импликации:

Импликация принимает значение ложь только в том случае, когда из истинной посылки следует ложное заключение (неверный вывод). Представляется интересным, что при ложной посылке, но истинном заключении импликация истинна.

Пример. Р = (если 2 2=5, то 3 3=9) = И, хотя посылка 2 2=5 ложна, но заключение то 3 3=9 истинно.

Эквиваленция двух высказываний

Определение 5. Пусть а и b – высказывания, тогда с = а b – сложное высказывание, которое называется эквиваленцией двух высказываний а и b. Логическая операция при этом называется эквивалентностью высказываний.

При письме эквиваленция соответствует союзу “тогда и только тогда, когда … ”.

Пример. Р = [(х2 + у2 = 0) (х = 0 ) Λ (у = 0)] – эквиваленция двух высказываний: а = (х2 + у2 = 0) и b = (х = 0 ) Λ (у = 0).

7

При письме это выглядит так х2 + у2 = 0 тогда и только тогда, когда х = 0 и у = 0 одновременно.

Таблица значений эквиваленции:

Эквиваленция истинна тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.

Пользуясь введёнными логическими операциями, можно из простых высказываний строить сложные высказывания. Например, пусть r = q Λ (p V u) – есть сложное высказывание ( конъюнкция высказывания q с дизъюнкцией высказываний p и u), R = (q Λ p) V (q Λ u) – сложное высказывание (дизъюнкция двух конъюнкций высказываний). Можно из них построить более сложные Q = (r R), что при любых зна-

чениях входящих высказываний p,q,u соответствует сложному высказыванию q Λ (p V u) (q Λ p) V (q Λ u) (доказать самостоятельно). Это выражение определяет свойство дистрибутивности операции конъюнкции относительно операции дизъюнкции.

Свойства введённых выше логических операций даны в [1],[2].

8

чертой указываются условия, которым должен удовлетворять элемент х, чтобы принадлежать рассматриваемому множеству; синонимы: набор, совокупность, система, комплект, класс” [3].

По-видимому, такое определение оставляет чувство неудовлетворённости, поскольку заменяется синонимами и содержит в себе обозначения множества.

Приведём цитату из книги Р.Т. Вольвачёв “Элементы математической логики и теории множеств” 1986 [1]: “Существенным в понятии “множество” является то, что, мы объединяем некоторые предметы в одно целое. Георг Кантор (1845 – 1918), немецкий математик, создатель теории множеств, так подчеркнул это обстоятельство: “Множество есть многое, мыслимое нами как единое”.

Думается, что определение Кантора более симпатично, поскольку довольно краткое и точно отражает сущность понятия.

Так как на практике построение множеств осуществляется объединением рассматриваемых объектов в одно целое по какому – либо признаку, свойству или отношению, то можно дать следующее определение понятию множества:

Определение 2. Множество – нечто целое в рассматриваемом отношении, состоящее из частей, неделимых в данном отношении (эти части называют элементами множества).

Например, все мужчины на Земле составляют некоторое множество в отношении пола, каждый мужчина есть элемент этого множества. Если же рассматривать всех людей на Земле, то в этом отношении мужчины образуют подмножество мужчин во множестве всех людей, так же, как женщины образуют подмножество женщин множества людей.

Поэтому множество можно рассматривать и как множество и как подмножество некоторого другого множества в зависимости от того, в каком отношении его рассматривать. Такое понимание множества ис-

10

ключает противоречивое понятие множество всех множеств, являющееся тавтологией.

Множества принято обозначать большими буквами, например, А, B, C, D,…, X, Y, Z, … и т.д. Элементы этих множеств обозначают маленькими буквами: a, b, c, d, …, x,y,z, … и т.д.

Для обозначения принадлежности элемента множеству применяется квантор (значок) принадлежности (включения): , например, х Х (читается: х принадлежит множеству Х) либо Х х (читается множество Х содержит или включает элемент х).

Определение 3. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным множеством, в противном случае - бесконечным множеством.

Например, А = {a1, a2, a3, …,an}, где n – конечное число; X = {1, 2, 7, 8};

множество электроном в атоме и т.д. Множество натуральных чисел N – бесконечное множество.

Таким образом, множество может состоять из одного, двух, трёх, и т.д. элементов. Например, множество северных магнитных полюсов планеты Земля состоит из одного элемента, так как у земли один северный магнитный полюс; множество всех полюсов (включая и географические полюса), состоит из четырёх элементов; множество натуральных чисел: N = {1, 2, 3, …,n, n+1, …,∞} – бесконечное множество; Z = {-∞, …, -n, …, -2, -1, 0, 1, 2, …, n, n+1, …, …,+∞} так же бесконечное множество.

