ВАРИАНТ XXI
1.Сформулировать, что означает фраза: “Последовательность xn неограничена”.
2.Найти предел последовательности, общий член которой
xn = n(n
a −1), a > 0.
3. Найти область определения функции:
y= 
lg tgx .
4.Найти следующие пределы:
1)lim |
ln(1 |
+ x + x2 )+ ln(1− x + x2 ) |
; |
|
x sin x |
||
x→0 |
|
|
x3
2)xlim→+∞ ex ;
3)lim [n (x + a1 )(x + a2 )...(x + an )− x].
x→+∞
5. Найти производные следующих функций:
1)y = − 2sin1 2 x + ln tgx;
2)y = − 2 +9x2 
1+ x2 + 13 x3 arccos x.
6.Завод А отстоит на а км от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город В. Под каким углом к железной дороге следует привести шоссе от завода, чтобы транспортировка грузов из А в В была наиболее экономной, если стоимость провоза тонны груза на расстояние 1 км составляет по шоссе р рублей, по железной дороге q рублей (p>q) и город В расположен на b км севернее завода А?
7.Исследовать функцию и построить её график:
2
y = x3e−x .
8. Сколько членов надо взять в формуле Тейлора, чтобы
π
вычислить значение sinx в интервале (0,18 ) с точностью до
0,000001? Написать соответствующую приближённую формулу
ВАРИАНТ XXII
1.Сформулировать, что означает фраза: функция f(x) при x=a разрывна.
2.Какие точки будут предельными для множества всех иррациональных чисел?
3.Найти область определения функции:
y= lg[(x + 2)sin x].
4.Найти следующие пределы:
1) lim ( |
|
− x); |
|
|
1+ x2 |
|
|||
x→+∞ |
|
|
|
|
2)lim |
cos(a + x) + cos(a − x) − 2cos a |
; |
||
|
||||
x→0 |
|
1− cos x |
|
|
1
sin x x−a
3) lim .
x→a sin a
5. Найти производные следующих функций:
1) y = |
2 |
arctgx + |
|
1 |
arctg |
|
x |
; |
3 |
|
1− x2 |
||||||
|
|
3 |
|
|||||
2) y = eax a sin bx −b cosbx a2 + b2
6. Исследовать функцию и построить её график:
y= x + e−x .
7.Сосуд с вертикальной стенкой стоит на горизонтальной плоскости. Из отверстия в стенке бьёт струя. Определить положение отверстия, при котором дальность струи наибольшая, если скорость вытекающей жидкости по закону
Торичелли равна 
2gx , где x – глубина, на которой проделано отверстие.
8.Разложить по формуле Тейлора в окрестности x=0 с остаточным членом членом в форме Лагранжа функцию
y = ex x−1
(до члена с x4 ).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ XXIII |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. Найти предел последовательности: |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
n |
|
|
n |
|
|
|
||||
a + |
b |
|
a + |
b |
a + |
b |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
,..., |
|
|
|
|
,..., |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где a и b – положительные числа.
2.Что называется точной верхней гранью функции?
3.Найти область определения функции:
y= lg(sin x + cos 2x −1).
4.Найти следующие пределы:
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+1 + |
|
x −1 |
|
|
|
|
||||||||||||
1) lim |
x3 ( x |
|
− 2 x) ; |
||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
cos 2x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2)lim |
cos 2x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
sin2 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3)lim x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
arccos x |
|
|
1 |
|
1− |
|
|
|
|
|
|||||||||
1) y = |
|
+ |
ln |
1− x2 |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1+ |
1 |
− x2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2)y = − 2cossin2xx + 12 ln tg 2x .
6.Поперечное сечение бревна есть круг радиуса а. Из бревна вытёсывается брус с прямоугольным поперечным сечением. Прочность такого бруса пропорциональна произведению основания поперечного сечения на квадрат его высоты. Найти размеры, при которых брус имеет наибольшую прочность.
7.Исследовать функцию и построить её график:
2
y= x3e−x .
8.Доказать, что все корни производной от функции
x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
действительны, и указать пределы, в которых они заключены.
ВАРИАНТ XXIV
1. Последовательность 2
n имеет предел, равный +∞. Найти для заданного числа Р такое N, что при всех n>N мы будем иметь
2
n > P.
2. Найти предел последовательности, общий член которой
xn = n
a + n3b + n
c n .
3. Числовая последовательность строится следующим образом: 0<a<1,
x |
= |
a |
|
, |
|
|
|
………………….., |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
= |
a |
− |
x2 |
|
xn+1 = |
a |
− |
x2 |
|
||||
|
|
1 |
, |
|
n |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
= |
a |
− |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
, |
…………………… |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Найти следующие пределы: |
|
|
|
|
|
|||||||||
1)lim |
ln(1+ x + x2 )+ ln(1− x + x2 ) |
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x sin x |
|
|
|
|
||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x3
2)xlim→+∞ ex ;
3)lim [n (x + a1 )(x + a2 )...(x + an )− x].
x→+∞
5. Найти производные функций:
1) y = arctg |
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 − |
1 − |
|
|
|
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 −1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) y = |
sin x |
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
x |
||||||
|
|
|
− |
|
ln tg |
|
− |
|
|
|
|
|
. |
||||
2cos2 |
x |
2 |
4 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. Исследовать функцию и построить её график:
y= x + e−x .
7.Груз Р должен быть сдвинут по горизонтальной плоскости силой, приложенной под углом ϕ к горизонтали. При каком ϕ сила F будет наименьшей? Коэффициент трения равен µ (трение пропорционально силе, прижимающей тело к плоскости).
8.Построить пример функции непрерывной в точке, но не имеющей в этой точке производной.