Техническая механика часть 1

Отрезок (ka), соединяющий полюс k и точку a на плане ускорений, будет соответствовать абсолютному ускорению точки А кривошипа. Длина отрезка (ka) выражается через длины отрезков (ku) и (ua):

Перейдем к определению ускорения точки В ползуна. Для этого из точки а на плане ускорений параллельно шатуну 2 проведем в направлении точки А на плане положений отрезок (am), длину которого определим с помощью соотношения:

Очевидно, что построенный отрезок изображает нормальную составляющую относительного ускорения точки В шатуна.

Теперь из точки m проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ на плане положений. Указанная прямая задает направление тангенциальной составляющей относительного ускорения точки В. С другой стороны, направление абсолютного ускорения точки В также известно, поскольку ползун механизма перемещается вдоль линии . Следовательно, отрезок, изображающий абсолютное ускорение точки В на плане ускорений, будет параллелен линии , а его начало будет совпадать с полюсом k. Точку пересечения прямых, задающих направления тангенциальной составляющей относительного ускорения и абсолютного ускорения точки В, обозначим как точку b плана ускорений (рис. 5.1, в). Отрезок (kb) представляет собой отображение абсолютного ускорения точки В ползуна. Численное значение ускорения определяется через масштабный коэффициент:

составляющей находятся аналогично через длины соответствующих отрезков:

111

Направления векторов на плане ускорений выбираются в соответствии с векторным уравнением (5.9).

Величина углового ускорения шатуна определяется из соотношения (5.11):

Для определения его направления необходимо мысленно перенести вектор (mb), изображающий ускорение WВA , на план положений, не

меняя его направления и разместив его начало в точке В. Наблюдая за движением звена 2 из точки А, выбранной в качестве полюса, видим, что в рассмотренном случае ускорение 2 направлено против часовой стрелки. В формуле (5.18) это обстоятельство отражено стрелкой над символом ускорения, направленной соответствующим образом.

5.3. Кинематический анализ шарнирного четырехзвенника

Применим теперь метод планов к другому часто встречающемуся механизму – шарнирному четырехзвеннику (рис. 4.1, б). Пусть задана кинематическая схема механизма, в котором ведущим звеном является кривошип 1, вращающийся с угловой скоростью 1 и угловым ускорением 1 (рис. 5.3, а).

Построим вначале план положений механизма для некоторого значения обобщенной координаты 1. Зададимся масштабным коэффициентом l плана положений. В качестве указанного коэффициента примем отношение:

в котором ОА – длина кривошипа в метрах, (ОА) – длина отрезка в миллиметрах, изображающего кривошип на чертеже.

Из произвольной точки О проведем под заданным углом 1 поворота кривошипа отрезок (ОА). Затем на расстоянии (СО) = СО / l изобразим шарнирно-неподвижную опору с центром в точке С (см. рис. 5.3, а). Из точки С как из центра проведем дугу окружности (засечку) радиусом (ВС) = ВС / l . Такую же засечку, но радиусом (АВ) = АВ / l проведем из А. Точка В пересечения засечек изобразит положение шарнирного соединения шатуна 2 и коромысла 3 механизма. Соединив точку В отрезками прямой с точками А и С, изобразим шатун и коромысло соответственно. Таким образом, план

112

в котором через р обозначен полюс плана скоростей, отрезком (ра) – вектор абсолютной скорости точки А механизма. Величина этого вектора, очевидно, равна 1 ОА, а его направление перпендикулярно отрезку (ОА) на плане положений. Выбрав на чертеже некоторую точку в качестве полюса, поместим в нее начало вектора (ра).

Для определения абсолютной скорости VB точки В воспользуемся теоремой сложения скоростей в переносном и относительном движениях: абсолютная скорость некоторой точки тела при его сложном движении равна векторной сумме скоростей в переносном и относительном движениях. В рассматриваемом случае переносным является поступательное движение шатуна 2 со скоростью VA, относительным – вращательное движение шатуна относительно точки А со скоростью VBA , направленной перпендикулярно отрезку АВ на плане положений. Поэтому указанные скорости подчиняются векторному уравнению:

VB = VA + VBA .

Дальнейшее построение плана скоростей исходит из этого уравнения. Из точки а проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ на плане положений. Эта прямая задает направление относительной скорости VBA , как скорости при вращательном движении шатуна относительно точки А. Теперь через полюс р проведем прямую, перпендикулярную отрезку ВС на плане положений. Эта прямая задает направление абсолютной скорости VB точки В. Точку пересечения двух прямых обозначим через b. Соединив эту точку с полюсом р и точкой А, получим два отрезка (рb) и (аb), длины которых позволяют найти численное значение скоростей VB и VBA : VB = (рb) v и VBA = (аb) v .

