Техническая механика часть 1

Эта стадия проектирования называется уравновешиванием механизмов. Механизм считается уравновешенным, если главный вектор и главный момент сил, воздействующих на стойку механизма, остаются постоянными при заданном законе движения ведущего звена.

Обозначим через Fф и Мф главный вектор и главный момент сил, воздействующих на стойку со стороны фундамента; через F и М главный вектор и главный момент всех других внешних сил, действующих на звенья механизма; Fи и Ми главный вектор и главный момент сил инерции, приложенных ко всем подвижным звеньям механизма. В соответствии с принципом Даламбера справедливы два векторных равенства:

Из приведенного определения вытекает, что для уравновешенного механизма имеют место следующие соотношения:

где С1 и С2 – постоянные по величине и направлению векторы.

В принципе добиться выполнения условий (9.15) и (9.16) можно несколькими путями: подбором соответствующей формы звеньев, использованием противовесов, введением дополнительных внешних сил и т. д. Однако при реальном проектировании механизмов удовлетворить одновременно обоим условиям удается крайне редко. Поэтому обычно ограничиваются условием равенства нулю главного вектора и главного момента сил инерции:

Такой подход позволяет решить задачу уравновешивания механизма лишь отчасти. При выполнении равенств (9.17) и (9.18) говорят, что имеет место уравновешивание масс механизма. В этом случае подбор и распределение масс звеньев механизма обеспечивает отсутствие дополнительных динамических воздействий стойки механизма на фундамент.

Для того чтобы, используя равенства (9.17) и (9.18), выйти на практические решения при проектировании механизмов, необходимо

211

рассмотреть эти равенства более подробно. Главный вектор сил инерции Fи представляет собой результирующую всех элементарных сил инерции, действующих на звенья механизма. В свою очередь элементарная сила инерции пропорциональна ускорению элементарного объема и его массе. Поэтому в проекциях на оси декартовой системы координат векторное равенство (9.17) равносильно трем скалярным равенствам следующего вида:

где суммирование ведется по всем элементарным объемам, на которые мысленно разбиты звенья механизма.

Векторное равенство (9.18) также может быть спроектировано на координатные оси. При этом выражения для проекций момента от каждой элементарной силы инерции определяются соотношениями

(1.13):

Для плоских механизмов, которые рассматриваются в настоящем пособии, одна из координат (например, координата z) любого элементарного объема остается постоянной. Поэтому производная от этой координаты по времени обращается в нуль. Следует учесть также, что момент Миz действует в плоскости движения механизма. В этой же плоскости действуют все внешние силы, моменты которых тоже оказывают влияние на величину динамических нагрузок на стойку и фундамент. Поэтому воздействие момента Миz необходимо анализировать совместно с моментами указанных сил. С учетом сказанного условия уравновешенности сил инерции, действующих на звенья механизма, примут вид:

212

Поскольку в любой момент времени положение каждого звена механизма однозначно определяется положением ведущего звена, координаты xi и yi являются функциями угла поворота φ ведущего звена. Поэтому для производных по времени, входящих в соотношения (9.19), справедливы следующие представления:

Здесь ω и ε – угловая скорость и угловое ускорение ведущего звена. Аналогичные равенства выполняются и для производных от координат yi. Подстановка этих выражений в равенства (9.19) позволяет записать:

Полученные равенства должны выполняться при любых значениях угловой скорости и углового ускорения. Это возможно только в том случае, когда каждая из сумм, входящих в равенства, равна нулю. При этом равенство нулю сумм, содержащих первые производные, автоматически приводит к равенству нулю сумм, содержащих вторые производные по обобщенной координате. Следовательно, условия (9.20) выполняются тогда, когда равны нулю следующие четыре суммы:

Рассмотрим первое из этих равенств. Его можно записать в виде:

213

Здесь использовано понятие центра масс механической системы (подраздел 3.4) и соотношения (3.14) для определения координат центра масс. Поскольку полная масса механизма m остается постоянной, это равенство означает, что абсцисса центра масс механизма не зависит от положения ведущего звена. Аналогичным образом второе равенство (9.21) позволяет заключить, что и ордината центра масс не меняется при работе механизма, в котором силы инерции уравновешены. Таким образом, для уравновешивания главного вектора сил инерции звеньев плоского механизма требуется подобрать массы его звеньев так, чтобы общий центр масс всех звеньев механизма не менял своего положения:

Рассмотрим теперь третье и четвертое из равенств (9.21). Напомним, что они отражают отсутствие проекций момента сил инерции на соответствующие координатные оси. Третье равенство может быть записано в виде:

Поскольку координаты zi не меняются при работе механизма, все

инерции масс всех звеньев механизма относительно плоскости Oxz. По своему смыслу она аналогична рассмотренным в подразделе 3.6 моментам инерции механической системы относительно осей декартовой системы координат.

