ВАРИАНТ I

1. Доказать, что последовательность

x1, x2 ,..., xn ,...,

общий член которой задан формулой:

монотонно убывает и ограничена снизу. Найти её предел. Написать насколько первых членов этой последовательности.

2.Составить пример последовательности, которая была бы ограничена и сверху и снизу, но не имела бы предела.

3.Найти область определения следующей элементарной функции:

5. Найти производные функций:

6. Исследовать функцию

y= 3x4 −8x3 + 6x2 +12

ипостроить её график.

7.На какой высоте над центром круглого стола радиуса r нужно подвесить лампу, чтобы книга, лежащая на краю стола, была лучше всего освещена (освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей на освещаемый предмет; угол падения – это угол между направлением падающего луча и перпендикуляром к освещаемой площадке).

8.Найти производную n-го порядка от функции:

y = x21−1.

ВАРИАНТ II

1.Известно, что некоторая числовая последовательность не имеет предела.

Будет ли эта последовательность ограниченной? Будет ли эта последовательность неограниченной?

2. Числовая последовательность строится следующим образом: 0<a<1,

3. Доказать, что последовательность

x1, x2 , x3 ,..., x2n+1,...

монотонно убывающая, а последовательность

x2 , x4 , x6 ,..., x2n ,...

монотонно возрастающая.

Доказать, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел, и найти этот предел.

4.Найти следующие пределы:

6. Исследовать функцию и построить её график:

y= 3 (x +1)2 + 3 (x −1)2 .

7.Площадь листа книги равна s кв.см. Ширина полей слева и справа равна а см, а ширина полей сверху и снизу равна в см. при каких размерах листа книги площадь, занятая печатным текстом, будет наибольшей?

8.Производная f’(x) функции f(x) равна нулю при всех х из некоторого интервала (а,в).

Доказать, что f(x)=C (C-число) при всех х из этого интервала

(а,в).

ВАРИАНТ III

1.Некоторая числовая последовательность имеет только одну предельную точку. Можно ли утверждать, что эта последовательность будет сходящейся?

2.Последовательность составляется следующим образом:

Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти этот предел.

3. Найти область определения функции:

y= arcsin(1− x)+ tgx −1

4.Найти следующие пределы:

5. Найти производные следующих функций:

2)y = ln 11+−sinsin xx .

6.Исследовать функцию и построить её график:

y= x ln x

7.Требуется изготовить сосуд ёмкостью 32 л. в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием

ибез крышки. Каковы должны быть размеры сосуда, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

8.Для какого интервала (0,х) приближённая формула

значение с точностью до 0,000001?

ВАРИАНТ IV

1.Сформулировать, что значит, что числовая

2.Найти предел последовательности:

3.Найти область определения функции

y= lg(1− 2cos x).

4.Найти следующие пределы:

1)limx→1 (1− x)tg π2x ;

2)lim n 1+ x −1 (n-целое положительное число) ;

x→0 x

ln(1+ 3x ) 3) xlim ln(1+ 2x ).

→+∞

5.Найти производные следующих функций:

6.Исследовать функцию

y= x2 ln x

7.Из круглого листа вырезан сектор с центральным углом ϕ. Этот сектор свёрнут в коническую воронку. При каком ϕ ёмкость воронки будет наибольшей?

8.Почему не верен следующий вывод теоремы Коши (функции f(x) и g(x) удовлетворяют всем условиям теоремы):

f(b)− f (a)= (b − a)f '(ξ );

g(b)− g(a)= (b − a)g'(ξ );

поделив одно равенство на другое, получим: