Математический анализ

Введение Современный человек не может обойтись без математики, хотя бы без её основ. На со-

временном этапе развития общества математический аппарат представляет достаточно мощный исследовательский инструмент, но не только, математика является образом мышления человека, а также культурой человечества. В высших учебных заведениях буквально все изучают Высшую математику, в которую входит отдельным разделом дисциплина математический анализ. Определения математического анализа даётся в различных математических словарях, например, в Математическом словаре Ю.Я. Каазика: Математический анализ – раздел математики, изучающий функции и их обобщения методом пределов. Собственно говоря, так определяется классический анализ, старое название которого Анализ бесконечно малых. В последнее время всё чаще под математическим анализом понимают исследование множеств, наделённых характерными для анализа структурами, а именно структурами, позволяющими говорить о сходимости, а также исследовании отображений множеств.

Математический анализ изучает функциональные зависимости и является той частью классической математики, которая является основой почти для любой математической дисциплины. Поэтому, не случайно, что математический анализ обычно является первым серьёзным курсом высшей математики, с которым приходится сталкиваться студенту.

Математический анализ, как и многие другие разделы, базируются на теории множеств и математической логики, поэтому мы начнём с элементов математической логики и теории множеств.

1

Прежде чем приступить к изучению основных положений данного раздела, хотелось бы определить правила, которыми студент должен руководствоваться на протяжении всех лет обучения в университете. К сожалению, нет такого предмета, в котором говорилось бы как правильно и рационально надо учиться, как организовать себя и свою деятельность, чтобы стать квалифицированным специалистом – истинным физиком, а не только на бумаге. Поэтому остановимся на 10 заповедях для студента.

2

Вопросы к экзамену по математическому анализу для студентов первого курса ФТИ

первый семестр

1.Элементы математической логики. Операции над высказываниями и их свойства. Примеры.

2.Множества и операции над множествами (объединение, пересечение, разность и декартово произведение множеств). Примеры.

3.Множества вещественных чисел и его подмножества. Операции на множестве вещественных чисел и их свойства. Примеры.

4.Построение множеств от множества натуральных чисел до множества комплексных чисел. Примеры.

5.Множество комплексных чисел. Задачи, приводящие к комплексным числам. Алгебраическая форма комплексного числа и операции над комплексными числами. Примеры.

6.Тригонометрическая форма комплексного числа, операции над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Примеры.

7.Числовая последовательность, способы задания последовательностей. Монотонные последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности и их свойства. Примеры.

8.Предел последовательности: определение, единственность, сходящиеся последовательности. Примеры.

9.Подпоследовательности, теорема Кантора о вложенных отрезках.

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Примеры.

10.Операции над сходящимися последовательностями и их пределами. Примеры.

11.Пределы монотонных последовательностей. Число "e". Примеры. 12.Отображения множеств. Основные понятия и определения. Функции

одного и нескольких переменных и их графики. Примеры. 13.Обратные и взаимообратные функции. Сложные функции (композиция

отображений). Примеры.

14.Элементарные функции одной переменной, обратные к ним функции и их графики. Примеры.

15.Классификация функций одной переменной. Примеры. 16.Гиперболические функции и обратные к ним, их графики. 17.Предел функции одной и нескольких переменных, сходимость

функции в точке. Примеры.

18.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, операции над ними и их классификация. Примеры.

19.Первый замечательный предел и его применение к раскрытию неопределённостей. Примеры.

20.Второй замечательный предел и его применение к раскрытию неопределённостей. Примеры.

1

21.Непрерывность функции одной переменной (три определения). Примеры.

22.Теоремы Больцано – Коши для непрерывных функций. Примеры. 23.Теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций. Примеры. 24.Производная функции одной переменной. Алгоритм построения производной. Геометрический и физический смысл производной.

Примеры.

25.Табличные производные (вывод формул).

26.Производная обратной функции, производная сложной функции. Примеры.

27.Производная неявно заданной и параметрически заданных функций. Примеры.

28.Логарифмическая производная и применение её к нахождению производных сложных функций. Примеры.

29.Частные производные функции нескольких переменных. Геометрический смысл частных производных. Примеры.

30.Дифференцируемость функции одной переменной, связь дифференцируемости с существованием конечной производной. Примеры.

31.Дифференцируемость функции одной переменной, связь дифференцируемости с непрерывностью функции. Примеры.

32.Дифференцируемость функции нескольких переменных, связь дифференцируемости с существованием конечных частных производных. Примеры.

33.Дифференцируемость функции нескольких переменных, связь дифференцируемости с непрерывностью функции нескольких переменных. Примеры.

34.Дифференциал функции одной переменной и его геометрический смысл. Примеры.

35.Дифференциалы функции нескольких переменных. Примеры.

36.Производные высших порядков функции одной и нескольких переменных. Примеры.

37.Дифференциалы высших порядков функции одной переменной. Формула дифференциала n - го порядка. Примеры.

38.Производные сложных функций нескольких переменных. Примеры.

39.Производная по направлению функции нескольких переменных, градиент функции. Примеры.

40.Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля. Примеры.

41.Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Лагранжа, теорема Коши. Примеры.

42.Правило Лопиталя. Применение правила Лопиталя к раскрытию неопределённостей. Примеры.

