Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

МАТАН.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1.56 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

ВАРИАНТ XXV

1.Сформулировать, что значит, что числовая

последовательность	x1,x2,x3,...,xn,...,	не имеет
предела?

2.Последовательность xn сходится, а последовательность

yn расходится. Что можно утверждать о сходимости

последовательностей

xn + yn и xn yn ?

3.Найти область определения функции:

y = lg[(x + 2)sin x].

4. Найти следующие пределы:

1)lim[(1− x)logx 2];

x→1

		π
	ln tg	4	+ x
2)lim					;
	sin x
x→0
3) lim	cosn	x		.


n→+∞			n

5.Найти производные следующих функций:

1) y = ln

1−

− x2

− arcsin x;

2) y = −

ln(

cos x +

cos 2x

6.Исследовать функцию и построить её график:

y= 8x2 − x4 .

7.Рычаг второго рода имеет точку опоры на конце и уравновешивается силой f на другом конце. На расстоянии a от точки опоры подвешен груз p. Вес единицы длины рычага равен m. При какой длине рычага сила будет наименьшей?

8. Написать	разложение	функции	y = tgxпо	формуле
Тейлора	в окрестности	точки	x=0, сохраняя	4 члена

разложения (так, что в остаточный член войдёт x4 ).

ВАРИАНТ XXVI

1.Сформулировать с помощью неравенств следующее утверждение:

xlim→∞ xn = −∞.

2.Как связаны между собой понятие предела последовательности и предела функции?

3.Найти предел область определения функции:

y = arcsin(tgx).

4. Найти пределы:
1)lim		1
1)lim	x sin	x	;
x→0		x

2)lim	eαx − eβx	;

x→0 sinαx −sin βx

3) xlim→∞ x2x−2 1 x4 .

5. Найти производные следующих функций:

1) y = − 2sin1 2 x + ln tgx;

2) y = −	2 + x2		+	1 x3 arccos x.
		1+ x2
	9			3

6. Исследовать функцию и построить её график:

y= e2x−x2 .

7.От канала шириной а под прямым углом к нему отходит канал шириной в. Оба канала прямолинейны. Найти наибольшую длину бревна, которое при сплаве из одного канала в другой не застрянет на повороте?

8. Сколько членов надо взять в формуле Тейлора, чтобы

вычислить значение sinx в интервале (0,18 ) с точностью до

0,000001? Написать соответствующую приближённую формулу.

ВАРИАНТ XXVII

1.Доказать, что если последовательность xn сходится и все её члены положительны, то предел этой последовательности положителен или равен нулю.

2.Найти предел последовательности:

2	,		22	,		23		,		24	,...,		2n	,...
1		1* 2			1	* 2	*3		1* 2 3 4			1* 2 *3...n

3. Найти область определения функции:

y= sin x + cos x −1 .

4.Найти следующие пределы:

1)lim		ln(1+ x) + x2				;
	(1		+ x)10 −1+ x2
x→0
2)lim				1		;
		1	− x ln 1+	x
x→0
3)lim		tgx −1+ cos3x			.

x→0			ex − e−x

5. Найти производные следующих функций:

	sin x		3	π			x
1) y = −		+		ln tg		+		;
	2cos2 x		2		4		2

1 ln

1+ x

2) y =

arctg

1− x + x2

2 − x

6. Исследовать функцию и построить её график:

− 1

y = e x2 .

7.Нужно огородить проволокой длиной 200 м земельную площадь в виде прямоугольника, примыкающего к стене. Найти размеры прямоугольника, при которых площадь будет наибольшей.

8.Для какого интервала (0,x) приближённое равенство

cos x ≈1− x2 2

будет иметь место с точностью до 0,000001?

ВАРИАНТ XXVIII

1.Некоторая числовая последовательность имеет только одну предельную точку. Можно ли утверждать, что эта последовательность будет сходящейся?

2.Найти предел последовательности:


2	,		22		,		23	,		24		,...,		2n	,... .
1	,	1		* 2	,	1	* 2 *3	,	1* 2 *3		* 4	,...,	1* 2 *3...n		,... .
1		1		* 2		1	* 2 *3		1* 2 *3		* 4		1* 2 *3...n

3. Найти область определения функции:

y= arcsin(4x3 − 6x +1).

4.Найти следующие пределы:

1) lim

(x +1)3

− (x −1)3

;

x→+∞

2)lim

sin(a + x)+ sin(a − x)− 2sin a

;

x→0

cos x

x−a

3) lim

x→a cos a

5. Найти производные следующих функций:

1−

1) y = ln

1− x2

− arcsin x;

2) y = −	1	ln(		cos x +		).
			2		cos 2x

	2

6. Исследовать функцию и построить её график:

y= 12 ln11+− xx .

8. Функция y =1− 3 x2 непрерывна на сегменте х [-1,1] и

при х=-1, и при х=1 обращается в 0, но тем не менее производная этой функции f’(x) не обращается в 0 ни при одном значении х. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>