- •Заповеди для студента
- •ВАРИАНТ I
- •ВАРИАНТ II
- •ВАРИАНТ III
- •ВАРИАНТ IV
- •ВАРИАНТ V
- •ВАРИАНТ VI
- •ВАРИАНТ VII
- •ВАРИАНТ VIII
- •ВАРИАНТ IX
- •ВАРИАНТ X
- •ВАРИАНТ XI
- •ВАРИАНТ XII
- •ВАРИАНТ XIII
- •ВАРИАНТ XIV
- •ВАРИАНТ XV
- •ВАРИАНТ XVI
- •ВАРИАНТ XVII
- •ВАРИАНТ XVIII
- •ВАРИАНТ XIX
- •ВАРИАНТ XX
- •ВАРИАНТ XXI
- •ВАРИАНТ XXII
- •ВАРИАНТ XXIII
- •ВАРИАНТ XXIV
- •ВАРИАНТ XXV
- •ВАРИАНТ XXVI
- •ВАРИАНТ XXVII
- •ВАРИАНТ XXVIII
- •ВАРИАНТ XXIX
- •ВАРИАНТ XXX
ВАРИАНТ V
1.Каким основным свойством множество всех действительных чисел отличается от множества всех рациональных чисел?
2.Построить пример расходящейся последовательности, имеющей только одну предельную точку.
3.Найти область определения функции
y= arccos11+− xx .
4.Найти следующие пределы:
1) lim (sin 1+ x −sin x);
x→+∞
2)lim1− cos x2cos 2x ;
x→0 x
3) lim tgxtg 2x .
x→π4
5. Найти производные следующих функций:
1) y = 12 tg 2 x + ln cos x ;
|
1 |
|
|
|
x2 + x |
|
+1 |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
2) y = |
|
|
ln |
2 |
+ |
|
arctg |
2 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 2 |
|
x2 − x |
2 |
+1 |
2 2 |
1 |
− x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить её график:
y= e−x2
7.От канала шириной а под прямым углом к нему отходит канал шириной в. Оба канала прямолинейны. Найти наибольшую длину бревна, которое при сплаве из одного канала в другой не застрянет на повороте?
8.Доказать, что если в некотором интервале (a,b) функция f(x) имеет производную f’(x)>=0 и эта производная, причём знак равенства имеет место лишь в конечном числе точек интервала (a,b), то функция f(x) в интервале возрастает.
ВАРИАНТ VI
1.Сформулировать определение иррационального числа.
2.Найти предел последовательностей:
1 |
|
, |
1 |
|
|
, |
1 |
|
|
,..., |
1 |
|
,... . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 2 |
|
3 1 2 |
3 |
4 1 2 3 |
4 |
|
n 1 2 ... n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти область определения функции:
y= 1− x − x − 13 .
4.Найти следующие пределы:
|
2 |
2 |
|
|
1) lim |
(x +1)3 |
− (x −1)3 |
; |
|
x→+∞ |
|
|
|
2)lim |
sin(a + x)+ sin(a − x)− 2sin a |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) lim |
x−a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→a |
cos a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Найти производные следующих функций: |
||||||||||||
1) y = |
|
2 |
arctgx + |
|
1 |
arctg |
|
x |
; |
|
||
3 |
|
1− x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
2) y = eax a sin bx −b cosbx . a2 + b2
6.Рычаг второго рода имеет точку опоры на конце и уравновешивается силой f на другом конце. На расстоянии a от точки опоры подвешен груз p. Вес единицы длины рычага равен m. При какой длине рычага сила будет наименьшей?
7.Исследовать функцию и построить её график:
y = x2 + 1 .
2 x
8. Для какого интервала (0,x) приближённое равенство
cos x ≈1− x2 2
будет иметь место с точностью до 0,000001?
ВАРИАНТ VII
1.Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что
lim 1 = 0,
x→∞ n!
т.е., считая заданным ε>0, найти такое N, что при всех n>N будет выполняться неравенство:
1
n!<ε.
2.Найти предел последовательности:
lg22 , lg33 , lg44 ,..., lgnn ,... .
3.Найти область определения функции:
y= sin x + cos x −1 .
4.Найти следующие пределы:
1) lim ( |
|
− x); |
|
|
1+ x2 |
|
|||
x→+∞ |
|
|
|
|
2)lim |
cos(a + x) + cos(a − x) − 2cos a |
; |
||
|
||||
x→0 |
|
1− cos x |
|
1
sin x x−a
3) lim .
x→a sin a
5.Найти производные следующих функций:
1) y = ln |
1− |
|
1 |
− x2 |
|
− arcsin x; |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) y = − |
|
|
|
ln( |
|
|
cos x + |
|
). |
||||||
|
|
|
|
2 |
cos 2x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Исследовать функцию и построить её график:
− 1
y = e x2 .
7.Чашка имеет форму полусферы радиуса а. В неё опущен стержень длины l>2a. При каком положении стержня его середина находится ниже всего (положение равновесия)?
8.Сколько членов надо взять в формуле Тейлора, чтобы
π
вычислить значение sinx в интервале (0,18 ) с точностью
до 0,000001? Написать соответствующую приближённую формулу.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ VIII |
|
|
|
|
|
|
6. |
Груз Р д олжен быть сдвинут по горизонтальной плоскости |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силой, приложенной под углом ϕ к горизонтали. При каком ϕ |
|||||||||||||
1. |
Найти предел последовательности: |
|
|
|
|
|
|
|
сила F будет наименьшей? Коэффициент трения равен µ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
q,2q2 ,3q3 ,..., nqn ,... , |
|
q |
|
<1. |
|
(трение пропорционально силе, прижимающей тело к |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости). |
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Сформулировать |
|
|
|
определение точной верхней |
грани |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
множества. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Исследовать функцию и построить её график: |
||||||||||||||
3. |
Найти область определения функции: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1+ x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = lg[(x + 2)sin x]. |
|
|
y = |
|
ln |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1− x |
|||||||||||||||||||||
4. |
Найти следующие пределы: |
|
|
|
|
8. |
Какой геометрический смысл имеет теорема Коши: |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
|
= |
f '(ξ) |
|||||||||||
|
lim |
x3 ( |
x +1 |
+ |
x −1 |
− 2 |
x |
) ; |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
1) |
|
|
g(b) − g(a) |
|
|
g'(ξ) |
||||||||||||||||||||||||
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cos 2x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2)lim |
|
cos 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
sin2 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3)lim x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти производные от следующих функций:
1)y = 41a3 {ln xx +− aa − 2arctg ax};
2)y = xxa + xax .