В теории множеств по необходимости вводится понятие пустого множества, обозначаемого . Это множество не имеет элементов. Например, = { x: sinх > 1, x R}; множество трёхголовых драконов в настоящее время на Земле есть пустое множество и т. д.

Определение 4. Все бесконечные множества, элементы которых можно занумеровать (т.е. каждому элементу множества присвоить но-

11

мер – число из множества натуральных чисел) называют счётными множествами.

Например, множество всех целых чисел; множество всех рациональных чисел Q = {q: q = mn , где m Z Λ n N} [6].

Бесконечные множества, все элементы которых не удаётся пронумеровать (т.е. не хватает чисел из N) называют несчётными множествами. Примером несчётного множества может служить множество всех вещественных чисел из отрезка [0,1] и др. множества [6].

Для дальнейшего нам понадобятся кванторы существования и общности аналогично рассмотренному выше квантору принадлежности. Кроме квантора принадлежности элемента х множеству Х: х Х, используют квантор включения для множеств: A B ( множество А входит или включено во множество B). Другими словами, множество А включено (содержится) в множестве B, если все элементы а множества А одновременно являются элементами множества B, т.е. все элементы множества А обладают признаком присущим элементам множества B. Приняты обозначения для отрицания принадлежности и включения:

(a A) a A a A (здесь три записи, выражающие одно и то же: элемент а не принадлежит множеству А).

Аналогично: (A B) A B A B.

Квантор существования :

х А: Ф(х) – существует элемент х принадлежащий множеству А и удовлетворяющий свойству Ф(х). Можно прочесть символьную запись и так: найдётся хотя бы одно х принадлежащее множеству А, обладающее свойством Ф(х).

Квантор общности :

х А – означает: для любого (для всех) х, принадлежащего (принадлежащих) множеству А.

12

Используя квантор включения, можно дать определения подмножества и равенства двух множеств.

Определение 5. Множество B называется подмножеством множества А, если все элементы множества B являются и элементами множества А.

Символическая запись этого определения запишется в виде:

B A a A a B.

Другими словами B – есть подмножество множества А, если

(B A) Λ (A B).

Определение 6. Два множества А и B называются равными, если

B A A B a B ( А = B А B Λ B A).

§ 3. Операции над множествами и их свойства.

Новые множества можно конструировать из имеющихся множеств с помощью операций над ними. Под операцией над множествами будем понимать правило, по которому из двух множеств строится третье множество.

Рассмотрим основные операции.

1. Объединение множеств.

Операция объединения множеств обозначается значком U. Пусть существуют не пустые множества A и B, тогда их объединением будет множество C, состоящее как из элементов множества A, так и из элементов множества B, взятых по одному разу:

x (C = A B) (x A) (x B).

Определение 1. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое АUB и состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат либо множеству А либо множеству В:

АUB = {x: x A V x B}, т.е. элементы х объединения АUB обладают качеством присущим элементам множества А либо элементам множества В.

13

Примеры:

1). Геометрический:

2). Алгебраический: {1, 2, 3}U{2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

Замечание.

Если Аi , i = 1, 2, 3, …, n, тогда можно определить

n

A = Ai = A1 A2 A3... An .

i=1

2.Пересечение множеств.

Операция пересечения обозначается значком . Пусть существуют не пустые множества А и В, тогда пересечением этих множеств будет множество С, состоящее из элементов принадлежащих одновременно множеству А и множеству В, взятых один раз:

x (C = A B) (x A) (x B).

Определение 1. Пересечением множеств A и B называется мно-

жество, обозначаемое A B и состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно множествам А и В: A B = {x: x A Λ x B}, т.е. элементы х пересечения A B обладают качеством присущем одновременно элементам множества А и элементам множества В.

Примеры:

1). Геометрический:

14

Если Аi , i = 1, 2, 3, …, n, тогда можно определить

n

A = Ai = A1 A2 A3... An .

i=1

3.Свойства операций объединения и пересечения множеств.

1). Операции объединения и пересечения множеств коммутативны:

A B = B A; A B = B A.

Определение 3. Любая операция T над множествами А и В называется коммутативной операцией, если она удовлетворяет условию ATB = BTA.

Доказательство коммутативности операций объединения и пересечения множеств очевидно, например, для объединения:

(x A B) (x A) (x B) (x B) (x A) (x B A), в силу

коммутативности логической операции – дизъюнкции.

2). Операции объединения и пересечения множеств ассоциативны:

A (B С) = (A B) C; A (B C) = (A B) C.

Доказательство для объединения:

x (A (B C)) ((x A) (x (B C))) (x A) (x B) (x C)

((x A) (x B)) (x C) (x (A B)) (x C) x ((A B) C),

аналогично доказывается в обратную сторону. Ч.Т.Д.

