Физика (Электричество)_ЛЕКЦИИ И ВОПРОСЫ / OF4_3_Теорема Гаусса_mini
.pdf
Русский математик и механик Михаил Васильевич Острогрá дский
(12/24.09.1801-20.12.1861/1.01.1862)
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
21 |
12+ |
|
Немецкий учёный
Карл Фридрих Гá усс (Johann Karl Friedrich Gauβ)
(30.04.1777-23.02.1855)
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
22 |
12+ |
|
Интегральная теорема о дивергенции (теорема Гаусса–Остроградского)
Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции по объёму, ограниченному этой поверхностью.
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
23 |
12+ |
|
Дивергенция div (Vectorial field divergence div)
Дивергенция (расхождение) – одна из основных операций векторного анализа, сопоставляющая векторному полю F(r) скалярное поле divF. Если точка r задана своими декартовыми координатами, r = {x, y, z}, и вектор F – своими компонентами, F = {FX, FY, FZ}, то:
divF ≡ ∂FX + ∂FY + ∂FZ
∂x ∂y ∂z
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
24 |
12+ |
|
Оператор набла
|
Ñ ≡ |
∂ |
e |
|
+ |
∂ |
e |
+ |
∂ |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∂x |
X |
|
∂y Y |
|
∂z |
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ÑΦ ( x, y, z ) ≡ gradΦ ( x, y, z ) = ∂Φ e |
|
|
+ |
∂Φ e |
+ |
∂Φ e |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
X |
|
|
∂y |
Y |
|
∂z |
Z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(Ñ F ( x, y, z )) º Ñ × F ( x, y, z ) º divF ( x, y, z ) |
= |
∂FX |
+ |
∂FY |
+ |
∂FZ |
|||||||||||||||
|
|
¶z |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
|
¶y |
|
||
Ñ F ( x, y, z ) ≡ Ñ × F ( x, y, z ) ≡ rotF ( x, y, z ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=∂FZ∂y
− ∂∂FY eX z
+∂FX∂z
−∂∂FZ eY
+ ∂FY − |
∂FX eZ = |
eX |
|
eY |
|
eZ |
||||
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
FX |
|
FY |
|
FZ |
|
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
25 |
12+ |
|
Интегральная теорема о дивергенции (теорема Гаусса–Остроградского)
∫V (Ñ × A) dV = ∫Sc A × ds
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
26 |
12+ |
|
Число силовых линий, пересекающих замкнутую поверхность
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
27 |
12+ |
|
Теорема Гаусса
Φ |
|
= |
1 |
|
q |
4/ π/ R/ 2 = q |
|
D |
4/ π R/ 2 |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
/ |
|
|
|
||
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
28 |
12+ |
|
Теорема Гаусса
Поток ΦD вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность пропорционален полному свободному заряду, заключённому внутри объёма, охватываемого замкнутой поверхностью.
В системе СИ:
∫ |
|
ΦD = DndS = ∑qi |
|
S |
i |
Вгауссовой системе математическая запись теоремы Гаусса принимает вид:
∫ |
|
ΦD = DndS = 4π∑qi |
|
S |
i |
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
29 |
12+ |
|
Теорема Гаусса
© А.В. Бармасов, 1998-2013 |
30 |
12+ |
|