Ее направление определим следующим образом. Мысленно перенесем параллельно самому себе вектор (аb) на плане скоростей, изображающий относительную скорость VBA, на план положений, поместив его начало в точку В. Наблюдая затем за движением шатуна

114

из точки А, видим, что рассматриваемый случай соответствует направлению 2 против часовой стрелки. Этот факт отражен в предыдущей формуле стрелкой над символом или численным значением угловой скорости.

Величину и направление угловой скорости коромысла 3 найдем аналогичным образом по значению скорости точки В и направлению вектора (рb) на плане скоростей:

Направления угловых скоростей звеньев механизма, а также линейных скоростей шарнирных точек А и В зафиксируем на плане положений (рис. 5.3, а).

Перейдем к построению плана ускорений шарнирного четырехзвенника (рис. 5.3, в). Его построение во многом схоже с построением, проведенным в подразделе 5.2 для кривошипношатунного механизма. Отметим на чертеже полюс k плана ускорений и проведем вектор (ku), изображающий нормальную составляющую WAn абсолютного ускорения точки А. Величина вектора WAn

определяется формулой (5.6) так же, как и при вращении кривошипа в кривошипно-ползунном механизме. Длину вектора (ku) выберем произвольно из соображений удобства построений. Тогда масштабный коэффициент μW плана ускорений будет равен:

Из точки u в направлении, перпендикулярном вектору (ku), отложим

составляющую W абсолютного ускорения WA. Соединив теперь полюс k с точкой а, получим вектор (ka), изображающий на плане ускорений полное ускорение точки А.

При определении вектора абсолютного ускорения точки В учтем, что она одновременно принадлежит шатуну 2 и коромыслу 3. С одной стороны, в соответствии с теоремой о сложении ускорений в переносном и относительном движениях для точки В как точки шатуна имеем:

WB WA WBA WA WBAn WBA .

115

С другой стороны, поскольку точка В принадлежит коромыслу, ее полное ускорение представляет собой векторную сумму нормального и тангенциального ускорений:

WB WBn WB .

Приравняв правые части этих векторных уравнений, придем к следующему соотношению:

Полученное уравнение позволяет завершить построение плана ускорений. Из точки а на плане ускорений отложим вектор (аm),

где угловая скорость шатуна определяется соотношением (5.19). Направление вектора (аm) должно совпадать с направлением вектора

WВnA : от точки В на плане положений к точке А. Затем из полученной

точки m на плане ускорений проведем прямую перпендикулярную АВ на плане положений. Указанная прямая задает направление

тангенциальной составляющей WВA относительного ускорения WВА .

Однако величина вектора WВA пока не известна. Найдем ее.

Для этого из полюса k отложим вектор (kn), изображающий нормальную составляющую WВn абсолютного ускорения точки В

механизма. Вектор (kn), очевидно, параллелен коромыслу ВС, направлен от точки В к точке С, а его величина равна:

Из конца этого вектора (точки n) проведем прямую перпендикулярную ВС на плане положений. Вдоль нее направлен вектор тангенциальной

составляющей WВ абсолютного ускорения точки В механизма. Точку пересечения двух прямых, одна из которых определяет направление вектора WВA , а другая – вектора WВ , обозначим через b (рис. 5.3, в). Тогда отрезок (kb) изобразит абсолютное ускорение точки В, величина

116

которого может быть вычислена по измеренной длине отрезка: WB = (kb) W. Направление вектора (nb), изображающего ускорение

четырехзвенника определим величину и направление угловых ускорений шатуна и коромысла. Величина углового ускорения шатуна

план положений, поместив его начало в точке В. Наблюдая за относительным вращательным движением звена 2 из точки А, видим, что угловое ускорение 2 направлено против часовой стрелки. Это обстоятельство отражено с помощью стрелки над символом ускорения в формуле (5.24).

Величину углового ускорения коромысла 3 найдем аналогично:

Для определения направления ускорения 3 мысленно перенесем параллельно самому себе вектор (nb) на плане ускорений,

изображающий тангенциальную составляющую WВ абсолютного

ускорения точки В, на план положений, совместив его начало с точкой В. Наблюдая за вращательным движением коромысла вокруг точки С, видим что его движение происходит также против часовой стрелки. Направление стрелки над символом ускорения в формуле (5.25) отражает реальное направление ускорения звена 3.

