Техническая механика часть 1

r sin 1 l sin 2 d 2 m sin 3 d 3 . d 1 d 1

Производные d 2 и d 3 имеют ясный физический смысл. В самом

d 1 d 1

деле, в соответствии с определением угловой скорости можем записать:

Таким образом, указанные производные представляют собой отношение угловых скоростей звеньев 2 и 3 к угловой скорости ведущего звена. Эти величины называются передаточными отношениями. Они позволяют определить угловые скорости звеньев

При повороте координатных осей на угол φ2 в уравнении (5.35) исчезает второе слагаемое, а при повороте на угол φ3 обращается в нуль правая часть этого уравнения. В результате получаем:

r sin(φ1 – φ2) = U31 m sin(φ3 – φ2),

r sin(φ1 – φ3) = – U21 l sin(φ2 – φ3).

Отсюда определяются аналоги угловых скоростей звеньев 2 и 3:

Для определения угловых ускорений ε2 и ε3 необходимо продифференцировать уравнение (5.35) по обобщенной координате

φ1:

Также как и для аналогов угловых скоростей, аналоги угловых ускорений можно определить из предыдущего уравнения с помощью последовательного поворота системы координат на углы φ2 и φ3. В результате получим:

и окончательно для аналогов угловых ускорений звеньев 2 и 3:

Истинные значения угловых скоростей и ускорений звеньев 2 и 3 будут равны:

При ω1 = const (ε1 = 0) выражения для определения ε2 и ε3 упрощаются.

Линейные скорости и ускорения шарнирных точек А и В (см. рис.

(5.41)

Направления линейных скоростей и ускорений определяются известными направлениями величин ω1, ω3 и ε3.

Совокупность полученных соотношений позволяет точно вычислить кинематические характеристики любой точки всех звеньев рассматриваемого шарнирного четырехзвенника. Метод замкнутых контуров может быть применен и для анализа других типов механизмов. Однако достаточно очевидно, что трудоемкость вычислений будет быстро возрастать с увеличением числа звеньев и усложнения структуры механизмов.

5.5. Кинематический анализ кривошипно-ползунного механизма

Применим метод замкнутых контуров к кинематическому анализу кривошипно-ползунного механизма, кинематическая схема которого приведена на рис. 5.5. Он отличается от механизма на рис. 5.1 только формой звена 2, что никак не сказывается на характере движения сходственных точек двух механизмов.

Будем считать известными длину r кривошипа 1, длину l шатуна 2 и закон движения кривошипа φ1(τ). Для простоты рассмотрим работу механизма при вращении кривошипа с постоянной угловой скоростью:

d const . Введем декартовую систему координат, совместив ось d

Ох с линией движения ползуна, а начало координат – с осью вращения кривошипа. Длина отрезка s = ОВ характеризует поступательное перемещение ползуна 3 относительно стойки 4, а угловая координата β – поворот шатуна 2.

Рисунок 5.5

В результате решения требуется определить аналитические выражения для линейных и угловых координат ползуна и шатуна,

123

угловую скорость и ускорение шатуна, а также линейную скорость и ускорение ползуна. С учетом введенных обозначений указанные аналитические выражения должны быть представлены в виде

Как и при анализе шарнирного четырехзвенника, введем замкнутый векторный контур r, l, s, повторяющий замкнутую кинематическую цепь механизма. Введенные вектора удовлетворяют очевидному равенству:

которое в проекциях на оси Ох и Оу дает два скалярных соотношения:

Для треугольника ОАВ в силу теоремы синусов справедливо следующее соотношение между его углами и длинами сторон:

Используя это соотношение для угла β, характеризующего положение шатуна относительно стойки, можем записать:

где λ = r / l характеризует отношение длин кривошипа и шатуна.

Для получения явной зависимости s = s(φ), определяющей положение ползуна в произвольный момент времени, подставим выражение (5.45) в соотношение (5.43). В результате получим аналитическое выражение в форме:

124

С целью получения аналитического выражения для угловой

Подставляя сюда найденное ранее выражение (5.45), получим расчетное соотношение для определения угловой скорости звена 2:

ds( )

относительно стойки как функцию положения ведущего звена. d

Для этого продифференцируем по времени левую и правую части соотношения (5.43):

Полученные зависимости (5.49) и (5.50) несут полную информацию о характере движения шатуна и ползуна при вращении кривошипа. С их помощью можно определить скорость указанных звеньев в произвольный момент времени, крайние положения ползуна, когда его скорость обращается в нуль, максимальные скорости звеньев и т.д.

