Техническая механика часть 1

радиус-вектора по времени и направлена по касательной к траектории движения.

Для того чтобы получить скорость точки при координатном способе задания движения воспользуемся соотношением (2.3). Дифференцирование его по времени в соответствии с (2.5) для скорости точки М дает:

Следовательно, проекции вектора скорости точки на координатные оси могут быть получены путем дифференцирования зависимостей (2.2) по времени. Тогда модуль вектора скорости равен:

а его направление задается углами, которые образует вектор скорости с осями координат. Косинусы этих углов (направляющие косинусы) определяются с помощью формул:

При естественном способе задания движения точки каждому значению дуговой координаты s соответствует определенное положение радиус-вектора r. Другими словами, радиус-вектор точки является функцией дуговой координаты, которая в свою очередь, согласно (2.4), зависит от времени. Это значит, что векторная величина r может рассматриваться как сложная функция : r = r(s( )). Правила дифференцирования сложной функции позволяют записать:

V dr dr ds d ds d

С помощью рис. 2.1 нетрудно понять, чему равен первый сомножитель, который является пределом отношения r / s. В этом отношении знаменатель представляет собой длину дуги от точки М до точки М1. Когда последняя неограниченно приближается к точке М, длина дуги s неограниченно приближается к длине вектора r. Следовательно, в пределе получится единичный вектор, который, как отмечалось выше, направлен вдоль касательной к траектории движения в точке М. Обозначим единичный вектор касательной через m. Тогда на основании предыдущего равенства справедливо соотношение:

31

dm dm ds dmV d ds d ds

В дифференциальной геометрии доказывается, что вектор dm /ds направлен вдоль внутренней нормали n к кривой, а его длина обратно пропорциональна локальному радиусу кривизны . С учетом сказанного равенство (2.14) примет вид:

Следовательно, при естественном способе задания движения точки ее ускорение может быть найдено как сумма двух векторов. Один вектор Wm направлен вдоль касательной m к траектории движения (рис. 2.2), его величина определяется быстротой изменения

Wm

m

M

n

Wn W

Рисунок 2.2

Вектор Wm называется касательным ускорением. Касательное ускорение существует при неравномерном криволинейном движении, направлено по касательной к траектории при ускоренном движении (в сторону положительного отсчета дуговой координаты) и в обратном направлении – при замедленном.

Другой вектор Wn направлен по нормали n к траектории в сторону ее вогнутости (рис. 2.2), его величина определяется быстротой изменения направления скорости движения точки. Вектор Wn называется нормальным ускорением. Величина нормального ускорения всегда положительна и равна:

33

Модуль полного ускорения W может быть найден через величины касательного и нормального ускорений:

Соотношения (2.16) и (2.17) позволяют проанализировать некоторые частные случаи движения точки. Так, если траекторией движения точки служит прямая линия, то радиус кривизны ρ = ∞, и нормальное ускорение, согласно (2.17), равно нулю. В этом случае полное ускорение совпадает с касательным. При этом если направления векторов скорости и ускорения совпадают, то движение точки ускоренное, если их направления противоположны, то – замедленное.

При равномерном движении модуль скорости точки V ds = const. d

Поэтому, согласно (2.16) касательное ускорение равно нулю, и полное ускорение совпадает с нормальным. Интегрирование последнего равенства позволяет получить уравнение равномерного движения:

которое определяет величину дуговой координаты в любой момент времени. Объединяя оба рассмотренных случая, приходим к равномерному прямолинейному движению, при котором и касательное, и нормальное ускорения отсутствуют.

