ВАРИАНТ IX

где a и b – положительные числа.

2.Какие точки будут предельными для множества всех иррациональных чисел?

3.Найти область определения функции:

y= arcsin(4x3 − 6x +1).

4.Найти следующие пределы:

5. Найти производные следующих функций:

6.Поперечное сечение бревна есть круг радиуса а. Из бревна вытёсывается брус с прямоугольным поперечным сечением. Прочность такого бруса пропорциональна произведению основания поперечного сечения на квадрат его высоты. Найти размеры, при которых брус имеет наибольшую прочность.

7.Исследовать функцию и построить её график:

2

y = x3e−x .

разложения (так, что в остаточный член войдёт x4 ).

ВАРИАНТ X

1.Сформулировать, что означает фраза: функция f(x) при x=a разрывна.

2.Найти предел последовательности, которая составляется

следующим образом: x1 = a, x2 = b,где a,b– любые числа. Далее:

3. Найти область определения функции:

y= arccos1+2xx2 .

4.Найти следующие пределы:

5. Найти производные следующих функций:

6.Завод А отстоит на а км от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город В. Под каким углом к железной дороге следует привести шоссе от завода, чтобы транспортировка грузов из А в В была наиболее экономной, если стоимость провоза тонны груза на расстояние 1 км составляет по шоссе р рублей, по железной дороге q рублей (p>q) и город В расположен на b км севернее завода А?

7.Исследовать функцию и построить её график:

y = e2x−x2 .

8. Функция y =1− 3 x2 непрерывна на сегменте х [-1,1] и

при х=-1, и при х=1 обращается в 0, но тем не менее производная этой функции f’(x) не обращается в 0 ни при одном значении х. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

ВАРИАНТ XI

1. Последовательность

12 , 23 , 34 ,..., n n+1,...

сходится к 1. Найти для заданного ε>0 такое N, чтобы неравенство

n n+1 −1 < ε

выполнялось при всех n>N.

2.Последовательность xn сходится, а последовательность yn расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей

xn + yn и xn yn ?

3. Найти область определения функции:

y= cos(x2 ) .

4.Найти следующие пределы:

3)lim[ln x ln(1− x)].

x→1

5. Найти производные следующих функций:

1)y = − 2sin1 2 x + ln tgx;

2)y = − 2 +9x2 1+ x2 + 13 x3 arccos x.

6. Исследовать функцию и построить её график:

y= sin x + cos2 x

7.Доказать, что если все корни многочлена

a0 xn + a1xn−1 +... + an−1x + an

с действительными коэффициентами действительны и различны, то все корни производной

na0 xn−1 + a1(n −1)xn−2 +... + an−1

также действительны и различны.

ВАРИАНТ XII

1.Последовательность 2n имеет предел, равный +∞. Найти для заданного числа Р такое N, что при всех n >N мы будем иметь

2n > P.

2. Что называется точной верхней гранью функции?

3.Найти область определения функции:

y= lg(sin x + cos 2x −1).

4.Найти следующие пределы:

x3

2)xlim→+∞ ex ;

3)lim [n (x + a1 )(x + a2 )...(x + an )− x].

x→+∞

5.Найти производные функций:

6.Исследовать функцию и построить её график:

y= x + e−x .

7.Нужно огородить проволокой длиной 200 м земельную площадь в виде прямоугольника, примыкающего к стене. Найти размеры прямоугольника, при которых площадь будет наибольшей.

8.Построить пример функции непрерывной в точке, но не имеющей в этой точке производной.