Техническая механика часть 1

Пусть на плоской фигуре зафиксирована некоторая точка Р – полюс (рис. 2.6). Положение этой точки в неподвижной системе координат Оху однозначно определяется ее координатами хР и уР – координатами полюса. Координаты других точек плоской фигуры будут зависеть как от положения полюса Р, так и от угла поворота плоской фигуры вокруг полюса. При движении тела все три величины хР , уР и являются функциями времени:

у

у

х

Р

Эти зависимости называются уравнениями плоскопараллельного движения. Они показывают, что плоское движение представляет собой наложение двух одновременно происходящих уже рассмотренных ранее движений тела: поступательного и вращательного. Следовательно, основными кинематическими характеристиками при этом типе движения являются скорость и ускорение полюса Р (поступательная часть движения) и угловая скорость и угловое ускорение тела (вращательная часть движения). Причем первые две характеристики зависят от выбора полюса, а две вторые от выбора полюса не зависят.

Пусть уравнения (2.31) заданы. Выведем соотношения, позволяющие определить скорость произвольной точки М плоской фигуры. Положению точки М в некоторый момент времени отвечает радиус-вектор rМ в неподвижной системе координат Оху, положению полюса Р отвечает радиус-вектор rР. Оба радиус-вектора при движении тела могут меняться как по величине, так и по направлению. Точки Р и М соединим вектором rМР с началом в полюсе Р и концом в точке М. Поскольку расстояние между точками М и Р фиксировано,

41

вектор rМР при движении плоской фигуры может меняться во времени только по направлению, т. е. положение точки М относительно полюса

Рможет измениться только за счет вращения плоской фигуры.

Влюбой момент времени будет выполняться векторное равенство:

rМ = rР + rМР

Дифференцирование этого равенства по времени позволяет записать:

т. е. скорость любой точки твердого тела при плоскопараллельном движении равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую имеет эта точка в относительном вращении вокруг полюса.

Направление и величина вектора VMP определяются по соотношениям для вращательного движения: направление скорости VMP в любой момент времени перпендикулярно отрезку МР по ходу вращения плоской фигуры, а модуль скорости VMP равен произведению угловой скорости и длины отрезка МР.

Оказывается, что в каждый момент времени одна из точек плоской фигуры имеет скорость равную нулю. Эта точка называется

мгновенным центром скоростей. Пусть, например, в некоторый момент времени плоская фигура имеет угловую скорость ω, а одна из ее точек – точка А – скорость VА. Через точку А проведем луч, перпендикулярный вектору VА, и на этом луче выберем точку В, отстоящую от точки А на расстоянии |АВ| = VА / ω (рис. 2.7).

Рисунок 2.7

Применим теперь для точки В соотношение (2.32), взяв в качестве полюса точку А:

VВ = VА + VВА .

42

Скорость VВА точки В, обусловленная вращением плоской фигуры, равна по модулю |АВ| ω = VА и направлена в противоположную сторону. Следовательно, правая часть предыдущего векторного равенства обращается в нуль, а точка В в данный момент времени является мгновенным центром скоростей.

Приведенное несложное построение позволяет сделать несколько важных выводов. Во-первых, мгновенными центрами скоростей в различные моменты времени служат разные точки плоской фигуры. Во-вторых, мгновенный центр скоростей может находиться в некоторой точке пространства за пределами твердого тела. Наконец, в-третьих, возможны случаи, когда в какой-то момент времени угловая скорость плоской фигуры равна нулю. При этом мгновенный центр скоростей оказывается удаленным в бесконечность. Эти случаи соответствуют так называемому мгновенному поступательному движению, когда скорости всех точек тела в данный момент времени векторно равны, т. е. равны по величине и направлению.

Если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей, то первое слагаемое в (2.32) обратится в нуль. Следовательно, скорость любой точки тела будет определяться только скоростью ее вращательного движения вокруг мгновенного центра скоростей. Величина скорости будет пропорциональна расстоянию от данной точки до мгновенного центра скоростей, а ее направление будет перпендикулярно линии, соединяющей точку и цент скоростей.

В силу очевидной важности понятия мгновенного центра скоростей рассмотрим несколько способов определения его местонахождения.

Если в некоторый момент времени известны угловая скорость вращения плоской фигуры и скорость одной их точек, то положение мгновенного центра скоростей С в этот момент времени можно найти с помощью построения, проведенного при доказательстве его существования.

43

Если известны направления скоростей двух точек А и В и они не параллельны друг другу, то положение центра скоростей С определяется пересечением перпендикуляров, восстановленных к скоростям в этих точках (рис. 2.8). В случае если скорости в точках А и В известны и параллельны, необходимо выполнить несложные построения, показанные на рис. 2.8. Случай VВ = VА соответствует мгновенному поступательному движению.