Наконец, при равнопеременном движении точки величина ее касательного ускорения постоянна: Wm = const. Дважды интегрируя соотношение (2.16) можно получить закон изменения скорости и дуговой координаты при этом типе движения:

В качестве примера использования приведенных соотношений рассмотрим следующую задачу. При работе механизма, изображенного на рис. 2.3, кривошип ОС равномерно вращается вокруг шарнира О. Ползуны В и D перемещаются по направляющим, роль которых на рисунке выполняют оси координат Ох и Оy. На шатуне ВD находится точка М, совершающая в плоскости Охy движение, заданное уравнениями:

34

Требуется найти траекторию движения точки М, ее скорость и ускорение в те моменты времени, когда она пересекает ось Оy.

y

В

Для нахождения траектории исключим время из уравнений движения точки М. Разделим первое уравнение на а, второе уравнение на b и воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin2 + cos2 = 1. В результате получим соотношение, связывающее координаты точки М в произвольный момент времени:

Полученное уравнение, как известно, является уравнением эллипса с полуосями а и b и с центром в начале координат. Таким образом, траекторией любой точки на шатуне служат эллипсы. Поэтому механизм, изображенный на рис. 2.3, называется эллипсограф.

Найдем моменты времени, когда точка М пересекает ось Оу. Для точек на этой оси х = 0. Приравнивая первое уравнение движения к нулю, получаем: i = ( / 2 + i) / k.

Проекции скорости на координатные оси определим, дифференцируя уравнения движения точки М по времени:

В моменты времени, соответствующие переходу точки через ось Оу, проекция скорости Vx = - ak для четных значений i, Vx = ak для нечетных i . Проекция Vу = 0 в обоих случаях. Следовательно, вектор скорости точки М в эти моменты времени параллелен оси Ох.

35

Ускорение точки определим, дифференцируя выражения для проекций скорости по времени:

В моменты времени, соответствующие переходу точки через ось Оу, проекция Wx =0, а проекция Wу = -bk2 для четных значений i, Wу = bk2 для нечетных i. Следовательно, в указанные моменты времени ускорение направлено к центру эллипса по главной нормали к траектории движения точки М.

2.3. Поступательное и вращательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается в пространстве, оставаясь параллельной самой себе. Другими словами, при поступательном движении отсутствуют какиелибо повороты тела. Покажем, что при таком характере движения все точки тела двигаются по идентичным траекториям, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения.

Выберем в движущемся теле две произвольные точки А и В (рис. 2.4). Их положение определяется радиус-векторами rА и rВ, которые меняются с течением времени. Пусть r – вектор с началом в точке А и концом в точке В.

Векторы rА , rВ и r в любой момент времени связаны соотношением: rВ = r + rА. Если тело движется поступательно, то, согласно определению, r = const. С учетом этого продифференцируем векторное равенство по времени:

36

т. е. скорости точек А и В одинаковы как по величине, так и по направлению в любой момент времени. Дифференцируя вторично, убеждаемся, что и ускорения точек также одинаковы. Следовательно, поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Другими словами, кинематика поступательного движения твердого тела сводится к кинематике точки. Поэтому все положения подразделов 2.1 и 2.2 применимы для описания этого типа движения тела.

Еще одним простейшим типом движения твердого тела является

вращательное движение. При вращательном движении все точки тела, лежащие на некоторой прямой, остаются неподвижными во все время движения. Указанная прямая называется осью вращения. Точки тела, не лежащие на оси вращения, движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям с центром на оси. Их положение в произвольный момент времени однозначно определяется углом φ поворота тела относительно некоторой фиксированной неподвижной плоскости, проходящей через ось вращения. Угол поворота принято считать положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. При вращении угол поворота тела меняется во времени:

Это уравнение служит уравнением вращательного движения

твердого тела.

Кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость и ускорение. Угловой скоростью называется вектор, лежащий на оси вращения. Модуль этого вектора, характеризует быстроту изменения угла поворота во времени:

Направление вектора угловой скорости выбирается так, чтобы вращение происходило против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (рад / с или с -1). В технике часто используется другая единица измерения – обороты в минуту n (об / мин). Их связывает простое соотношение: = n / 30.

37

Угловое ускорение также изображается вектором, лежащим на оси вращения. Модуль вектора характеризует быстроту изменения угловой скорости во времени:

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости , если движение тела ускоренное, и противоположно ему, если движение замедленное. Верно и обратное утверждение.

