ВАРИАНТ XVII

1. Найти предел последовательности:

q,2q2 ,3q3 ,..., nqn ,... , q <1.

9. Найти предел последовательности, которая составляется следующим образом: x1 = a, x2 = b,где a,b– любые числа. Далее:

3. Найти область определения функции:

y= cos(x2 ) .

4.Найти следующие пределы:

x3

2)xlim→+∞ ex ;

3)lim [n (x + a1 )(x + a2 )...(x + an )− x].

x→+∞

5. Найти производные следующих функций:

6. Исследовать функцию и построить её график:

1. Через данную точку, лежащую внутри угла, провести прямую, отсекающую от сторон угла треугольник наименьшей площади

8. Найти производную n-го порядка от функции:

y = x21−1.

ВАРИАНТ XVIII

1.Известно, что некоторая числовая последовательность не имеет предела.

Будет ли эта последовательность ограниченной? Будет ли эта последовательность неограниченной?

2. Последовательность составляется следующим образом:

Доказать, что эта последовательность имеет предел, и найти этот предел.

3. Найти следующие пределы:

1) lim (sin 1+ x −sin x);

x→+∞

2)lim1− cos x2cos 2x ;

x→0 x

3) lim tgxtg 2x .

x→π4

4. Найти область определения функции:

y = 1− x − x − 13 .

5. Найти производные следующих функций:

6.Груз Р должен быть сдвинут по горизонтальной плоскости силой, приложенной под углом ϕ к горизонтали. При каком ϕ сила F будет наименьшей? Коэффициент трения равен µ (трение пропорционально силе, прижимающей тело к плоскости).

7.Исследовать функцию и построить её график:

2

y= x3e−x .

8.Доказать, что если в некотором интервале (a,b) функция f(x) имеет производную f’(x)>=0 и эта производная, причём знак равенства имеет место лишь в конечном числе точек интервала (a,b), то функция f(x) в интервале возрастает.

ВАРИАНТ XIX

1.Доказать, пользуясь определением предела последовательности, что

lim 1 = 0,

x→∞ n!

т.е., считая заданным ε>0, найти такое N, что при всех n>N будет выполняться неравенство:

1

n!<ε.

2.Составить пример последовательности, которая была бы ограничена и сверху и снизу, но не имела бы предела.

3.Найти область определения следующей элементарной функции:

4. Найти следующие пределы:

x

3)lim .

x→0 x + sin x

5. Найти производные от следующих функций:

1) y = 41a3 {ln xx +− aa − 2arctg ax};

2) y = xxa + xax .

6. Исследовать функцию

y= x2 ln x

7.Завод А отстоит на а км от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город В. Под каким углом к железной дороге следует привести шоссе от завода, чтобы транспортировка грузов из А в В была наиболее экономной, если стоимость провоза тонны груза на расстояние 1 км составляет по шоссе р рублей, по железной дороге q рублей (p>q) и город В расположен на b км севернее завода А?

8.Построить пример функции непрерывной в точке, но не имеющей в этой точке производной.

ВАРИАНТ XX

1.Каким основным свойством множество всех действительных чисел отличается от множества всех рациональных чисел?

2.Найти предел последовательности, которая составляется

3. Найти область определения функции:

y= lg(sin x + cos 2x −1).

4.Найти следующие пределы:

2) y = 12 x2arctg(x2 ) − ln 41+ x4 .

6. Исследовать функцию и построить её график:

y= sin x + 13 sin 3x.

7.Доказать, что если все корни многочлена

a0 xn + a1xn−1 +... + an−1x + an

с действительными коэффициентами действительны и различны, то все корни производной

na0 xn−1 + a1(n −1)xn−2 +... + an−1

также действительны и различны.

8. Найти производную n-го порядка от функции:

y = x21−1.