Перейдем к определению аналитических зависимостей для ускорений звеньев 2 и 3. Для определения углового ускорения шатуна

125

Наконец, для нахождения ускорения шатуна как функции положения кривошипа продифференцируем по времени соотношение (5.50). После аналогичных выкладок придем к следующему соотношению:

(5.52)

l 2 2 cos 2

1 - 2 sin 2

Таким образом, поставленная цель - определение аналитических выражений для линейных и угловых координат ползуна и шатуна, для угловой скорости и ускорения шатуна, а также для линейной скорости и ускорения ползуна – достигнута. Громоздкость полученных выражений и отсутствие наглядности иногда затрудняют проведение кинематического анализа механизмов. Поэтому наиболее целесообразно при кинематическом анализе использовать оба метода: метод планов и метод замкнутого векторного контура. Как уже отмечалось, оба метода дополняют друг друга и в совокупности снижают вероятность ошибок при анализе механизмов.

5.6.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте задачи кинематического анализа механизмов.

2.Какие методы кинематического анализа Вы знаете? В чем состоят их достоинства и недостатки?

3.Что такое масштабный коэффициент?

126

4.Что такое план положений механизма?

5.Как построить планы положений механизма, соответствующие крайним положениям выходного звена механизма?

6.Что такое план скоростей механизма?

7.Как, исходя из построенного плана скоростей механизма, определить величину и направление угловой скорости шатуна?

8.Как с помощью плана скоростей механизма определить вектор линейной скорости произвольной точки некоторого звена механизма?

9.Что такое план ускорений механизма?

10.Как, исходя из построенного плана ускорений механизма, определить величину и направление углового ускорения шатуна?

11.Каковы основные свойства плана скоростей?

12.Сформулируйте основные свойства плана ускорений.

127

Глава 6. Силовой (кинетостатический) анализ плоских рычажных механизмов

6.1. Задачи силового анализа. Характеристика сил, действующих на звенья механизма

При работе механизмов в их кинематических парах возникают силы взаимодействия между звеньями. Определение этих сил является необходимым условием для последующего расчета отдельных звеньев на прочность, жесткость, долговечность и другим критериям работоспособности. Постановка задачи определения реактивных усилий в кинематических парах, а также изложение методов ее решения составляет содержание настоящей главы.

Механизмы являются важнейшими составными частями большинства технологических машин. В процессе работы механизмы связаны и взаимодействуют с внешними по отношению к ним объектами: двигателем, рабочими средами, внешней средой. Мерой такого взаимодействия служат внешние (активные) силы, к которым относятся силы полезного (технологического) сопротивления, движущие силы (т.е. силы, источником которых служит двигатель), силы тяжести звеньев, силы вредного сопротивления (т.е. силы сопротивления внешней среды и силы трения в кинематических парах).

Помимо перечисленных сил, на движение звеньев оказывают влияние силы инерции, являющиеся результатом неравномерного движения звеньев. Силы инерции в современных машинах могут быть весьма значительными. Наконец, внутри механизма – в его кинематических парах возникают реактивные силы, которые также необходимо учитывать при анализе движения отдельных звеньев. Из всей совокупности сил, под действием которых происходит движение звеньев, часть сил задана (например, сила полезного сопротивления), другая часть сил может быть легко подсчитана (например, сила тяжести звеньев), оставшаяся часть сил (например, реакции в кинематических парах) может быть определена только методами силового анализа.

Силовой анализ представляет собой решение первой (прямой) задачи динамики применительно ко всем звеньям, составляющим механизм. Другими словами, характер движения и кинематические характеристики всех звеньев должны быть заданы, а в результате силового анализа следует найти реактивные усилия во всех кинематических парах механизма, а также (в большинстве случаев) внешнюю силу или внешний момент, приложенные к начальному звену, которые обеспечивают заданный закон его движения. Эти величины называются уравновешивающей силой и уравновешивающим силовым моментом. Уравновешивающая сила

128

(или уравновешивающий момент) определяется на заключительном этапе силового анализа исходя из условия, что она является уравновешивающей силой (уравновешивающим моментом) для сил полезного сопротивления, сил тяжести, сил инерции при заданном законе движения.