То же самое доказательство можно провести для пересечения (самостоятельно).

Определение 4. Любая операция T над множествами А, В и С называется ассоциативной, если удовлетворяет следующему условию АТ(ВТС) = (АТВ)ТС.

3). Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения множеств: А (В С) = (А В) (А С).

Доказательство

15

x (A (B C)) (x A) (x (B C)) (x A) [(x B) (x C)]

[(x A) (x B)] [(x A) (x C)] [(x (A B)] [x (A C)]

x [(A B) (A C)].

При доказательстве использовалась дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции, аналогично доказательство в обратную сторону. Ч.Т.Д. 4). Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения множеств: А (В С) = (А В) (А С). Доказательство аналогично пункту 3).(доказать самостоятельно).

Определение 5. Любая операция T называется дистрибутивной относительно операции , если удовлетворяет условию АТ(В С) = (АТВ) (АТС), для А, В.С.

4. Разность множеств. Дополнение.

Операция разности множеств обозначается значком “ \”. Пусть существуют не пустые множества A и B, тогда их разностью будет множество C, состоящее только из элементов множества A, не принадлежащих множеству B:

x (C = A \ B) (x A) (x B), т.е. элемент х разности А \ В, обладает признаком элементов множества А и не обладает признаком элементов множества В.

Определение 6. Разность двух множеств А и В называется множество, обозначаемое А \ В и состоящее только из тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В:

А\ В ={x : (x A) (x B)}.

16

Определение 7. Пусть множество А – подмножество множества Е. Дополнением множества А до множества Е называется множество Е \ А, обозначаемое СЕ А и состоящее из всех тех элементов множества Е, которые не принадлежат множеству А.

Если ясно, о каком множестве Е идёт речь, то вместо СЕ А пишут СА либо А(не надо путать с отрицанием). Поскольку последнее обозначение дополнения более удобно при записи, будем его употреблять:

А={x : (x E) (x A E)}.

Примеры разности множеств:

1). Геометрический:

2). Алгебраический: {1, 2, 3} \ {2, 3, 4, 5} = {1}.

Примеры дополнения множества:

1). Геометрический:

5. Симметрическая разность множеств.

Пусть А и В – не пустые множества, тогда их симметрической разностью называется множество, обозначаемое А ∆ В, состоящее из тех элементов, которые принадлежат А В, но не содержат элементов из множества А В.

17

Определение 8. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, обозначаемое А ∆ В и состоящее из тех элементов, которые принадлежат либо А \ В либо В \ А :

А∆В = (А\ В) (В\ А) (А В) \ (А В).

Примеры симметрической разности множеств:

1). Геометрический:

2). Алгебраический: {1, 2, 3} ∆ {2, 3, 4, 5} = {1, 4, 5}.

Свойства симметрической разности множеств определить самостоятельно,

например, А ∆ А = ; если А Е, то А ∆ Е = А.

6. Прямое произведение множеств.

Пусть А и В – не пустые множества, тогда их декартовым или прямым произведением называется множество, обозначаемым А × В, состоящее из пар (а, b) таких, что (а А)Λ(b В):

A×B ={(a,b) : (a A) (b B)}.

Так же множество С = А × В называют прямым, Декартовым произведением двух множеств А и В.

Определение 9. Декартовым (или прямым) произведением множеств А и В называется множество С, обозначаемое А × В и содержащее все пары (а,b), таких, что (а А) Λ (b B).

Пример. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {0, 1}, тогда А × В = {(1,0); (1,1); (2,0); (2,1); (3,0); (3,1); (4,0); (4,1); (5,0); (5,1)}.

B × A = {(0,1); (0,2); (0,3); (0,4); (0,5); (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5)}.

Откуда видно, что операция произведения двух множеств не коммутативна. А × А – декартово произведение множества А на само себя. Геометрическим образом декартова произведения R2 = R × R, является

18

множество точек на плоскости (двухмерное пространство). Геометрическим образом декартова произведения множества R трижды на себя: R3 = R × R × R – множество точек трёхмерного пространства. Аналогично можно построить n – мерное пространство: Rn = R × R × … × R (произведение множества R само на себя n раз). Для произведения различных множеств приняты следующие обозначения:

Пусть Аi i = 1, 2, 3,…, n,…; Аi ≠ для любого i, тогда

a = (a1, a2, …,an), где аi Ai, i = 1, 2, 3,…,n. В этом наборе на i – том ме-

сте стоит элемент из множества Аi [1].

Определение 10. Множество D ={(a,b) : a A b B a = b

называется диагональю множества А × В.