Таким образом, кинематические характеристики всех звеньев механизма шарнирного четырехзвенника определены.

5.4. Аналитический метод кинематического анализа

Существо аналитического метода состоит в нахождении линейных и угловых координат, скоростей и ускорений звеньев и их

117

отдельных точек в виде аналитических выражений. При этом исходными данными также являются кинематическая схема механизма, размеры звеньев и зависимость обобщенных координат от времени. Для аналитического исследования плоских механизмов удобно использовать метод векторных контуров. Общий алгоритм этого метода можно представить следующим образом:

-кинематическую схему изучаемого механизма помещают в декартову систему координат Оху так, чтобы начало координат совпадало с осью вращения ведущего звена;

-замкнутые кинематические цепи механизма представляют в виде векторных контуров, заменяя векторами подвижные и неподвижные звенья и выбирая длины векторов равными длинам звеньев;

-отмечают угол , соответствующий заданному положению ведущего звена, отсчитывая величину угла в направлении против часовой стрелки от оси Ох;

-составляют векторное уравнение замкнутого контура;

-проектируя векторное уравнение на оси декартовой системы координат, получают аналитические выражения для расчета перемещений всех звеньев;

-дифференцированием по времени полученных скалярных уравнений приходят к зависимостям для расчета проекций скоростей и ускорений.

Реализуем изложенный алгоритм аналитического метода кинематического анализа на примере шарнирного четырехзвенника

(рис. 5.4).

Рисунок 5.4

Введем систему декартовых координат с началом в точке О. В качестве обобщенной координаты примем угол поворота кривошипа 1 относительно стойки 4. На схеме четырехзвенника заменим звенья, включая стойку, векторами r, l, m и s . Для удобства последующих

118

вычислений введем вектор n, соединяющий шарниры А и С. В результате получим два векторных контура: ОАС и АВС. Направления векторов могут отличаться от приведенных на рис. 5.4, что скажется лишь на знаках при слагаемых векторных уравнений.

Для контура ОАС можно записать следующее векторное равенство:

Для контура АВС аналогичное равенство имеет вид:

Заметим, что длина вектора n, называемого базовым, является переменной при работе механизма, в то время как длины остальных векторов в равенствах (5.26) и (5.27) постоянны и заданы. Для определения направления и модуля базового вектора спроектируем первое из векторных равенств на координатные оси. Проекция на ось Ох дает:

Проектируя на ось Оу, получим:

Исключим из последних двух равенств модуль базового вектора. В результате придем к соотношению для определения угла n, задающего положение вектора n относительно стойки:

Знак правой части в этом соотношении определяет четверть круга, в котором расположен угол n.

Длину вектора n можно найти, выразив ее, например, из равенства

(5.28):

Итак, длина и направление базового вектора полностью определяются положением ведущего звена, задаваемым обобщенной координатой 1.

119

Обозначим теперь через 2n и 3n (рис. 5.4) углы наклона векторов l и m к направлению вектора n соответственно. Тогда для треугольника АВС, используя теорему косинусов и формулы приведения, можно записать:

l 2 = m 2 + n 2 + 2 m n cos φ3n ,

m 2 = l 2 + n 2 – 2 l n cos φ2n .

Отсюда нетрудно найти углы φ2n и φ3n между звеньями 2 и 3 и направлением вектора n:

Углы φ2 и φ3, однозначно определяющие положение этих звеньев относительно стойки, равны:

φ2 = φ2n – (2π – φn) = φ2n + φn – 2π

(5.33)

φ3 = φ3n – (2π – φn) = φ3n + φn – 2π.

Полученные соотношения позволяют установить положение всех звеньев четырехзвенника в любой момент времени.

Для нахождения угловых скоростей и ускорений звеньев 2 и 3 запишем для контура ОАВСО следующее векторное равенство:

r + l = s + m.

В проекциях на оси Ох и Оу это равенство равносильно двум скалярным соотношениям:

r cos φ1 + l cos φ2 = s + m cos φ3 ,

(5.34)

r sin φ1 + l sin φ2 = m sin φ3 .

Продифференцируем первое соотношение по обобщенной координате φ1, учитывая, что оба угла φ2 и φ3 в силу (5.31), (5.32) и (5.33) являются функциями этой переменной:

120