Реактивные усилия в кинематических парах в отношении всего механизма являются внутренними усилиями. Однако в отношении отдельных звеньев они служат внешними силами, действие которых совместно с действием сил тяжести, центробежных и, возможно, других массовых сил полностью определяют движение звеньев. Следовательно, нахождение реакций в кинематических парах следует рассматривать как необходимый этап при расчете звеньев на прочность с разработкой их рациональных конструктивных форм и размеров. Расчет величины уравновешивающей силы или уравновешивающего момента также является обязательным условием для подбора привода, обеспечивающего нормальную работу рабочего органа машины.

Обобщая сказанное, можно следующим образом сформулировать задачи силового анализа плоских рычажных механизмов:

-определение сил реакций в кинематических парах;

-нахождение уравновешивающего силового момента или уравновешивающей силы на ведущем звене.

Силы, действующие на звенья механизма, имеют различную физическую природу и оказывают разное влияние на его работу. Силы, которые совершают положительную работу, называются движущими силами. Они стремятся ускорить движение ведущего звена. Совершаемую движущими силами работу называют

затрачиваемой работой.

Силы, приложенные к звеньям механизма и совершающие отрицательную работу, называются силами сопротивления. Эти силы стремятся замедлить движение ведущего звена. В свою очередь силы сопротивления делятся на силы полезного сопротивления и силы вредного сопротивления. Работа первых затрачивается на выполнение того технологического процесса, для которого предназначен данный механизм. Сила полезного сопротивления приложена к выходному звену, например, со стороны обрабатываемой среды. Она всегда направлена противоположно движению этого звена. Обычно сила полезного сопротивления является функцией перемещения выходного звена, определяется на основе технологических расчетов, задается аналитически, графически или таблично.

Работа сил вредного сопротивления затрачивается на преодоление сил трения или сил сопротивления внешней среды. Сопротивление среды учитывается при расчете высокоскоростных механизмов или при расчете механизмов, работающих в жидкой среде. Силы трения в

129

кинематических парах появляются под действием реактивных сил. Во многих расчетах силы трения учитываются через КПД механизма или машины. В некоторых случаях ими пренебрегают.

Особую роль при движении звеньев механизмов играют силы инерции. При работе быстроходных машин эти силы зачастую превышают все остальные. Как известно из теоретической механики, величина сил инерции пропорциональна ускорению тела и его массе. Направление силы инерции противоположно направлению ускорения. Учет сил инерции при силовом расчете механизмов основан на принципе Даламбера (см. подраздел 3.3), согласно которому любое движущееся ускоренно материальное тело можно условно рассматривать находящимся в состоянии динамического равновесия, если ко всем действующим на него силам (включая реакции связей) добавить силы инерции. Достоинство использования принципа Даламбера при силовом анализе механизмов заключается в том, что решение задачи динамики сводится к решению более простой задачи статики.

Применительно к силовому расчету механизмов принцип Даламбера позволяет составить уравнения равновесия системы сил для каждого из звеньев: сумма всех сил, приложенных к звену, плюс возникающие в процессе ускоренного движения силы инерции равна нулю. Силовой расчет звеньев механизмов с учетом сил инерции получил название кинетостатического расчета.

Рассмотрим действие сил в кинематических парах, пренебрегая пока что силами вредного сопротивления (силами трения). Как уже отмечалось ранее, плоские рычажные механизмы могут содержать только пары V и IV классов. С другой стороны, как отмечалось в разделе 4, любой механизм с парами V и IV классов может быть заменен эквивалентным ему механизмом, содержащим пары только V класса. Поэтому при анализе действующих в кинематических парах сил достаточно ограничиться парами V класса. Для плоских механизмов это вращательные и поступательные пары.

Во вращательной паре при отсутствии трения результирующая реактивная сила (сила взаимодействия звеньев) направлена нормально к поверхности соприкосновения звеньев (см. подраздел 1.2). Следовательно, в любой момент времени она проходит через центр шарнира. Однако ее величина и линия действия заранее неизвестны.

В поступательной паре при отсутствии трения результирующая реактивная сила направлена перпендикулярно к линии относительного движения звеньев, а величина и точка приложения реакции остаются неизвестными. Следовательно, для любой пары число неизвестных при определении реакций равно двум.

Пусть имеется кинематическая цепь, содержащая n подвижных звеньев и р5 низших кинематических пар (пар V класса). Каждое звено

130