Например, D = {(1,1); (2,2); (3,3);…; (10,10)} является диагональю множе-

ства E2, где Е = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

§ 4. Отображение множеств.

Пусть Х и У не пустые множества.

Определение 1. Отображением F множества Х на множество У называется правило или закон, по которому каждому элементу х множества Х ставится в соответствие элемент у множества У.

При этом множество Х называется областью определения (задания) отображения F, а множество У называется множеством значений отображения F.

Для отображений приняты следующие обозначения:

F : X →Y x y y = F(x).

19

Первое обозначения применяется когда хотят сказать, что множество Х отображается на множество У. Второе обозначение применяется, когда хотят сказать, что каждому элементу х множества Х ставится в соответствие по закону F элемент у множества У. Третье обозначение, чаще всего употребляется, так как оно является аналитическим заданием отображения F и даёт конкретное правило, по которому каждому значению х ставится в соответствие значение у.

В литературе очень часто встречаются синонимы отображения, которые исторически возникли при изучении отображений. Так например, если Х и У – числовые множества, то отображение F называют числовой функцией одной переменной (величины) или одного переменного (аргумента). Исходя из этого, можно дать полное определение числовой функции одной переменной.

Определение 2. Функцией f числового аргумента х Х называется правило или закон, по которому каждому элементу х Х ставится в соответствие число у У: f = X →Y y = f (x).

Примером числовой функции может служить любая элементарная функция, изучающаяся в школе, например,

ных, вещественных чисел.

Символическую запись можно расшифровать так: функция f есть правило (необходимо число х на само себя), по которому каждому числу из множества действительных чисел ставится в соответствие число из множества положительных вещественных чисел, с нулём. Другими словами, 0 ставится в соответствие 0, числу 0,5 ставится число 0,25, числу 1 ставится число 1, числу (-1) ставится в соответствие 1 и т.д.

20

Если множество Х – произвольное множество, а У является числовым множеством, тогда отображение F: X→Y часто называют функционалом (дать полное определение функционала).

Пример. Пусть f F (F – множество интегрируемых функций на отрезке

[a,b]), тогда определённый интеграл I = ∫b f (x)dx - есть функционал на

a

множестве F. I = F → R, при заданных а и b, так как каждой функции f,

I сопоставляет число из R, например, I = ∫1 хdx = 0,5, функции у = х ставит-

0

ся в соответствие число 0,5. Само правило, по которому функции ставится в соответствие число, даётся формулой Ньютона – Лейбница:

∫b f (x)dx = F(b) − F(a).

a

Если Х и У являются произвольными множествами (например, множествами функций), тогда F = X → Y называют оператором. Заметим, что определение оператора мало чем отличается от отображения. Таким образом, в рассматриваемом частном случае оператор каждой функции f Х ставит в соответствие функцию ϕ(х) : ϕ У.

Пример. Пусть Х – множество дифференцируемых функций на от-

резке [a,b], тогда df (x) =ϕ(x) Y , т.е. оператор дифференцирования на dx

Х, каждой функции из Х ставит функцию ϕ У по следующему правилу:

Например, dxd (x) =1, оператор дифференцирования ставит в соответ-

ствие функции f(x) = x постоянную функцию ϕ(х) =1. для любого х R;

21

Если элементами множества Х являются множества Аi, а У числовое множество, то F = X → Y отображение называется мерой (самостоятельно дать полное определение меры).

Пример. Пусть Х множество прямоугольников на плоскости со сторонами длины х и у, тогда каждому прямоугольнику множества Х можно сопоставить число х у, характеризующее площадь прямоугольника (количество места занимаемого на плоскости), т.е. мерой площади прямоугольника является функция двух переменных S = f(x,y) = х у. Так прямоугольнику со сторонами длины 1ед. и 2ед. ставится в соответствие число 2 ед2.

Таким образом, мерой площади прямоугольников со сторонами х и у является правило f : X → R0+ , где R0+ = R+ {0}, по которому каждому

множеству точек на плоскости, заключённых в прямоугольнике сопоставляется число, являющееся площадью прямоугольника.

Пусть X, Y, Z – не пустые числовые множества и задано отобра-

жение F: X × Y → Z (x, y) z z = F(x,y), т.е. отображение декартового произведения множеств Х и У на множество Z. В этом случае F называют функцией двух переменных (величин или аргументов х и у).

Если X R, Y R, Z R, то геометрическим образом декартова произведения X × Y, является вся плоскость либо её часть, следовательно, областью определения функции двух переменных является вся плоскость либо её часть. Другими словами, функция двух переменных отображает плоскость либо её часть на множество вещественных чисел (вещественную ось) либо его часть.