Для вывода соотношения, позволяющего найти ускорение точек при плоскопараллельном движении тела, необходимо продифференцировать равенство (2.32) по времени:

dVM dVP dVMP .

d d d

В левой части равенства стоит ускорение WM рассматриваемой точки М, которое представляет собой сумму ускорения полюса WР в поступательной части движения плоской фигуры (первое слагаемое правой части) и ускорения WMР точки М во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса Р (второе слагаемое): WM = WР + WМР. Ускорение WР находится с помощью соотношений, полученных при рассмотрении поступательного движения твердого тела, а ускорение WМР равно векторной сумме касательного и нормального ускорений во вращательном движении вокруг полюса (формулы (2.25) и (2.26).

2.5. Скорость и ускорение точки при сложном движении

До сих пор рассматривались кинематические характеристики движения только в неподвижной системе координат. Однако зачастую возникает необходимость определить характеристики движения отдельных точек твердого тела в системе координат, которая сама перемещается относительно неподвижной системы координат. Еще одна важная задача – установить связь между кинематическими характеристиками движения точки (траекториями, скоростями и ускорениями) в подвижной и неподвижной системах координат.

Пусть имеются две системы координат: неподвижная Охуz и подвижная О1х1у1z1. Движение точки М относительно неподвижной системы координат Охуz называется ее абсолютным движением. Соответственно говорят о скорости Va и ускорении Wa в абсолютном движении. Движение точки М относительно подвижной системы координат О1х1у1z1 носит название относительного движения, а скорость Vr и ускорение Wr в относительном движении называются относительной скоростью и относительным ускорением. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называется переносным движением. Для количественной характеристики переносного движения используются понятия переносной скорости

44

Vе и переносного ускорения Wе. По определению это скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает точка М.

Для лучшего понимания введенных понятий рассмотрим качение без скольжения колеса по полотну дороги (рис. 2.9). Точка М обода колеса в системе координат О1х1у1, связанной с колесом, движется по окружности. Это движение является относительным. Переносным

движением (движением подвижной системы координат относительно неподвижной) в этом примере является поступательное движение. В самом деле, точка подвижной системы координат, которая совпадает в данный момент времени с точкой М, будет двигаться прямолинейно параллельно оси Ох вместе с центром колеса. В неподвижной системе координат точка М будет совершать сложное движение, траекторией которого будет циклоида.

Из приведенного примера видно, что абсолютное движение точки можно рассматривать как наложение двух или более движений, которые, как правило, являются более простыми для изучения. Поэтому важно знать связь между кинематическими характеристиками абсолютного, переносного и относительного движений, чтобы по известным кинематическим характеристикам последних найти кинематические характеристики абсолютного движения.

Для установления такой связи рассмотрим две системы координат: неподвижную Охуz и подвижную О1х1у1z1. Пусть r – радиус-вектор точки М в неподвижной системе координат, а - радиус-вектор этой же точки в подвижной системе координат. В любой момент времени указанные вектора связаны соотношением:

r = r0 +

45

где r0 – радиус-вектор начала подвижной системы координат в системе координат Охуz. Продифференцируем это равенство по времени:

Производная в левой части равенства, согласно (2.5), представляет собой скорость точки М в неподвижной системе координат – ее абсолютную скорость Va. Первое слагаемое правой части – скорость начала О1 подвижной системы координат в системе координат Охуz.

dρ

Вычислим производную d . Пусть i, j, k – единичные орты подвижной

системы координат, а х1, у1, z1 – координаты точки М в этой же системе. Тогда = х1 i + у1 j + z1 k, причем во времени меняются не только координаты х1, у1, z1 , но и положение единичных ортов. Учитывая это, можно записать:

Первые три слагаемых, согласно (2.6), представляют собой относительную скорость Vr точки М, т. е. ее скорость в подвижной системе координат.

Для того чтобы раскрыть смысл других трех слагаемых,

di

рассмотрим, например, производную d . Единичный орт i может

меняться только по направлению вследствие вращения подвижной системы координат О1х1у1z1 вокруг точки О1 с некоторой угловой скоростью ω. Применим формулу (2.28) к точке, совпадающей с концом орта i. Скорость движения конца вектора i при вращении

последних трех слагаемых в предыдущем равенства имеем:

46

Возвращаясь к равенству (2.33) и учитывая полученные соотношения, можем записать:

Первые два слагаемых представляют собой скорость точки подвижной системы координат, которая в данный момент совпадает точка М, - переносную скорость Vе. Эта скорость складывается из скорости полюса V0 (за него следует принять начало координат О1) и линейной скорости ω x ρ при вращении относительно начала О1. Таким образом, справедливо утверждение: абсолютная скорость точки равна векторной сумме ее переносной и относительной скоростей

Это утверждение носит название теоремы о сложении скоростей. Она имеет важное значение при анализе работы различных типов механизмов. При этом необходимо помнить, что в абсолютном и относительном движениях точка описывает разные траектории, и векторы скоростей Va и Vr направлены по касательным к соответствующей траектории.