Четвертое равенство (9.21) точно так же может быть сведено к соотношению:

214

где Jyz mi yi zi - центробежный момент инерции масс всех звеньев

механизма относительно плоскости Oyz. Соотношения (9.23) и (9.24) выражают собой условия уравновешивания главных моментов сил инерции относительно осей х и у. Для этого требуется подобрать массы звеньев механизма так, чтобы центробежные моменты инерции масс всех звеньев относительно плоскостей Oxz и Oyz оставались постоянными при любом положении ведущего звена:

На практике при уравновешивании плоских рычажных механизмов часто ограничиваются лишь условием (9.22), т. е. требованием равенства нулю главного вектора сил инерции всех подвижных звеньев механизма. Такое уравновешивание масс механизма называют статическим. Если за счет распределения масс звеньев удается удовлетворить также и условиям (9.25), то уравновешивание механизма называют динамическим.

В качестве примера рассмотрим статическое уравновешивание механизма шарнирного четырехзвенника, изображенного на рис. 9.4.

2

C B

1 S2

S3 3

S1

В данном случае для уравновешивания механизма используются противовесы E и F. Задача состоит в том, чтобы найти массы противовесов, обеспечивающих равенство нулю главного вектора сил инерции. Исходными данными являются массы подвижных звеньев

215

m1, m2, m3 ; длины звеньев l1, l2, l3 ; положение центра масс каждого подвижного звена S1, S2, S3.

Наиболее простым и наглядным методом решения задачи уравновешивания масс механизма служит метод заменяющих масс. Он состоит в следующем. Реальные звенья механизма мысленно заменяются системой точечных заменяющих масс, которая обладает массой, равной сумме масс всех подвижных звеньев, имеет положение центра масс, совпадающее с положением центра масс звеньев механизма, и одинаковые с ним значения моментов инерции относительно декартовых осей.

Для упрощения задачи ограничимся двумя заменяющими массами при замене каждого звена. Звено 1 заменим двумя массами mA и mB1, сосредоточенными в точках А и В соответственно. Найдем их величины, исходя из свойств, которыми должна обладать система заменяющих масс. Сумма масс mA и mB1 равна массе звена m1:

mA + mB1 = m1,

а центр масс системы {mA , mB1} должен находиться в точке S1:

mA А S1 - mB1 В S1 = 0.

Решая систему этих двух уравнений относительно масс mA и mB1, находим:

Звено 2 заменим системой двух точечных масс mB2 и mС2, сосредоточенных соответственно в точках В и С. Точно так же выразим их величину через заданную массу m2 звена 2, его длину l2 и положение центра масс S2:

Наконец, третье звено заменим системой двух точечных масс mС3 и mD, сосредоточенных соответственно в точках С и D. Указанные массы также выразим через параметры звена 3:

216

Таким образом, в точке В сосредоточена масса mB = mB1 + mB2, а в точке С – масса mС = mС2 + mС3. Обе величины выражаются через заданные параметры подвижных звеньев механизма. Эти массы должны быть уравновешены за счет использования противовесов. Массу последних нужно выбрать так, чтобы центр масс звеньев 1 и 3 вместе с противовесами при работе оставался неподвижным. Это может быть достигнуто, если указанные центры масс будут находиться в точках А и D. Следовательно, массы противовесов mE и mF должны удовлетворять уравнениям:

mE АЕ = mB l1, mF FD = mС l3 ,

где длины АЕ и FD определяются габаритами противовесов.

9.6.Контрольные вопросы

1.В чем состоят основные задачи синтеза механизмов?

2.Назовите условия существования кривошипа в шарнирном четырехзвенном механизме.

3.Назовите условия существования кривошипа в кривошипноползунном механизме.

4.Что представляют собой исходные данные при проектировании механизмов?

5.Какие параметры должны быть определены при разработке кинематической схемы проектируемого механизма?

6.Что такое коэффициента увеличения средней скорости ведомого звена?

7.К чему приводит наложение дополнительных условий, которым должен удовлетворять проектируемый механизм?

8.В чем состоит уравновешивание механизмов, и какие задачи оно решает?

9.Когда механизм является уравновешенным?

10.Сформулируйте условия уравновешенности механизма.

217