2

43.Формулы Тейлора и Маклорена, с остаточными членами в формах: Лагранжа, Коши, Пеано, Шлемильха - Роша. Примеры.

44.Формулы Тейлора и Маклорена функций нескольких переменных. Примеры.

45.Разложение элементарных функций одной переменной по формулам Тейлора и Маклорена. Примеры.

46.Экстремумы функций одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума. Примеры.

47.Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремумов функции нескольких переменных. Примеры.

48.Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод Лагранжа. Примеры.

49.Признаки монотонности функции одной переменной. Примеры.

50.Асимптоты графика функции одной переменной (вертикальные, горизонтальные и наклонные). Примеры.

51.Направление выпуклости функции, точки перегиба графика функции. Примеры.

52.Полное исследование поведения функции одного переменного и построение её графика. Примеры.

3

Заповеди для студента

1.Всё изучить не возможно, но к этому надо стремиться.

Процесс познания бесконечен, а ещё незабвенный Козьма Прутков говаривал “Никому не объять необъятное”, но само стремление всё узнать и понять похвально, а чтобы можно было что-то объять, надо следовать второй заповеди.

1

ствии с программой преподавателем. Для строптивого студента, рвущегося всё познать, и нужна эта заповедь, так как, ни программы, ни преподаватели ему не предел.

3. Век живи, век учись, всёравно дураком помрёшь.

Мораль сей заповеди такова: если же ты знаешь и умеешь больше других, то это ещё не означает, что ты умнее всех – будь скромнее и не задавайся, ведь конечный объём знаний

3

бесконечно мал по сравнению с бесконечностью.

4. Не уподобляйся дураку

Один дурак может задать вопрос, на который и 100 мудрецов не ответят. Так, что не задавайте глупых ненужных вопросов. К тому же, если ты поступил в университет, то уже не дурак и не прикидывайся им.

4

5. Бди!!!

Тоже незабвенный Козьма Прутков. Преподаватель тоже человек со своими достоинством и недостатками, странностями и причудами. Некоторые страдают профессиональной болезнью: пишет на доске одно, говорит другое, а думает о третьем. Поэтому студент должен быть всегда начеку:

напряжённо следить за совпадением того, что говорит преподаватель и того, что он написал на доске, чтобы на экза-

5

мене не было недоразумений с преподавателем.

6. Генерируй идеи, которые сам можешь воплотить.

Всегда, когда что-то приходит в голову, обдумай можно ли это реализовать. Мыслительный процесс ценнее, чем обладание голым знанием. Знания, которые студент не может применить ни где – никому не нужны (а студенту тем более – только голову засорять).

6

7. Занимайся гимнастикой ума ежедневно.

Человеческий мозг, как и любой его орган без работы атрофируется. Чтобы мышцы были в форме, человек занимается физкультурой

– гимнастикой (физическими упражнениями). Чтобы мозг эффективно работал необходимо ежедневно (даже ежечасно) размышлять, думать, т.е. делать умственную гимнастику. Говорят, что математика – гимнастика ума, поэтому в соответствии с 7 заповедью математикой надо заниматься ежедневно.

7

8. Почаще напрягай ум и память.

Бесполезного учения не бывает (в гносеологическом смысле). Если ты учил, да забыл, то можно и вспомнить (если не нарушена память). Но ежели не учил, да “забыл”, то, как не напрягай мозг, из подсознания ничего не получишь, разве, что свихнуться можешь. Поэтому, чтобы сознание и подсознание эффективно работали, почаще напрягай ум и память в соответствие с 7 заповедью.

8

9.Читай как можно больше книг.

Всоответствие с 8 заповедью информация, раз полученная некуда не исчезает, остаётся в подсознании. Источник информации – книга (пока преимущественно книга или электронный носитель), поэтому надо уметь её от туда получить. Иногда бывает (у кого часто, у кого реже), смотришь в книгу и видишь ??? … да, да, именно, нелинейную комбинацию из трёх пальцев и тогда, чтобы она исчезла необходимо “нет, нет не крестится и не гово-

9

рить “чур – меня”, а необходимо перечитывать (кому один раз, а кому и десять раз).

10. Не ленись учиться – многое приобретёшь.

Учение трудная работа, не каждый может себя заставить усердно учиться, хотя каждый воспринимает афоризм Козьмы Пруткова:

“Усердие всё превозмогает!”. Заставь себя учиться, когда тебе лень, это героическая борьба с самим собою, она закаляет силу во-

10

ли, вырабатывает характер – человек становится личностью.

Конечно же, сформулированные выше заповеди можно по другому сформулировать или предложить другие, но как мне кажется, эти 10 заповедей могут быть взяты за основу студентом любого факультета любого ВУЗа.

Часто студенты первого курса встречаются с проблемой: писать или не писать лекцию. Так как для кого – то конспектирование лекций –

11

это тяжёлый изнурительный труд, а для другого - лёгкая работа. В любом случае, я считаю, надо стараться каждому студенту писать конспект лекций самому (а не использовать личного секретаря для записи), так как, при написании лекции включаются три вида памяти: зрительная, слуховая и моторная (т.е. двигательная), что приводит к подсознательному запоминанию на всех трёх уровнях.

12