Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МАТАН.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

ВАРИАНТ XIII

1.Доказать, что если последовательность xn сходится и все её члены положительны, то предел этой последовательности положителен или равен нулю.

2.Найти предел последовательности, общий член которой

xn = na + n3b + nc n .

3. Найти область определения функции:

y= lg tgx .

4.Найти следующие пределы:

1)lim	tgx −sin x			;

x→0	1	x3	1

2)lim		−			;
			sin2
x→0	x2			x

3)lim .

x→0 x + sin x

5. Найти производные следующих функций:

1) y = −	ln x	− arcsin	1	;
			x
	x2 −1

	(2 + x2 )			x3
2) y =		1− x2	+		arcsin x.
	9			3

6.На отрезке длиной, соединяющем два источника света силой, найти наименее освещённую точку (освещённость обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света).

7.Исследовать функцию и построить её график:

y= sin x + 13 sin 3x.

8.Доказать, что все корни производной от функции

x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

действительны, и указать пределы, в которых они заключены.

ВАРИАНТ XIV

1.Сформулировать с помощью неравенств следующее утверждение:

xlim→∞ xn = −∞.

2.Найти предел последовательности, общий член которой

xn = n(na −1), a > 0.

3.Найти предел область определения функции:

y= arcsin(tgx).

4.Найти следующие пределы:

(

+ x)n − (

− x)n

1)lim

1+ x2

;

x→0

− cos x

2)lim

1+ x sin x

;

x→0

sin2

3)lim

arccos x

x→0

5.Найти производные следующих функций:

					x
			a −btg
1) y = arctg							, где a > b ≥ 0

			a + b		2

	1+
2) y = ln		x2 +1		−				.
						x2 +1
		x

6.Исследовать функцию и построить её график:

y =	sin x		;
		π
	sin x +	4
		4
7. Сосуд с вертикальной стенкой стоит на горизонтальной
плоскости. Из отверстия в стенке бьёт струя. Определить

положение отверстия, при котором дальность струи наибольшая, если скорость вытекающей жидкости по

закону Торичелли равна	2gx , где x – глубина, на
которой проделано отверстие.

8. Доказать, что функция

y= 1+ 1 x

на интервале (0,+∞) возрастает.

ВАРИАНТ XV

1.Сформулировать, что означает фраза: “Последовательность xn неограничена”

2.Как связаны между собой понятие предела последовательности и предела функции?

3.Найти область определения функции:

y = sin 1x + cos 1x.

4. Найти пределы:
1)lim		1
1)lim	x sin	x	;
x→0		x

2)lim	eαx − eβx	;

x→0 sinαx −sin βx

3) xlim→∞ x2x−2 1 x4 .

5. Найти производные следующих функций:

	1		6 + cos x +
1) y =	1	ln	6 + cos x +	12(3 + cos x)	;
			cos x
	3
	3

2) y = 12 x2arctg(x2 ) − ln 41+ x4 .

6. Исследовать функцию и построить её график:

y= 8x2 − x4 .

7.Через данную точку, лежащую внутри угла, провести прямую, отсекающую от сторон угла треугольник наименьшей площади.

8.Разложить по формуле Тейлора в окрестности x=0 с остаточным членом членом в форме Лагранжа функцию

y = ex x−1

(до члена с x4 ).

ВАРИАНТ XVI

1. Доказать, что последовательность

x1, x2 ,..., xn ,...

общий член которой задан формулой:

xn		+	1 n+1
xn	= 1	+		,
			n

монотонно убывает и ограничена снизу. Найти её предел. Написать насколько первых членов этой последовательности. 2. Числовая последовательность строится следующим образом:

0<a<1,

x	=	a	,			…………………..,
x	=		,			…………………..,
1		2
		2
x2	=	a	−	x2		xn+1 =	a	−	x2
				1	,		2		n	,
		2		2	,				2	,
		2		2					2
x	=	a	−	x2
				2	,	……………………
					,	……………………
3		2		2
		2		2

3. Найти область определения функции:

y= arcsin(1− x)+ tgx −1

4.Найти следующие пределы:

1)limx→1 (1− x)tg π2x ;

−1

2)lim

1+ x

(n-целое положительное число) ;

x→0

3) lim

ln(1

+ 3x )

+ 2x )

x→+∞ ln(1

5. Найти производные следующих функций:

1) y =

tg 2 x + ln cos x;

+ x

2) y =

arctg

4 2

x2 − x 2 +1

2 2

1− x2

6.Рычаг второго рода имеет точку опоры на конце и уравновешивается силой f на другом конце. На расстоянии a от точки опоры подвешен груз p. Вес единицы длины рычага равен m. При какой длине рычага сила будет наименьшей?

7.Исследовать функцию и построить её график:

− 1

y = e x2 .

8. Какой геометрический смысл имеет теорема Коши:

f (b) − f (a)	=	f '(ξ)	.
g(b) − g(a)
		g'(ξ)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>