Техническая механика часть 1

этих участках и называются, в первом случае, участком удаления, а

во втором – участком приближения. Окружность максимального радиуса R, вписанная в теоретический профиль кулачка, очерчивает участок дальнего стояния. При перемещении острия толкателя по этому участку профиля кулачка толкатель остается неподвижным в крайнем дальнем положении от центра кулачка.

Каждому участку профиля соответствуют центральные профильные углы кулачка, которые определяют его форму и размеры и являются разметочными углами при изготовлении ( б, у,

д, п).

Продолжительность той или иной фазы в цикле работы механизма определяется фазовыми углами у, д, п, б. На рис. 11.4. и рис. 11.5у – угол поворота кулачка на участке удаления толкателя (угол удаления), д – угол поворота кулачка, при котором толкатель остается неподвижным на наибольшем удалении от центра вращения кулачка (угол дальнего стояния), п – угол поворота кулачка на участке приближения толкателя (угол приближения), б – угол поворота кулачка, при котором толкатель остается неподвижным на наименьшем удалении от центра вращения кулачка (угол ближнего стояния). Сумма фазовых углов равна 2 .

Следует отметить, что углы б и б, а также д и д всегда совпадают по величине, а углы у и у, а также п и п совпадают только для механизмов, у которых эксцентриситет е = 0. Так для механизмов, изображенных на рис. 11.4 и 11.5, имеем:

зависимости от расположения эксцентриситета е слева (верхние знаки) или справа (нижние знаки) от оси вращения кулачка.

Из анализа рис. 11.4. и рис. 11.5 получают соотношения для параметров, необходимых для аналитического расчета кулачков

291

11.2. Силовой анализ кулачковых механизмов

Минимальные размеры кулачкового механизма при заданной высоте подъѐма (ходе) толкателя Н определяются размером rо – радиусом начальной окружности кулачка (рис. 11.3 – 11.5). В свою очередь еѐ минимальный радиус находится из условия работы толкателя без заклинивания в направляющих, т.е. в стойке механизма. Причины возможного заклинивания устанавливают путем силового анализа кулачкового механизма, причем, силами тяжести, инерции, силами трения между роликом и кулачком, кулачком и стойкой, как правило, можно пренебречь.

Рассмотрим поступательно движущийся толкатель в некотором положении на фазе его подъѐма (рис. 11.6). В этом положении на толкатель со стороны кулачка будет действовать некоторая сила Fп, направленная по нормали к профилю кулачка в точке А его касания с толкателем. Эту силу можно разложить по двум направлениям: вдоль линии движения толкателя у-у Fд (продольная сила) и перпендикулярно ей Fm (поперечная сила):

Продольная сила Fд будет являться непосредственно движущей для толкателя. Поперечная сила Fm, вызывая перекос толкателя в направляющих, создаѐт в точках его касания с направляющими силы реакции R1 и R2 и, соответственно, силы трения F1 и F2, которые вместе с силой полезного сопротивления Fпс, приложенной к толкателю, составляют силу сопротивления, препятствующую движению. Может оказаться, что эта сила сопротивления Fc будет больше движущей, т.е.

Тогда движение толкателя становится невозможным – происходит его заклинивание в направляющих. Соотношение между силами Fс и Fд , очевидно, зависит от величины угла А, который называют углом давления кулачка на толкатель в точке А. Угол давления – это угол между направлением действия силы на толкатель (направлением нормали к профилю кулачка в месте его касания с толкателем) и направлением движения толкателя. Таким образом, это угол между вектором силы, действующей на толкатель, и вектором скорости перемещения толкателя.

292

В различных точках контакта кулачка и толкателя угол давления также будет различным. На рис. 11.6 показаны углы давления для точек А и В профиля кулачка (линия движения толкателя в любом положении относительно кулачка остаѐтся касательной к окружности радиуса е эксцентриситета).

Остановимся более подробно на силовом анализе механизма. Зависимости для определения реакций R1 и R2 получают из уравнений равновесия моментов сил, действующих на толкатель относительно точек приложения сил R1 и R2:

293

Сцелью повышения коэффициента полезного действия механизма

вкаждом конкретном случае допускаемые значения углов давления могут быть взяты и меньшими. При конструировании механизма стараются уменьшить трение в направляющих толкателя, например, за счет применения в нем подшипников качения, что повышает КПД механизма без увеличения его габаритов.

Угол давления важнейший параметр, определяющий работоспособность кулачкового механизма, – величина переменная, зависящая от размеров и формы кулачка. Форма кулачка определяет такие характеристики движения, как перемещение, скорость и ускорение толкателя.

Рассмотрим схему механизма с вращающимся с постоянной

угловой скоростью кулачком и поступательно движущимся толкателем (рис. 11.7). Толкатель и кулачок в некоторый момент соприкасаются в точке А (в этот момент совпадают точки А1 кулачка и А2 толкателя).

Введем понятие аналога скорости S A и аналога ускорения S A

толкателя. Понятие аналогов скорости и ускорения удобно тем, что они имеют геометрическую интерпретацию и измеряются в единицах длины. С этими характеристиками могут производиться математические численные операции, когда ни значения скорости, ни ускорения неизвестны.

Скорость VA2 и ускорение aA2 линейного перемещения SA толкателя в дифференциальном виде представим следующим образом:

Таким образом, выражения для аналога скорости и аналога ускорения имеют следующий вид:

векторное уравнение:

295

VA2A1 – скорость точки А2 в движении относительно точки А1

кулачка, т.е. это скорость скольжения точки А2 толкателя вдоль поверхности кулачка.