Пример. z = x2 + y2 , по значениям х и у находятся по указанному правилу число z, при этом х и у называются независимыми переменными или аргументами, а z – зависимой переменной или значением функции двух переменных.

22

Аналогично можно построить отображения трёх, четырёх и т.д. переменных. Таким образом, отображение F: X → Y , будет называться функцией нескольких переменных ( n переменных), если

Функция нескольких переменных (n переменных) отображает n – мерное пространство (либо его часть) на вещественную прямую (либо её часть).

Определение 3. Отображение F называется тождественным, если

F: X → Y x x x = F(x).

Другими словами тождественное отображение элементу х из множества Х ставит в соответствие тот же самый элемент х. Например, у = х, есть тождественное отображение R → R, так как для любого значения х даёт тоже значение, например, х = 1 и у = 1; х = -2 и у = -2; х = 0,25 и у = 0,25 и т. д.

Определение 4. Пусть X, Y, Z – не пустые числовые множества и заданы отображения f: X → Y Λ g: Y → Z, тогда отображение F: X → Z, обозначаемое F(x) = (g ° f)(x) = g(f(x)) = z называется композицией отображений f и g (или сложной функцией от х, приняты так же названия: суперпозиция двух функций и функция от функции).

23

Символически композиция отображений f и g записывается в виде:

F = g ° f.

Пусть Xi, i = 1, 2, 3,…,n и fi: Xi → Xi+1, тогда

f: X1 → Xn+1 f (x) = ( fn fn−1 fn−2 ... f2 f1 )(x) называется композицией n функций.

Пример. y = cos(x); z = ln|y|; g = z-1, тогда композицией трёх функций (или сложной функцией) будет:

u = ln cos1 x u = 1z = ln1y = ln cos1 x .

Определение 5. Отображение F: X → Y называется сюръекцией (или сюръективным), если ля любого у Y найдётся, хотя бы один, элемент х Х.

Для сюръективного отображения у каждого элемента множества Y имеется прообраз из множества Х, говорят, что это отображение на множество Y, в отличие от отображения во множество Y.

Определение 6. Отображение F: X → Y называется инъекцией (или инъективным), если для любых х1 и х2 из множества Х таких, что из х1 ≠ х2 следует, что F(x1) ≠ F(х2).

Инъективное отображение это такое отображение, при котором любым двум различным значениям из множества Х соответствуют два различных значения (образы) отображения во множество Y .

Определение 7. Отображение F: X → Y называется биекцией (или взаимно однозначным отображением), если оно одновременно сюръективно и инъективно.

Символически это определение можно записать так F: X → Y – биекция,

если y Y x X Λ х1 ≠ х2 y1 ≠ y2 .

Примеры инъекций, сюръекций и биекций можно найти в [1].

24

Определение 8. Пусть существуют отображения F: X → Y и

Ф: Y → X. Отображение Ф называется обратным к отображению F, если композиция (Ф ° F)(x) = IX – есть тождественное отображение множества Х на себя. Также F называется обратным к отображению Ф, если композиция (F ° Ф)(у) = IY – есть тождественное отображение множества Y на себя.

Когда отображение Ф есть обратное к F и одновременно F есть обратное отображение к Ф, то в этом случае говорят о взаимообратном отображении и обозначают Ф = F-1.

На практике, если задана функция y = f(x), обратную к ней функцию определяют, решая уравнение относительно аргумента х как функции значения y: y = f(x) x = f-1(y). Другими словами, если функция задана аналитически, то используя известные алгебраические операции переменную х выражают через переменную у.

Примеры:

1). Пусть y = 1x = f (x) : R \{0} → R \{0}, тогда обратная к ней будет

функция:

x = 1y = f −1 (y) : R \{0} → R \{0}.

2). Пусть y = 11+− xx = f (x) : R \{−1} → R \{−1}, тогда обратная к ней функция

будет x = 11+− yy = f −1 (y) : R \ {−1} → R \ {−1}.

Легко проверить, что это взаимообратные функции. Критерий, позволяющий судить о существовании обратного отображения, даёт следующая теорема [1].

Теорема. Отображение F: X → Y тогда и только тогда обратимо, когда оно биективно.

25

Определение 9. Графиком отображения F: X → Y называется множество упорядоченных пар чисел таких, что одно из них принадлежит множеству Х, а другое множеству Y и оба удовлетворяют соотноше-

нию y = F(x).

Символически это определение записывается в виде:

Г ={(x, y) : x X y Y : y = F(x)} X × Y.

Геометрическим образом графика функции одной переменной является линия на плоскости, например,

1) у = х 2) у = х2

Геометрическим образом графика функции двух переменных является поверхность в трёхмерном пространстве:

Г ={(x, y, z) : x X y Y z Z : z = F(x, y)} X × Y × Z.