В зависимости от значений кинематических характеристик и различают следующие частные случаи вращательного движения твердого тела.

При равномерном вращательном движении угловое ускорение ε

= 0. Тогда, согласно (2.23), движение происходит с постоянной угловой скоростью: ω = const. Интегрирование (2.22) приводит к уравнению равномерного вращательного движения тела: φ( ) = φ0 + ω .

При равнопеременном вращательном движении угловое ускорение ε = const. Дважды интегрируя (2.23), приходим к уравнению равнопеременного вращательного движения: φ( ) = φ0 + ω0 + 0,5 ε 2. В приведенных формулах через φ0 и ω0 обозначены значения угла поворота и угловой скорости при = 0.

Угловая скорость и угловое ускорение являются кинематическими характеристиками тела в целом, а не его отдельных точек. Для того чтобы найти скорости и ускорения конкретных точек при вращательном движении, необходимо применить положения предыдущего параграфа.

Траектория любой точки тела при его вращении представляет собой окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Центр окружности находится на оси, а ее радиус равен расстоянию от оси до данной точки. Поскольку траектория точки известна, целесообразно применить естественный способ задания ее движения. Дуговую координату s будем отсчитывать вдоль дуги окружности в направлении положительного изменения угла поворота. Тогда угол поворота и дуговая координата связаны между собой известным соотношением: s = R . Согласно (2.9), модуль скорости точки равен:

т. е. величина скорости точек вращающегося тела пропорциональна их расстояниям до оси вращения и угловой

38

скорости. Направление вектора скорости совпадает с направлением касательной к окружности – траектории точки.

Ускорение точки при естественном способе задания движения в соответствии с (2.15) является суммой двух ускорений: касательного и нормального. Величина касательного ускорения определяется формулой (2.16). Для рассматриваемого кругового движения точки она равна:

Величину нормального ускорения можно найти с помощью соотношения (2.17). Для рассматриваемого случая она равна:

Модуль полного ускорения найдем, используя (2.18):

Выведенные формулы допускают более общую запись с помощью операций векторной алгебры. Поместим начало координат в произвольную точку оси вращения (рис. 2.5). Тогда положение некоторой точки М вращающегося тела определяется радиусвектором r. Модуль радиус-вектора r и расстояние точки М до оси

O

r

V

M R

Рисунок 2.5

39

связаны простым соотношением: R = r sin (r,ˆ ). С учетом (2.24) для модуля скорости точки М получим выражение: V = r sin (r,ˆ ), из которого следует, что вектор V является векторным произведением векторов r и (рис. 2.5):

Полученная формула носит название формулы Эйлера. Она позволяет определить скорость любой точки вращающегося тела и поэтому играет важнейшую роль в кинематике.

Дифференцирование равенства (2.28) по времени с учетом свойств векторного произведения и соотношений (2.5), (2.10), (2.15) и (2.23) позволяет записать:

Сравнение полученного соотношения с (2.15) показывает, что первое слагаемое представляет собой касательное ускорение Wm, а второе – нормальное Wn. Таким образом, при вращательном движении тела проекции полного ускорения его точек на направления касательной к траектории и нормали в общем случае определяются с помощью следующих формул:

Касательное ускорение иногда называют вращательным, а нормальное ускорение – центростремительным. Полное ускорение точки в соответствии с (2.15) равно сумме векторов Wm и Wn.

2.4. Плоскопараллельное движение твердого тела

Следующим по сложности после поступательного и вращательного движения твердого тела является плоскопараллельное движение.

Плоскопараллельным (или плоским) движением называется движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. При таком характере движения тела его количественное описание сводится к описанию движения одного сечения тела, параллельного указанной неподвижной плоскости. Это сечение обычно называют плоской фигурой. Следовательно, для того чтобы получить кинематические характеристики при плоскопараллельном движении тела достаточно рассмотреть скорости и ускорения точек плоской фигуры при ее движении в собственной плоскости.

40