Скорость скольжения направлена вдоль касательной t–t к профилю кулачка в точке А (в противном случае точка А2 врезалась бы в профиль кулачка или отстала от него).

Из схемы (рис. 11.7) видно, что треугольники O1AD и Аa1a2, имеющие взаимно перпендикулярные стороны, подобны. Отсюда следует, что

Из анализа этого выражения следует, что с увеличением радиуса начальной окружности ro величина tg А убывает, и КПД механизма (11.11) увеличивается. Оптимальным решением при заданных параметрах ro и е будет такое, при котором выходные параметры синтеза (в данном случае габаритные размеры механизма) окажутся наименьшими. Следовательно, математическая модель оптимизации может быть записана в следующей форме:

Данная зависимость, объединяет все геометрические параметры кулачка (SA, ro), геометрический параметр механизма (е), кинематический параметр (S A), силовые параметры механизма (углы давления А и предельные углы давления на участке удаления уmax и

приближения п max). Зависимость (11.20) является основой при

297

решении одной из задач синтеза: определения области значений радиуса ro начальной окружности кулачка и эксцентриситета е толкателя, при которых отсутствует заклинивание толкателя в направляющих. Эту задачу называют также определением центра вращения кулачка. Решение данной задачи позволяет спроектировать кулачковый механизм минимальных размеров.

11.3. Проектирование кулачкового механизма

При проектировании кулачкового механизма решаются следующие задачи, необходимые для последующего конструирования:

-выбор схемы механизма и закона движения кулачка;

-выбор закона движения толкателя;

-определение кинематических параметров кулачкового механизма;

-определение центра вращения кулачка;

-построение профиля кулачка.

При решении первых двух задач формируются исходные данные для синтеза механизма (входные параметры синтеза). Последние три задачи собственно и представляют собой синтез кулачкового механизма, который базируется на зависимостях, полученных при анализе механизма.

Схема кулачкового механизма определяется назначением и условиями работы данного механизма в технологическом агрегате или приборе.

Закон движения толкателя выбирается с учетом тех функций, которые должен выполнять механизм:

-воспроизведение заданного закона движения рабочих звеньев технологического агрегата;

-обеспечения заданного перемещения рабочих звеньев технологического агрегата за определенный промежуток времени.

В первом случае задаются ход толкателя Н, и закон его движения

ввиде одной из следующих функций: перемещения S = f( ), скорости V = f( ) или ускорения a = f( ). Поскольку параметры S = f( ), V = f( )

(или S A = f( )), a = f( ) (или S A = f( )) связаны дифференциальными зависимостями, то задается какая-либо одна функция, остальные получают интегрированием или дифференцированием. Операции интегрирования (дифференцирования) выполняются аналитически (численно) при проектировании точных механизмов, когда закон движения задан математической функцией. Графический метод используют в тех случаях, когда закон движения задан в виде графиков, таблиц, а также при расчете кулачков, выполняющих

вспомогательные операции (например, кулачки тормозных устройств и т. д.).

Во втором случае задается ход толкателя Н, а закон выбирается конструктором исходя из обеспечения наиболее благоприятных

298

условий работы механизма. Из всех возможных законов движения целесообразным представляется закон, который обеспечивает лучшие условия работы. Чаще всего оптимальным будет закон с наименьшим значением максимального ускорения, так как снижение ускорения при прочих равных условиях приводит к уменьшению сил инерции, к уменьшению реакции в кинематических парах, а также к уменьшению расхода энергии при работе механизма.

На рис. 11.8 в качестве примера для кулачковых механизмов различного назначения приведены типовые законы движения толкателя в виде аналитических зависимостей аналога ускорения толкателя: S A = f( ). Здесь у – угол удаления, д – угол дальнего стояния, п – угол приближения, б – угол ближнего стояния.

Равноускоренный закон (рис. 11.8, а) имеет ступенчатый характер изменения ускорения. В точках О, а, b, с, d, е при мгновенном изменении ускорения так же мгновенно изменяется и сила инерции, действующая на толкатель. Следовательно, при работе механизма будут иметь место удары.

Линейно-убывающий закон (рис. 11.8, б) и косинусоидальный закон (рис. 11.8, в), имея разный характер, сопровождаются мгновенным изменением ускорений и, соответственно, сил инерции только в начале и в конце фазы удаления, в начале и в конце фазы приближения.

Синусоидальный закон (рис. 11.8, в) характеризуется плавным изменением ускорения толкателя, удары отсутствуют.

Из сравнения приведѐнных законов следует, что с точки зрения снижения инерционных нагрузок оптимальным является закон с плавным изменением ускорения, например синусоидальный закон или при определѐнных условиях закон косинуса ( д = б = 0 и у = п). Такой выбор закона движения справедлив для быстроходных механизмов, в которых инерционные нагрузки значительны. В других случаях выбор закона движения диктуется иными причинами, например, в ряде случаев требуется резкое изменение скорости движения рабочего звена машины, или же необходимо движение с постоянной скоростью толкателя (кулачок с профилем спирали Архимеда рис. 11.1, б), или же реализуется движение с постоянным углом давления (кулачок с профилем логарифмической спирали рис. 11.1, д). Закон изменения ускорения может быть полиномиальным, трапециидальным и т. д. Закон движения может включать в себя несколько фаз выстоя, т.е. фаз при которых толкатель не перемещается.

Кинематические параметры кулачкового механизма в виде диаграмм аналога скорости S A = f( ) и перемещения S=f( ) толкателя, необходимые для решения задач синтеза кулачкового механизма, получают интегрированием заданных на фазах удаления и

299

приближения законов изменения аналога ускорения S A = f( ) толкателя.

в)

г)

Рисунок 11.8

300