Например,

26

1)x2 + y2 + z2 = R2 z = ±R2 − x2 − y2 , графиком этой функции является сфера:

2)z = x2 + y2 , графиком этой функции является поверхность в трёхмерном пространстве, которая называется параболоидом вращения:

С помощью понятия отображения можно ввести понятие эквивалентности множеств и связанное с ним понятие мощности множества.

Определение 10. Множество Х эквивалентно множеству Y, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию).

Говорят, что два множества равномощны (имеют одинаковую мощность), если они эквивалентны.

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с количеством элементов этого множества. Для бесконечных множеств нельзя говорить о количестве элементов, поэтому это понятие и заменяют мощностью множеств. В связи с этим можно сказать, что мощность множества характеризует на сколько “богато” множество элементами. Для обозначе-

27

ния мощности множества вводят кардинальное число: cardR - кардинальное число множества R или мощность множества.

Все множества эквивалентные множеству натуральных чисел N имеют одно и то же кардинальное число и называются счётными множествами мощности а. Все множества эквивалентные множеству вещественных чисел так же имеют одинаковую мощность ( а следовательно, кардинальное число) и называются несчётными множествами мощности континуум с. Таким образом, для бесконечных множеств понятие мощности множества является обобщением понятия количества элементов для конечного множества.

§ 5. Бинарные отношения на множестве.

Определение 1. Пусть Е – некоторое множество, а множество А есть подмножество из множества Е × Е; говорят, что два элемента х,у Е связаны бинарным отношением, определяемом посредством множества А, если (х,у) А.

Иногда бинарное отношение обозначают каким – либо символом: хϕу, т.е. х и у находятся в бинарном отношении ϕ. В более конкретных случаях ϕ ; ϕ =; ϕ и т.д. х у; х = у: х у и т.д.

Примеры бинарных отношений:

1). Пусть Е = N – множество натуральных чисел, А Е × Е - множество пар натуральных чисел (p,q), для которых p + q – чётное число: pϕq p + q – чётное число.

2). Пусть Е – множество кругов на плоскости, тогда бинарное отношение ϕ между двумя кругами может быть установлено, скажем, так: радиус одного круга в два раза больше радиуса другого круга.

Замечание. Если задано бинарное отношение ϕ для пары элементов из Е, то ещё не означает, что отношение выполняется для любой пары.

28

Определение 2. Отношение ϕ называется рефлексивным, если хϕх справедливо для всех элементов из Е, т.е. всегда (х,х) А.

При этом говорят, что множество А содержит диагональ множества Е × Е. Если ϕ , тогда рефлексивность обозначается х х.

Определение 3. Отношение ϕ называется симметричным, если хϕу Λ уϕх, т.е. если (х,у) А, то и (у,х) А.

Например, х у у х.

Определение 4. Отношение ϕ называется транзитивным, если хϕу Λ уϕz хϕz, т.е. если (х,у) А Λ (y,z) А , то и (x,z) А. Например, х у z х z.

Определение 5. Отношение ϕ называется антисимметричным, если хϕу Λ уϕх х = у.

Определение 6. Отношение ϕ на множестве Е называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно:

1.хϕх, для х Е.

2.хϕу Λ уϕх, для любых пар (х,у) Е.

3.хϕу Λ уϕz хϕz, х,у,z Е.

Пример. Между двумя парами натуральных чисел (p,q) и (p’ , q’) уста-

навливается отношение ϕ: ( p,q)ϕ( p′,q′) p q′ = p′ q или отношение

r: ( p,q)ϕ( p′,q′) p + q′ = p′+ q. Легко проверить все условия определе-

ния и показать, что это есть отношения эквивалентности; первое служит для определения рациональных чисел, а второе – дя определения целых положительных чисел, здесь E = N × N.

Отношение эквивалентности, заданное на каком – либо множестве, позволяет разбить его на непересекающиеся классы элементов эквивалентных друг другу.

29

Каждый класс однозначно определяется любым своим элементом, так как, два элемента эквивалентные третьему, эквивалентны между собой (условие транзитивности). Условие рефлективности обеспечивает принадлежность любого элемента, какому – либо классу (например, классу, определяемому самим этим элементом).

Пример. На множестве натуральных чисел N введём отношение эквивалентности следующим образом: два числа p и q эквивалентны, если их модуль разности делится на 3 (без остатка). Легко убедиться, что это отношение эквивалентности (самостоятельно).