Перейдем к установлению связи между ускорениями при сложном движении. Вторичное дифференцирование векторного равенства (2.33) по времени приведет к следующему соотношению между ускорениями:

Здесь Wa – абсолютное ускорение точки М по отношению к неподвижной системе координат. Переносное ускорение We представляет собой ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает точка М. Оно вычисляется как производная по времени от переносной скорости:

производную от относительной скорости:

47

Третье слагаемое в (2.36) называется кориолисовым ускорением. Оно отражает изменение переносной скорости в результате относительного перемещения точки М, а также возможное изменение относительной скорости из-за переносного движения подвижной системы координат. Величина кориолисова ускорения определяется соотношением:

Отсюда видно, что кориолисово ускорение равно нулю в том случае, когда переносное движение является поступательным ( = 0), либо когда относительное движение отсутствует (Vr = 0), либо когда точка М движется параллельно оси вращения подвижной системы координат ( Vr). Направление кориолисова ускорения находится по обычным правилам для векторного произведения.

Соотношение (2.36) носит название теоремы о сложении ускорений. Оно также как и теорема о сложении скоростей широко используется при анализе работы механизмов.

2.6. Определение параметров движения при работе типовых механизмов

Полученные в предыдущих подразделах соотношения лежат в основе кинематического анализа многих механизмов, которые используются в технологическом оборудовании. Под механизмом в общем случае понимают систему тел, предназначенных для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в заданное движение других твердых тел. Назначение механизмов – получить в результате преобразования такое движение, которое обеспечивает выполнение механизмом заданных технологических функций.

Задачи кинематического анализа сводятся, главным образом, к определению кинематических характеристик, к которым относятся:

-перемещения звеньев механизма и траектории их отдельных точек;

-линейные скорости отдельных точек и угловые скорости звеньев;

-линейные ускорения этих точек и угловые ускорения звеньев. Данные по перемещениям и траекториям движения звеньев

используются при проектировании оборудования, например, для того, чтобы исключить столкновение движущихся деталей. Значения скоростей и ускорений различных точек и звеньев используются при силовом расчете механизмов, при определении развиваемой или потребляемой мощности, при проведении динамического анализа машины с учетом возникающих при ее работе сил инерции.

48

Для иллюстрации основных положений кинематики применительно к решению задач кинематического анализа рассмотрим работу двух наиболее простых механизмов: кривошипно-ползунного и кулисного. На рис. 2.10 приведена схема простейшего кривошипно-ползунного механизма, предназначенного для преобразования вращательного движения кривошипа ОА в поступательное движение ползуна В. Звено АВ (шатун) совершает сложное плоскопараллельное движение. Пусть

заданы длины звеньев ОА и АВ и угловая скорость ω1 кривошипа. Требуется найти скорость движения ползуна.

Введем систему декартовых координат, совместив ее начало с шарнирной точкой О. Обозначим угол АОВ через φ, а угол АВО через ψ. Согласно (2.21) уравнение вращательного движения кривошипа имеет вид: φ = ω1 (начальный угол φ0 положим равным нулю). Ордината точки А может быть выражена двумя способами:

yА = ОА sinφ = AB sinψ.

Отсюда sin = ОА/AВ sin = λ sin , где λ = ОA/AВ. Траектория ползуна В известна заранее. Он перемещается прямолинейно вдоль оси Ох. Поэтому применим естественный способ задания движения, приняв за дуговую координату s расстояние от шарнира О до ползуна В. Тогда из рис. 2.10 видно, что величину s можно представить следующим образом:

s = OA cosφ + AB cosψ.

Выразим теперь cos через угол :

49

cos 1 sin 2 1 2 sin 2 .

Следовательно, зависимость дуговой координаты s от времени имеет вид:

s( ) OA cos 1 AB1 2 sin 2 1 .

Согласно (2.9) скорость движения ползуна будет равна производной от дуговой координаты по времени:

Полученное выражение показывает, что скорость ползуна зависит от времени довольно сложным образом. Анализ этого выражения позволяет найти амплитуду движения ползуна, ограничения на возможные размеры звеньев механизма, величину ускорения ползуна

влюбой момент времени.

Вкачестве еще одного примера рассмотрим работу кулисного механизма с качающейся кулисой ВС (рис. 2.11). При заданной угловой

90°

Vпер

С

50