Возьмём число 1, тогда |1-1| делится на 3, поскольку 0 длится на любое число кроме себя. Таким образом, поместим 1 в класс I, и будем считать 1 представителем класса I. Далее возьмём число 2, поскольку |2-1| не делится на 3, то его в этот класс не вносим, тогда берём число 3, но |3-1|, так же не делится на 3, возьмём число 4, при этом |4 -1| = 3, то число 4 эквивалентно 1 и его помещаем в тот же класс I. Продолжая выбор чисел, убедимся, что в этот класс могут быть занесены все числа m = 3k + 1, таких что |m -1| = 3k (k = 0, 1, 2, …, …). Теперь из оставшихся чисел по элементу 2 также образуем класс II, в который войдут все чис-

ла m = 3k + 2 таких, что |m -2| = 3k (k = 0, 1, 2, …, …). Из оставшихся чи-

сел по элементу 3 образуется класс III, состоящий из элементов

m = 3k + 3 таких, что |m - 3| = 3k (k = 0, 1, 2, …, …). После чего все эле-

менты будут определены в три класса: I,II,III:

Класс I = {1, 4, 7, 10, 13, 16,…, 3k+1,…}. Класс II = {2, 5, 8, 11, 14, 17,…, 3k+2,…}. Класс III = {3, 6, 9, 12, 15, 18,…, 3k+3,…}.

Определение 7. Отношение ϕ на множестве Е называется отношением порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно:

1.хϕх, для х Е.

2.хϕу Λ уϕх х = у, для любых пар (х,у) Е.

30

3. хϕу Λ уϕz хϕz, х,у,z Е.

Например, хϕу х ≤ у – есть отношение порядка. Легко проверить все свойства отношения порядка по определению:

1. х ≤ х.

2. х ≤ у Λ у ≤ х х = у.

3. х ≤ у Λ у ≤ z х ≤ z.

Определение 8. Множество, на котором задано отношение порядка, называется частично упорядоченным множеством.

Определение 9. Если для любых х,у Е определено х ≤ у V у ≤ х , то множество Е называется линейно упорядоченным множеством. Например, множество вещественных чисел есть линейно упорядоченное множество (показать по определению самостоятельно). Отношение порядка позволяет сравнивать элементы множества и приводит к таким понятиям как наибольший и наименьший элементы множества.

Определение 10. Пусть дано Е, элемент а Е называется наименьшим элементом множества Е, если х Е выполняется а ≤ х. Определение 11. Пусть дано Е, элемент b Е называется наибольшим элементом множества Е, если х Е выполняется х ≤ b.

Примеры:

1). Е = {1, 2, 3, …, 10}, в этом множестве существует наименьший элемент 1, и наибольший элемент 10.

2). Е = (0,1], в этом множестве нет наименьшего элемента, но есть наибольший элемент 1.

3). Е = [0,1), в этом множестве нет наибольшего элемента, но есть наименьший элемент 0.

31

4). Е = (0,1), в этом множестве отсутствуют наибольший и наименьший элементы.

Определение 12. Пусть А Е. Элемент с Е называется верхней гранью множества А (нижней гранью), если для х А, выполняется

c ≥ x (c ≤ x) .

У множества может быть бесконечно много верхних и нижних граней. Примеры:

1). А = [0,1] R. У множества А имеется бесконечно много как нижних, так и верхних граней.

2). Множество отрицательных вещественных чисел R- R. У этого множества бесконечно много верхних граней и нет ни одной нижней грани. 3). Множество положительных вещественных чисел R+ R. У этого множества бесконечно много нижних граней и нет ни одной верхней грани.

4). Множество всех действительных чисел R, у этого множества нет ни верхних, ни нижних граней – множество вещественных чисел неограниченное множество.

Определение 13. Множество, имеющее хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань, называется ограниченным сверху (снизу).

Определение 14. Множество, ограниченное сверху и снизу называется ограниченным множеством.

В качестве примеров можно взять выше приведённые примеры. Определение 15. Наименьшая верхняя грань множества А назы-

вается точной верхней гранью множества А и обозначается supA (читается супремум множества А).

Пример. Пусть А = [0;1], тогда supA = 1.

32

Определение 16. Наибольшая верхняя грань множества А называется точной нижней гранью множества А и обозначается infA (читается инфинум множества А).

Пример. Пусть А = [0;1], тогда infA = 0.

Теорема. Всякое не пустое множество, ограниченное сверху (снизу) имеет точную верхнюю грань (точную нижнюю грань). Доказательство см. в [7],[8].

В заключение параграфа отметим, что бинарные отношения на множестве могут быть заданы с помощью отображений.

Пусть дано f: E → F, определим бинарное отношение ϕ в Е следую-

щим образом: хϕу f(x) = f(y), x,y E, f(x),f(y) F.

Проверим, что это есть отношение эквивалентности:

1.Рефлексивность: хϕх f(x) = f(х).

2.Симметричность: хϕу уϕх f(x) = f(у) f(у) = f(х).

3.Транзитивность:

xϕy yϕz xϕz f (x) = f (y) f (y) = f (z) f (x) = f (z).

При доказательстве используются элементарные свойства функции.

33

Подставляем по формуле 2sin 2x = 1- cos(x).

Находим предел по первому замечательному пределу.

№334 Вычислить предел функции в точке х = α :

Делаем замену µ = y −α , тогда:

Образец решения задач при отработке.

Электронный вариант выполнил студент 471 группы Черных Евгений.

Берман Г.Н. Сборник задач по математическому анализу. 1998 г.

№ 47 9). Найти область определения функции:

y =1− 1− x2 .

Решение: используя свойства арифметического корня, получим

1− x2 ≥ 0 x2 ≤1 −1≤ x ≤1.

Ответ: D(y) = [−1;1].

11). Найти область определения функции:

y = x2 −4x+3 .

Решение: используя свойства арифметического корня, получим x2 − 4x + 3 ≥ 0, x2 − 4x + 3 = 0

x1 =1, x2 = 3,

тогда решениенеравенства иметвид: x (−∞;1] [3;+∞).

Ответ: D(y) = (−∞;1] [3;+∞) .

№ 48 12). Найти область определения функции:

Решение: используя свойства арифметического корня, получим

1

решениемдвухнеравенств является :

[(−∞;1) (2;∞)] (−1;3) (−1;1) (2;3).

Ответ: D(y) = (−1;1) (2;3)..

13) Найти область определения функции:

y = (x2 + x +1)−3 .

Решение: поскольку

x2 + x +1 > 0, для х R,

то решением является множество вещественных чисел.

Ответ: D(y) = (−∞;∞).

№ 306. Найти предел функции:

Чтобы раскрыть неопределённость типа: - ∞, умножили на сопряжённое число, при делёнии любого конечного числа на бесконечность даёт ноль, поэтому предел равен нулю.

Ответ: lim(x + a − x )= 0.

x→∞

2

№ 307. Найти предел функции:

Применено умножение числителя и знаменателя на сопряжённое выражение числителю.

Ответ: lim(x2 +1 − x2 −1)= 0.

x→∞

№ 320. Найти предел функции:

Решение:

Использован первый замечательный предел.

3

Практическое занятие №1

1. Организационные вопросы:

1). Аудиторная нагрузка:

Лекции 2 часа в неделю, практика 4 часа в неделю и самостоятельная работа 7 часов в неделю. Рассматриваемые вопросы на лекциях и на практических занятиях, составляют единый курс математического анализа и многие вопросы могут не пересекаться с вопросами, рассматриваемыми на лекциях с вопросами, рассматриваемыми на практике: результаты, полученные на лекциях будут использоваться на практических занятиях в предположении, что они уже усвоены студентами и наоборот результаты практических занятиях будут использоваться на лекциях. Поэтому ни в коем случае нельзя подразделять математику и в частности математический анализ на теорию и практику. Материал, изложенный на лекциях и практических занятиях в обязательном порядке должен обрабатываться дома, в соответствие с экзаменационными вопросами и в соответствии с логической последовательностью. Отсутствие студента на практическом занятии влечёт решение 6 задач, с оформлением решения на компьютере.

2). Контрольные мероприятия в семестре:

Самостоятельные работы по каждой теме, объявляются преподавателем заранее, контрольные работы раз в месяц и того 4 контрольные работы (по каждой самостоятельной работе и контрольной работе выставляется оценка в пятибалльной системе). Средняя арифметическая оценка по самостоятельным и контрольным работам будет выставляться на экзамене третьей оценкой по решению практических заданий. Студент, получивший положительную оценку по практическим занятиям, получает автоматически зачёт в зачётную книжку, студент, не получивший зачёта не допускается к экзамену. В конце семестра в экзаменационную сессию проводится экзамен по предмету, студенты, не сдавшие экзамен, имеют возможность ещё раз пересдать экзамен преподавателю в начале каникул (если даже студент не явился на экзамен), третья пересдача комиссии. После чего студент, не сдавший экзамен, отчисляется.

3). Литература (основная на первый семестр):

1.Шипачёв В.С. «Высшая математика» любого года издания.

2.Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Части 1 и 2 любого года издания.

3.Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа» Том 1 и 2 любого года издания.

4.Фихтингольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления». Тома 1.2,3. Любого года издания.

5.Берман Г.Н. «Сборник задач по курсу математический анализ» (любого года издания сверяя номера задач по изданию 1971 г.).

1